人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1《椭圆课时1》教学设计

《椭圆》教学设计
课时1椭圆及其标准方程
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
椭圆及其标准方程 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 【考查内容】 1.根据几何条件求出椭圆方程. 2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用. 3.会判断直线与椭圆的位置关系. 【考查题型】 填空题、选择题、解答题
椭圆的简单几何性质(1) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
椭圆的简单几何性质(2) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
本节课是圆锥曲线的第一课时,它是在学生学习了直线和圆的方程,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上,进一步学习用坐标法研究曲线.从知识上讲,椭圆的标准方程是解析法的进一步运用,同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上讲,它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础;从教材编排上讲,现行教材中把三种圆锥曲线独编一章,更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用,是本章的重点内容,是几何的研究实现了代数化.数与形的有机结合,在本章中得到了充分体现.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.椭圆及其标准方程 2.椭圆的简单几何性质(1) 3.椭圆的简单几何性质(2) 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.
从学生现有的学习能力看,通过一年多的学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力.
从学生的学习心理上看,学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平,如何给椭圆以数学描述 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题,也是学习的重点问题.他们渴望将感性认识理性化,渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心态是学生学好本节课的情感基础.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.椭圆及其标准方程
2.椭圆的简单几何性质(1)
3.椭圆的简单几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其几何性质.
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
3.运用标准方程解决相关问题.
【教学策略设计】
新课程倡导学生自主学习,要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者,使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程.本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法,并用多媒体手段辅助教学,使学生经历实践、观察、交流、分析、概括等理性思维的基本过程,切实改进学生的学习方式,使学生真正成为学习的主人.
根据本节内容的特点,教学过程中可充分发挥信息技术的作用,用几何画板的动态作图优势为学生的数学与数学思维提供支持.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2.椭圆的简单几何性质.
难点:
1.运用标准方程解决相关问题.
2.解决与椭圆性质有关的问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:圆规、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:2012年6月16日下午18时,“神舟九号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神舟九号”飞船的运行轨道是什么
【情境设置】
“神舟九号”运行轨道图
【设计意图】
利用多媒体展示学生常见的椭圆形状的物品,让学生从直观上认识椭圆.通过“神舟九号”的轨道录像,让学生感受现实,激发学生的学习兴趣,培养爱国思想.
生:椭圆.
师:生活中还有哪些有关椭圆的实物
【师生总结,教师进行多媒体展示】
【情境设置】
生活中的椭圆实物图
师:生活中处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢 在圆的学习中我们知道,平面内到定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么,这节课我们学习到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢
教学精讲
探究1 椭圆的定义
【情景设置】
探究椭圆的定义
取一条定长的细线,把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离(绳长大于两定点间距离),分别固定在图板中的两点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线
师:显然是我们课前演示的图形——椭圆.
【以学定教】
在“做”中学,通过画椭圆的实验操作,经历概念的形成过程,积累感性经验,同时培养学生动手操作、观察分析、归纳概括的能力,引导学生自主合作探究,变被动为主动.
师:在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
生:因为绳子长度不变,也就是笔尖到图板中的两点、的距离和不变.当动点设为等于定值.
师:改变图板中的两点之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗
生:动点的轨迹为线段.
师:当绳长小于两点之间的距离时,还能画出图形吗
生:不能.
师:为什么绳子长度要大于呢
生:当动点设为,则有,满足中,两边之和大于第三边.
师:你能自己归纳椭圆的定义吗
【情境学习】
通过学生观察、思考、讨论,概括出椭圆的定义,让学生全程参与概念的探究过程,加深理解,提高概括能力和数学语言的表达能力.
【学生观察分析、归纳定义,老师补充概括】
生:与两个定点的距离之和为定长(绳长)的点的轨迹为椭圆(绳长大于两定点间距离).
【要点知识】
椭圆的定义
在平面内,到两个定点的距离之和等于常数(大于的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
师:焦点为的椭圆上任一点,有什么性质
生:设椭圆上任一点为,则有.
【概括理解能力】
通过具体的情境,学生对椭圆有一个直观的印象,同时动手实践,抽象出椭圆的几何定义.
探究2 椭圆的标准方程
师:回顾求曲线方程的基本方法——坐标法,它的解题步骤是什么
【教师提问,针对学生回答情况做总结】
生:(1)建系、设点;(2)写出点的集合;(3)列式;(4)化简.
师:如何建系,才能使求出的方程最简呢
【由学生自主提出建立坐标系的不同方法,教师根据学生提出的“建系”方式,把学生分成若干组,分别按不同的建系的方法推导方程,进行比较】
常遇到的建系方法如下(供教师参考):
方案一:把建在轴上,以的中点为原点;
方案二:把建在轴上,以为原点;
方案三:把建在轴上,以与轴的左交点为原点;
生:选择方案一比较简洁.
【以学论教】
通过问题思考,从几何方面探究确定椭圆的条件.通过动手实践和数据的变化,使学生体会到确定椭圆的两个条件.
【猜想探究能力】
积极鼓励学生用不同建系方法,让他们充分运用自然思维,通过比较,得出最简洁的方案,而不是被动地接受教材或老师强加的方法,培养学生的猜想探究能力.
【师生共同总结推导椭圆的标准方程的步骤】
【方法策略】
推导椭圆的标准方程
1.建系:以、所在直线为轴,以线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系.
设点:设是椭圆上任意一点,为了使的坐标简单及化简过程不那么繁杂,设,则.
设与两定点、的距离的和等于.
2.写点的集合:由椭圆的定义,椭圆就是集合.
3.列式:.
师:我们怎么化简两个带根式的式子 对于本式是直接平方好还是移项后再平方好呢
生:选择移项平方.
【方法策略】
推导椭圆的标准方程
4.化简:.
两边平方,得:,
即,
两边平方,得:,
整理,得:,
两边同除以,得,①
由椭圆的定义知,,所以.
【活动学习】
(1)以椭圆的标准方程的推导为载体,引导学生掌握推导圆锥曲线的方程的一般思路与方法;
(2)以椭圆的标准方程概念为载体,深化学生对曲线与方程的关系的理解.
【概括理解能力】
通过思考可以让学生进一步明确a,b,c的几何意义,加深对椭圆定义及标准方程的理解,提升概括理解能力.
【教师板书化简过程,让学生进一步明确标准方程的由来,体会化简的技巧】
师:请同学观察下图,你能从中找出表示、、的线段吗
生:由图可知,,
令,即,则方程可简化为,
整理成.②
师:从上述过程可以看到,椭圆上任意一点的坐标都满足方程②,以方程②的解,为坐标的点到椭圆的两个焦点的距离之和为,即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上,由曲线与方程的关系知,方程②是椭圆的方程,我们把它叫做椭圆的标准方程.
方程叫做椭圆的标准方程,焦点在轴上,焦点是,.
师:如果以、所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,
建立直角坐标系,焦点是,椭圆的方程又如何呢
如果不想重复上述繁琐的化简过程,我们将如何做呢
【推测解释能力】
通过研究焦点在x轴的椭圆的标准方程,类比研究焦点在y轴的椭圆的标准方程,化解难点,突出重点,强化推理方法.培养学生的推测解释能力.
生:由且,
变为,即变量与互换位置,
所以变为.
【要点知识】
椭圆的标准方程
1.的焦点在轴上,焦点是.
2.的焦点在轴上,焦点是.
注:椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.
师:我们根据椭圆的标准方程,总结一下椭圆方程特征.
椭圆方程特征:
(1)椭圆标准方程形式:左边是两个分式的平方和,右边是1;
(2)不可少,体会、、的几何意义;
(3)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定;
(4)椭圆标准方程中三个参数、、的关系为最大,、大小不定.
【猜想探究能力】
椭圆的标准方程的导出,先放手给学生尝试,教师跟踪指导,再展示学生结果;教师对照图形,加以引导,让学生明白方程中字母的几何意义,对方程的理解有很大的作用;利用类比对称,化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程,避免重复的繁杂计算.
【自主学习】
通过对两个标准方程的总结加深学生对椭圆标准方程的理解掌握,特别是焦点位置,三个参数的关系,为求解椭圆的相关问题打下基础.
师:下面我们来看例题.
【典型例题】
求椭圆的标准方程
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是,并且经过点,求它的标准方程.
【教师引导学生分析解题思路,得到:要求椭圆的标准方程,关键先确定参数,本题已知,结合及标准方程,进一步确定、】
师:现在请同学们独立做题.
【学生独立做题,教师巡视,并给予个别指导,最后展示规范解题过程】
【典例解析】
求椭圆的标准方程
解法1:因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为.
由椭圆定义知:,
所以.又因为,所以,
因此,所求椭圆的标准方程为.
【分析计算能力】
通过典型例题,掌握根据椭圆的定义求出其方程的基本方法,即待定系数法,提升学生数学建模、数形结合及方程思想.
师:是否还有其他方法解决此类型问题
【学生思考、交流、讨论,师生共同解题,教师最后展示规范解题过程】
【典例解析】
求椭圆的标准方程
解法2:因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为,因为椭圆经过点,
所以.
所以解方程得:.
因此,所求椭圆的标准方程为.
【分析计算能力】
培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯,同一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简捷、自然的解题思路.本题突出椭圆定义的应用和待定系数法的解题方法.
师:本题多以解法2为主,如:已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆上一点到两焦点、的距离的和等于4,求椭圆的标准方程及焦点坐标.本题再用解法1解决比较麻烦.根据这个例题,总结求椭圆标准方程的步骤是什么
【归纳总结】
求椭圆标准方程的步骤
1.“定位”即确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上;
2.“定量”即确定的具体数值;
3.求椭圆标准方程的常用方法:待定系数法及定义法.
【概括理解能力】
根据例题的解题过程,让学生自主总结,归纳求椭圆方程的步骤,加深学生对解题方法的应用能力.
师:接下来继续看一道例题.
【典型例题】
求点的轨迹方程
例2 如图,在圆上任取一点,过点作轴的垂线为垂足.当点在圆上运动时,线段的中点的轨迹是什么 为什么
【教师引导学生分析解题思路,得到点在圆上运动,点的运动引起点运动.我们可以由为线段的中点得到点与点坐标之间的关系式,并由点的坐标满足圆的方程得到点的坐标所满足的方程】
师:现在请同学们独立做题.
【学生独立做题,教师巡视,并给予个别指导,最后展示规范解题过程】
【典例解析】
求点的轨迹方程
解:设点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.由点是线段的中点,得.
因为点在圆上,所以.①
把代入方程①,得,
即.
所以点的轨迹是椭圆.
【深度学习】
强化对求椭圆方程的步骤的理解,通过总结进行对比,使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解,有助于教学目标的实现.
师:接下来继续看一道关于求点的轨迹方程的例题.
【典型例题】
求点的轨迹方程
例3 如图,设、两点的坐标分别为.直线相交于点,且它们的斜率之积是,求点的方程.
【教师分析解题思路,讲授做题方法】
【典例解析】
求点的轨迹方程
分析:设点的坐标为,那么直线、的斜率就可用含的关系式分别表示.由直线、的斜率之积是,可得出、之间的关系式,进而得到点的轨迹方程.
解:设点的坐标为,因为点的坐标是,所以直线的斜率
同理,直线的斜率.
由已知,有,
化简,得点的轨迹方程为.
点的轨迹是除去两点的椭圆.
【意义学习】
数学概念是要在运用中得以巩固的,通过课件展示例题使学生进一步理解椭圆的定义,掌握标准方程,使知识内化为智能,并在解题过程中感受“数形结合”思想的优越性.
师:求解与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有:直接法、定义法和代入法,例2所用方法为代入法,例3所用方法为直接法.
【方法策略】
求轨迹方程的方法
1.定义法求轨迹方程
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的解题方法.
2.代入法(相关点法)求轨迹方程
若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系,可以把点的坐标用点的坐标表示出来,然后代入已知曲线的方程,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).
【概括理解能力】
通过例题总结方法,概括提炼进行归纳,突出重点,培养学生的概括总结能力.
师:通过上面的学习和总结,我们巩固练习一下.
【巩固练习】
求点的轨迹方程
已知轴上一定点为椭圆上任一点,求线段的中点的轨迹方程.
【分析计算能力】
根据求轨迹方程的方法让学生自主实践,强化解题步骤,加深学生对解题方法的应用能力.
【学生思考后,独立做题,教师巡视,并给予个别指导,最后展示规范解答】
【典例解析】
求点的轨迹方程
解:设中点的坐标为,点的坐标为.
利用中点坐标公式,得
∵在椭圆上,∴.
将代入上式,得.
故所求的中点的轨迹方程是.
【整体学习】
通过椭圆的教学,加强对学生学习方法的指导,让学生进一步巩固所学知识,与前面的学习目标呼应,同时应加强对学生在数学知识与思想方法上的指导.
师:好了,这节课就学到这里.请同学们回忆一下本节课所学知识点.
【师生共同总结,教师出示多媒体】
【课堂小结】
椭圆及其标准方程
标准方程
图形
a,b,c关系
焦点坐标
焦点位置 在轴上 在轴上
【设计意图】
通过椭圆标准方程的推导过程和本节所学知识练习巩固,使学生自主解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
教学评价
本节是《圆锥曲线的方程》的第一部分,主要学习椭圆的定义和标准方程、椭圆的几何性质等.对椭圆定义与方程的研究,本节内容起到一个承上启下的重要作用.前面学生用坐标法研究了直线和圆,而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入,也适用于对双曲线和抛物线的学习,更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点,并且以坐标轴为对称轴,求椭圆的标准方程.
思路:设椭圆的一般方程(含参),求出的参数值只有一种情况,可直接写出椭圆方程,避免了对方程形式的讨论;若求出的参数值有两组,则适合条件的方程有两个.
解析:方法一 若椭圆的焦点在轴上,设方程为.由题意,得解得椭圆的标准方程为.
若椭圆的焦点在轴上,设方程为.由题意,得解得椭圆的标准方程为.
综上所述,椭圆的标准方程为或.
方法二 设椭圆方程为,
则由题意得或
解得或
∴椭圆的标准方程为或.
【设计意图】
在解决与椭圆有关的问题时,学生要充分利用椭圆的几何性质,通过观察、讨论、归纳概括使问题简单化.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决与椭圆的有关问题时经常运用,培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
【概括理解能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解椭圆标准方程的两种形式,以及各个量之间的关系,掌握求椭圆标准方程的方法.提升概括理解能力.
2.已知为椭圆上一点,、为椭圆的两焦点,,求的面积.
思路:本题解决关于椭圆和三角形的问题,通常利用椭圆的定义,结合正余弦定理等知识求解.
解析:设,由,所以,
则,又由,则,
所以,,即.则.
【简单问题解决能力】
通过椭圆的几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.提升简单问题解决能力.
3.当时,指出方程表示的曲线.
思路:要想确定表示的曲线,首先应确定的取值范围.
解析:由,则.
(1)当,即时,方程表示焦点在轴上的椭圆;
(2)当,即时,方程表示圆;
(3)当,即时,方程表示焦点在轴上的椭圆.
4.如图所示,圆及点为圆上一点,的垂直平分线交于点,求点的轨迹方程.
思路:由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解.
解析:由垂直平分线的性质可知,
∴,
∴.
∴点的轨迹为椭圆,其中,
焦点为,
∴
∴所求点的轨迹方程为,即.
【简单问题解决能力】
通过例题及时进行总结椭圆的相关知识,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,提升简单问题解决能力.
5.椭圆的两焦点为,以为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为__________.
解析:根据椭圆定义建立关于的关系式或者几何法求离心率.
方法一:如图,∵为正三角形,为的中点,
由椭圆的定义可知
方法二:注意到焦点三角形中,,则由离心率的焦点三角形公式,可得.
答案:
6.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,其长轴长为焦距的2倍,且过点为其左焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过左焦点的直线与椭圆交于两点,当时,求直线的方程.
思路:(1)由已知得,结合隐含条件把、用表示,代入点的坐标可得椭圆方程;
(2)分直线斜率存在和不存在,当斜率存在时,利用弦长公式列式求得直线的斜率,则答案可求.
解析:(1)由题知,
设椭圆的标准方程,
即,
∴,
∴椭圆的标准方程为.
(2)斜率不存在时,不符合题意;斜率存在时,设直线,联立得:
∴,
即,
,即.
即或.
【综合问题解决能力】
设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.通过讨论,让学生互相交流,互相学习,培养他们的合作意识和谦虚好学的品质.在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练,渗透数形结合的数学思想,并感受椭圆方程、图形的对称美,加深对性质的理解.
【以学定教】
启发并引导学生理解椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的作用.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.
教学反思
本节教学设计依据教材,把关注学生的发展放在首位来考虑,尊重学生的认知基础,运用黑板板书和多媒体展示,激发学生的创造力,活跃了气氛,使不同层次的学生都得到发展,通过多媒体教学将抽象化为具体,增强动感直观性,设置层层递进的问题教学,探究椭圆的几何性质,降低学生的学习难度,注重提升学生直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.不足之处是学生的动手实践能力较差,需要教师加强引导和点拨,增加巩固练习.
【以学论教】
根据学生学习椭圆的标准方程及其几何性质的过程和课堂效果总结方法与策略的成功之处,并根据学生所欠缺的能力提出改进方法.
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