第24章 圆 单元练习题（含答案）
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人教版九年级数学上册第24章《圆》单元练习题（含答案）
一、单选题
1．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得并且则这个油桶的底面半径是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
4．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
5．如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5 B．15
C．16 D．18
7．如图，已知、是的弦，，点C在弦上，连接CO并延长CO交于于点D，，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC=36°，则∠DCE的度数是（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
10．下列说法正确的是（ ）
①近似数精确到十分位；
②在，，，中，最小的是；
③如图所示，在数轴上点所表示的数为；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；
⑤如图，在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．某圆的周长是12.56米，那么它的半径是______________，面积是__________．
12．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
13．如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°．
14．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
15．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线．
16．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
三、解答题
17．如图，在菱形ABCD中，，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点．
(1)求证：AB为的直径．
(2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．
18．请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：一个⊙O，使⊙O与AB、BC所在直线都相切，且圆心O在边AC上．
19．如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
(1)证明DE是⊙O的切线；
(2)AD=8，P为⊙O上一点，P到弦AD的最大距离为8．
①尺规作图作出此时的P点，保留作图痕迹；
②求DE的长．
20．如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
21．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；
22．如图，点P是的直径延长线上的一点（），点E是线段的中点．在直径上方的圆上作一点C，使得．求证：是的切线．
23．如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．
24．如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC交⊙O于点P，若，BF＝1，求⊙O的半径．
25．如图，⊙O是以△ABC的边AC为直径的外接圆，∠ACB＝54°，如图所示，D为⊙O上与点B关于AC的对称点，F为劣弧BC上的一点，DF交AC于N点，BD交AC于M点．
(1)求∠DBC的度数；
(2)若F为弧BC的中点，求．
26．已知P为⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合)，连接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ
（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径。
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，设∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α与β的数量关系。
参考答案
1．C2．A3．A4．B5．C6．B7．C8．A9．B10．B
11． 2米 12.56平方米
12．7
13．35
14．36
15．60
16．1
17（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠APB=90°，
∵经过A，B，P三点．
∴AB为的直径；
（2）解：如图，延长DA交于点Q，即为所求，
理由：连接BQ，
∵AB为的直径，
∴∠AQB=90°，
∴∠BDQ+∠PBQ=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=AD，
∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP，
∴∠ABP+∠PBQ=90°，
∵∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠PBQ，
∵∠BAP=∠BQP，
∴∠PBQ =∠BQP，
∴BP=PQ．
18．解：作∠ABC的平分线交AC于O点，以O点为圆心，OC为半径作圆，则为所求作的圆．
19．（1）证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴BD⊥AD，
又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，
∴BD又是AC边上的中线，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，又DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）
解：①如图，作AD的垂直平分线与☉O相交于点P，点P即为所求．
②如图，AD的垂直平分线与AD相交于点F，连接BD，
∵PF⊥AD，
∴AF=AD=4，
设☉O的半径为r，
在Rt△AFO中，AF2+FO2=AO2，
即42+(8 r) 2=r2，解得r=5．
∴FO=PF PO=3，
∵FO是△ABD的中位线，
∴BD=2FO=6，
∵AB为⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
△ABC是等腰三角形，
∴AD=DC=8，
∴BC=AB=10，
在Rt△BDC中，
S△BDC=BD CD=BC DE，
∴DE=4.8．
20．（1）如图，连接，
中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
（2）
如图，过点作，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
21．证明：∵＝，
∴＝，
∴，
∴BD=AC．
22．证明：连接，
∵点E是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
23．证明：∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
24．（1）解：如图所示，连接AF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=BC，∠B=∠D，，
∴∠DAF=∠AFB=90°，
∵CE=CF，
∴CD-CE=BC-CF，即DE=BF，
∴△AED≌△AFB（SAS），
∴∠DAE=∠BAF，
∴∠DAE+∠EAF=90°=∠BAF+∠EAF，
∴∠BAE=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AE是圆O的切线；
（2）解：如图所示，连接BP，
∵AB是圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴，
设圆O的半径为r，则，
∴，
在Rt△ACF中，，
在Rt△ABF中，，
∴，
解得或（舍去），
∴圆O的半径为．
25．（1）
∵点B、点D关于AC对称，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC+∠ACB=90°，
∵∠ACB=54°，
∴∠DBC=90°-54°=36°，
故∠DBC的度数为36°．
（2）
连接OF，
∵点F是的中点，
∴∠BOF=∠COF=2∠BDF，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=54°，
∴∠OBM=∠OBC-∠DBC=54°-36°=18°，∠BOC=180°-2×54°=72°，
∴∠BOF=∠BOC==36°，
∴∠BDF===18°，
∴∠BDF=∠OBM，
∵点B、点D关于AC对称，
∴DM=BM，
∴在△BOM和△DNM中，
∴△BOM≌△DNM，
∴NM=OM，
∴．
26．（1）连接AB，
∵∠APQ=∠BPQ=45°，
∴∠APB=∠APQ+BPQ=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB=，
∴⊙O的半径为；
（2）α+2β=90°，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ=∠BPQ，
∴，
∴∠AOQ=∠BOQ，
∵OA=OB，
∴OQ⊥AB，
∵ON∥AB，
∴NO⊥OQ，
∴∠NOQ=90°，
∵OP=OQ，
∴∠OPN=∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ=180°，
∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，
∴∠NOP+2∠OPN=90°，
∵∠NOP=α，∠OPN=β，
∴α+2β=90°．
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一、单选题
1．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得并且则这个油桶的底面半径是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
4．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
5．如图，内接于，CD是的直径，，则（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5 B．15
C．16 D．18
7．如图，已知、是的弦，，点C在弦上，连接CO并延长CO交于于点D，，则的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC=36°，则∠DCE的度数是（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
10．下列说法正确的是（ ）
①近似数精确到十分位；
②在，，，中，最小的是；
③如图所示，在数轴上点所表示的数为；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；
⑤如图，在内一点到这三条边的距离相等，则点是三个角平分线的交点．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．某圆的周长是12.56米，那么它的半径是______________，面积是__________．
12．如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
13．如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则___________°．
14．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．
15．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线．
16．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
三、解答题
17．如图，在菱形ABCD中，，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点．
(1)求证：AB为的直径．
(2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．
18．请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：一个⊙O，使⊙O与AB、BC所在直线都相切，且圆心O在边AC上．
19．如图所示，AB为⊙O的直径，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
(1)证明DE是⊙O的切线；
(2)AD=8，P为⊙O上一点，P到弦AD的最大距离为8．
①尺规作图作出此时的P点，保留作图痕迹；
②求DE的长．
20．如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的长．
21．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：AC＝BD；
22．如图，点P是的直径延长线上的一点（），点E是线段的中点．在直径上方的圆上作一点C，使得．求证：是的切线．
23．如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．
24．如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC交⊙O于点P，若，BF＝1，求⊙O的半径．
25．如图，⊙O是以△ABC的边AC为直径的外接圆，∠ACB＝54°，如图所示，D为⊙O上与点B关于AC的对称点，F为劣弧BC上的一点，DF交AC于N点，BD交AC于M点．
(1)求∠DBC的度数；
(2)若F为弧BC的中点，求．
26．已知P为⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合)，连接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ
（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径。
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，设∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α与β的数量关系。
参考答案
1．C2．A3．A4．B5．C6．B7．C8．A9．B10．B
11． 2米 12.56平方米
12．7
13．35
14．36
15．60
16．1
17（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠APB=90°，
∵经过A，B，P三点．
∴AB为的直径；
（2）解：如图，延长DA交于点Q，即为所求，
理由：连接BQ，
∵AB为的直径，
∴∠AQB=90°，
∴∠BDQ+∠PBQ=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=AD，
∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP，
∴∠ABP+∠PBQ=90°，
∵∠ABP+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠PBQ，
∵∠BAP=∠BQP，
∴∠PBQ =∠BQP，
∴BP=PQ．
18．解：作∠ABC的平分线交AC于O点，以O点为圆心，OC为半径作圆，则为所求作的圆．
19．（1）证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴BD⊥AD，
又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，
∴BD又是AC边上的中线，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，又DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）
解：①如图，作AD的垂直平分线与☉O相交于点P，点P即为所求．
②如图，AD的垂直平分线与AD相交于点F，连接BD，
∵PF⊥AD，
∴AF=AD=4，
设☉O的半径为r，
在Rt△AFO中，AF2+FO2=AO2，
即42+(8 r) 2=r2，解得r=5．
∴FO=PF PO=3，
∵FO是△ABD的中位线，
∴BD=2FO=6，
∵AB为⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
△ABC是等腰三角形，
∴AD=DC=8，
∴BC=AB=10，
在Rt△BDC中，
S△BDC=BD CD=BC DE，
∴DE=4.8．
20．（1）如图，连接，
中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
（2）
如图，过点作，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
21．证明：∵＝，
∴＝，
∴，
∴BD=AC．
22．证明：连接，
∵点E是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
23．证明：∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
24．（1）解：如图所示，连接AF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=BC，∠B=∠D，，
∴∠DAF=∠AFB=90°，
∵CE=CF，
∴CD-CE=BC-CF，即DE=BF，
∴△AED≌△AFB（SAS），
∴∠DAE=∠BAF，
∴∠DAE+∠EAF=90°=∠BAF+∠EAF，
∴∠BAE=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AE是圆O的切线；
（2）解：如图所示，连接BP，
∵AB是圆O的直径，
∴∠APB=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，
∴，
设圆O的半径为r，则，
∴，
在Rt△ACF中，，
在Rt△ABF中，，
∴，
解得或（舍去），
∴圆O的半径为．
25．（1）
∵点B、点D关于AC对称，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC+∠ACB=90°，
∵∠ACB=54°，
∴∠DBC=90°-54°=36°，
故∠DBC的度数为36°．
（2）
连接OF，
∵点F是的中点，
∴∠BOF=∠COF=2∠BDF，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=54°，
∴∠OBM=∠OBC-∠DBC=54°-36°=18°，∠BOC=180°-2×54°=72°，
∴∠BOF=∠BOC==36°，
∴∠BDF===18°，
∴∠BDF=∠OBM，
∵点B、点D关于AC对称，
∴DM=BM，
∴在△BOM和△DNM中，
∴△BOM≌△DNM，
∴NM=OM，
∴．
26．（1）连接AB，
∵∠APQ=∠BPQ=45°，
∴∠APB=∠APQ+BPQ=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB=，
∴⊙O的半径为；
（2）α+2β=90°，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ=∠BPQ，
∴，
∴∠AOQ=∠BOQ，
∵OA=OB，
∴OQ⊥AB，
∵ON∥AB，
∴NO⊥OQ，
∴∠NOQ=90°，
∵OP=OQ，
∴∠OPN=∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ=180°，
∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，
∴∠NOP+2∠OPN=90°，
∵∠NOP=α，∠OPN=β，
∴α+2β=90°．
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