初中数学人教版八年级上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级上册11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 导学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 496.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-21 09:42:15 | ||
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文档简介
第十一章 三角形
11．1 与三角形有关的线段
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
学习目标：1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
重点：掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.
难点：钝角三角形的两短边上高的画法.
自主学习
一、知识链接
1.如图按要求作图：
P A
A B O B
（1）在左图中，过点P作线段AB的垂线PD；作出线段AB的中点E，则有____=_____.
（2）在右图中，作出∠AOB的平分线，则有∠_____=∠_____=____∠AOB.
二、新知预习
1.三角形的高：
（1）小学我们已经学过三角形的高，如图①，过点A向它的对边画垂线，作出△ABC的高AD.
（2）自主归纳：
①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
②一个三角形有______条高，请在图①中作出△ABC的另外两条高.
③三角形的高是一条_______.
2.（1）如图②，连接△ABC的顶点A和它的边BC的中点D，类比三角形高线的定义，则所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的_____线，画出△ABC其他的两条中线.
（2）自主归纳：
①在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线.
②一个三角形有_____条中线，每条中线都是一条______.
3.三角形的角平分线：
（1）如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗
（2）自主归纳
①三角形角平分线定义：________________________.
②三角形的角平分线与角的平分线的区别是：______________.
③一个三角形有_______条角平分线.
4.几何语言表示三角形的高、中线、角平分线
几何推理 图例
三角形的高 ∵AD是△ABC的高， ∴①____⊥_____， ②∠ADB=∠______=______°.
三角形的中线 ∵BF是△ABC的中线， ∴①AF=_____=______AC. ②AC=____AF=____CF. CB
三角形的角平分线 ∵BE为△ABC的角平分线， ∴①∠1=∠_____=____∠ABC. ②∠ABC=____∠1=___∠2.
三、自学自测
1.按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线.
画中线AD，BE，CF 画高DG，EH，FM 画角平分线GM，HN，IP
四、我的疑惑
________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂探究
要点探究
探究点1：三角形的高
问题1：什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
问题2：由三角形的高你能得到什么结论？
探究交流
1．锐角三角形的三条高
（1）你能画出这个三角形的三条高吗？
（2）这三条高之间有怎样的位置关系？
（3）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？
2．直角三角形的三条高
（1）画出直角三角形的三条高.
（2）它们有怎样的位置关系？
直角边BC上的高是 ；直角边AB上的高是 ；斜边AC上的高是 .
3．钝角三角形的三条高
（1）钝角三角形的三条高相交吗？
（2）AC边上的高是哪条线段？AB边上的高是哪条线段？BC边上的高是哪条线段？
（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？
（4）它们所在的直线交于一点吗？这点位于何处？
归纳 三角形的三条高的特性
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
典例精析
例1 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.
方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
探究点2：三角形的中线
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线.
想一想 由三角形的中线能得到什么结论？
画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
问题3 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
问题4 通过问题3你能发现什么规律？
归纳总结
1.三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
例2 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
探究点3：三角形的角平分线
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗
问题3 一个三角形有几条角平分线？
问题4 请画出这个三角形的另外两条角平分线，你发现了什么？
例3 如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数.
二、课堂小结
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间
的线段．
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，三角
形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形.
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，
连接这个角的顶点与交点的线段.
当堂检测
1．下列说法正确的是 （ ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
3.如图，△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
4.下列各组图形，哪一组图形中AD是△ABC 的BC边上的高 （ ）
5.填空：
（1）如图①，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2 ，BD= ，AE= .
（2）如图②，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=_______，∠3=________，
∠ABC=2______.
6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=____.
7.在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5 cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长.
能力提升
王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？
如果不考虑水源,你认为还可以怎样分
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：（1）AE BE 如图，线段PD，点E即为所求.
（2）AOC BOC 如图，射线OC即为所求.
二、新知预习
1．解：（1）如图①（1），线段AD即为所求.
（2）②3 如图①（2），线段BE、CF即为所求.
③线段
2．解：（1）中 如图②，线段BE、CF即为所求.
（2）②3 线段
3．解：（1）如图③，线段AD即为所求.
（2）①三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线 ③3
4．三角形的高：AD BC ADC 90
三角形的中线：CF 2 2
三角形的角平分线：2 2 2
三、自学自测
1．如图所示即为所求.
四、我的疑惑
课堂探究
一、要点探究
探究点1：三角形的高
问题1 解：定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
问题2 解：∠ADB= ∠ADC=90 °.
探究交流
1．锐角三角形的三条高
问题1 解：（1）如图所示.
（2）锐角三角形的三条高交于同一点.
(3) 锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
2．直角三角形的三条高
（1）如图所示.
（2） BD AB BC 直角三角形的三条高交于直角顶点.
3．钝角三角形的三条高
（1）如图所示.
（2）BF CE AD
（3）钝角三角形的三条高不相交于一点.
（4）钝角三角形的三条高所在直线交于一点.并且这个点在三角形外部.
归纳 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部
典例精析
例1 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．
由△ABC的面积公式可知，AD·BC＝BP·AC.
代入数值，可解得BP＝.
探究点2：三角形的中线
问题1 解：AC=BC=AB.
问题2 解： 定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
想一想 解：BD=CD=BC.
画一画 解：如图，三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.
问题3 解：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
问题4 解：三角形的中线能将三角形的面积平分.
例2 解：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
探究点3：三角形的角平分线
问题1 解：∠AOC= ∠BOC.
问题2 解：如图.
想一想 解：相同点是：∠ABD=∠CBD；不同点是：前者是线段，后者是射线.
问题3 解：3条角平分线
问题4 解，如图，三角形的三条角平分线交于一点，称之为三角形的内心．
例3 解：∵DC平分∠ACB，∴∠ECD=∠BCD=∠ACB.
又DE∥BC，∴∠ACB=∠AED=80°.∴∠ECD=40°.
当堂检测
1．B 2．D 3．B 4．D
5.（1）AF DC AC
（2）∠CAD ∠BCF ∠2
6.12
7.解：∵CD是△ABC的中线，∴BD=AD .
∵BC-AC=5 cm，∴△DBC与△ADC的周长差是5 cm.
又∵△DBC的周长为25 cm，
∴△ADC的周长为25-5=20(cm).
能力提升
思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.
11．1 与三角形有关的线段
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
学习目标：1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
重点：掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.
难点：钝角三角形的两短边上高的画法.
自主学习
一、知识链接
1.如图按要求作图：
P A
A B O B
（1）在左图中，过点P作线段AB的垂线PD；作出线段AB的中点E，则有____=_____.
（2）在右图中，作出∠AOB的平分线，则有∠_____=∠_____=____∠AOB.
二、新知预习
1.三角形的高：
（1）小学我们已经学过三角形的高，如图①，过点A向它的对边画垂线，作出△ABC的高AD.
（2）自主归纳：
①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
②一个三角形有______条高，请在图①中作出△ABC的另外两条高.
③三角形的高是一条_______.
2.（1）如图②，连接△ABC的顶点A和它的边BC的中点D，类比三角形高线的定义，则所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的_____线，画出△ABC其他的两条中线.
（2）自主归纳：
①在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线.
②一个三角形有_____条中线，每条中线都是一条______.
3.三角形的角平分线：
（1）如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗
（2）自主归纳
①三角形角平分线定义：________________________.
②三角形的角平分线与角的平分线的区别是：______________.
③一个三角形有_______条角平分线.
4.几何语言表示三角形的高、中线、角平分线
几何推理 图例
三角形的高 ∵AD是△ABC的高， ∴①____⊥_____， ②∠ADB=∠______=______°.
三角形的中线 ∵BF是△ABC的中线， ∴①AF=_____=______AC. ②AC=____AF=____CF. CB
三角形的角平分线 ∵BE为△ABC的角平分线， ∴①∠1=∠_____=____∠ABC. ②∠ABC=____∠1=___∠2.
三、自学自测
1.按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线.
画中线AD，BE，CF 画高DG，EH，FM 画角平分线GM，HN，IP
四、我的疑惑
________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂探究
要点探究
探究点1：三角形的高
问题1：什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
问题2：由三角形的高你能得到什么结论？
探究交流
1．锐角三角形的三条高
（1）你能画出这个三角形的三条高吗？
（2）这三条高之间有怎样的位置关系？
（3）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？
2．直角三角形的三条高
（1）画出直角三角形的三条高.
（2）它们有怎样的位置关系？
直角边BC上的高是 ；直角边AB上的高是 ；斜边AC上的高是 .
3．钝角三角形的三条高
（1）钝角三角形的三条高相交吗？
（2）AC边上的高是哪条线段？AB边上的高是哪条线段？BC边上的高是哪条线段？
（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？
（4）它们所在的直线交于一点吗？这点位于何处？
归纳 三角形的三条高的特性
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
典例精析
例1 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.
方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
探究点2：三角形的中线
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线.
想一想 由三角形的中线能得到什么结论？
画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
问题3 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
问题4 通过问题3你能发现什么规律？
归纳总结
1.三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
例2 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
探究点3：三角形的角平分线
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗
问题3 一个三角形有几条角平分线？
问题4 请画出这个三角形的另外两条角平分线，你发现了什么？
例3 如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数.
二、课堂小结
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间
的线段．
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，三角
形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形.
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，
连接这个角的顶点与交点的线段.
当堂检测
1．下列说法正确的是 （ ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
3.如图，△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
4.下列各组图形，哪一组图形中AD是△ABC 的BC边上的高 （ ）
5.填空：
（1）如图①，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2 ，BD= ，AE= .
（2）如图②，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=_______，∠3=________，
∠ABC=2______.
6.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=____.
7.在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5 cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长.
能力提升
王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？
如果不考虑水源,你认为还可以怎样分
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．解：（1）AE BE 如图，线段PD，点E即为所求.
（2）AOC BOC 如图，射线OC即为所求.
二、新知预习
1．解：（1）如图①（1），线段AD即为所求.
（2）②3 如图①（2），线段BE、CF即为所求.
③线段
2．解：（1）中 如图②，线段BE、CF即为所求.
（2）②3 线段
3．解：（1）如图③，线段AD即为所求.
（2）①三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线 ③3
4．三角形的高：AD BC ADC 90
三角形的中线：CF 2 2
三角形的角平分线：2 2 2
三、自学自测
1．如图所示即为所求.
四、我的疑惑
课堂探究
一、要点探究
探究点1：三角形的高
问题1 解：定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
问题2 解：∠ADB= ∠ADC=90 °.
探究交流
1．锐角三角形的三条高
问题1 解：（1）如图所示.
（2）锐角三角形的三条高交于同一点.
(3) 锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
2．直角三角形的三条高
（1）如图所示.
（2） BD AB BC 直角三角形的三条高交于直角顶点.
3．钝角三角形的三条高
（1）如图所示.
（2）BF CE AD
（3）钝角三角形的三条高不相交于一点.
（4）钝角三角形的三条高所在直线交于一点.并且这个点在三角形外部.
归纳 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部
典例精析
例1 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．
由△ABC的面积公式可知，AD·BC＝BP·AC.
代入数值，可解得BP＝.
探究点2：三角形的中线
问题1 解：AC=BC=AB.
问题2 解： 定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
想一想 解：BD=CD=BC.
画一画 解：如图，三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.
问题3 解：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
问题4 解：三角形的中线能将三角形的面积平分.
例2 解：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
探究点3：三角形的角平分线
问题1 解：∠AOC= ∠BOC.
问题2 解：如图.
想一想 解：相同点是：∠ABD=∠CBD；不同点是：前者是线段，后者是射线.
问题3 解：3条角平分线
问题4 解，如图，三角形的三条角平分线交于一点，称之为三角形的内心．
例3 解：∵DC平分∠ACB，∴∠ECD=∠BCD=∠ACB.
又DE∥BC，∴∠ACB=∠AED=80°.∴∠ECD=40°.
当堂检测
1．B 2．D 3．B 4．D
5.（1）AF DC AC
（2）∠CAD ∠BCF ∠2
6.12
7.解：∵CD是△ABC的中线，∴BD=AD .
∵BC-AC=5 cm，∴△DBC与△ADC的周长差是5 cm.
又∵△DBC的周长为25 cm，
∴△ADC的周长为25-5=20(cm).
能力提升
思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.