一次函数复习

一次函数复习课
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函数，y=x，y=-x都是正比例函数.
【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.
（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.
（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.
知识点2 函数的图象
把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．
知识点 3一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．
由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.
知识点4 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质
（1）k的正负决定直线的倾斜方向；
①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．
知识点3 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；
（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．
知识点4 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系
（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；
（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．
例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．
知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．
（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．
知识点6 待定系数法
先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．
知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值，得到函数表达式．
例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．
解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0），
由题意可知，
解
∴此函数的关系式为y=．
【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.
思想方法小结 （1）函数方法．
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．
（2）数形结合法．
数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
知识规律小结 （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．
①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；
当b=0时，直线经过原点；
当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．
②当k，b异号时，即-＞0时，直线与x轴正半轴相交；
当b=0时，即-=0时，直线经过原点；
当k，b同号时，即-﹤0时，直线与x轴负半轴相交．
③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；
当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；
当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；
当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；
当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；
当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．
（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．
直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)
当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；
当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．
（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．
①k1≠k2y1与y2相交；
②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；
③y1与y2平行；
④y1与y2重合.
典例剖析
基本概念题
本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；
（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.
[分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．
解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l）（6）是正比例函数．
例2 当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？
[分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．
解：∵函数y=（m-2）x+（m-4）是一次函数，
∴∴m=-2.
∴当m=-2时，函数y=（m-2）x+（m-4）是一次函数．
小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．
基础知识应用题
本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．
例3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数．
[分析] （1）弹簧每挂1kg的物体后，伸长0．5cm，则挂xkg的物体后，弹簧的长度y为（l5+0．5x）cm，即y=15+0．5x．
（2）自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值，即0≤x≤18．
(3)由y=15+0．5x可知，y是x的一次函数．
解：（l）y=15+0．5x．
（2）自变量x的取值范围是0≤x≤18．
（3）y是x的一次函数．
学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是 .
老师评一评 研究本题可采用线段图示法，如图11－19所示．
火车从乌鲁木齐出发，t小时所走路程为58t千米，此时，距离库尔勒的距离为s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t．
例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．
［分析］ 本题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t的具体值．从题中可以知道，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，则上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5×（-2）+100=102（℃）．
答案：102
例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y的值；
（3）当y=4时，求x的值．
[分析] 由y-3与x成正比例，则可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式．
解：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．
把x=2，y=7代入y-3=kx中，得
7-3＝2k，
∴k＝2．
∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．
（2）当x=4时，y=2×4+3=11．
（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=.
学生做一做 已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是 .
老师评一评 由y与x+1成正比例，可设y与x的函数关系式为y=k（x+1）.
再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y关于x的函数关系式．
设y关于x的函数关系式为y=k（x+1）.
∵当x=5时，y=12，
∴12=（5+1）k，∴k=2．
∴y关于x的函数关系式为y=2x+2．
【注意】 y与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.
例6 若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m﹤O B．m＞0
C．m﹤ D．m＞M
[分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1＜x2时，y1＞y2，说明y随x的增大而减小，所以1-2m﹤O,∴m＞，故正确答案为D项．
学生做一做 某校办工厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元．
（1）写出年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）求5年后的产值．
老师评一评 （1）年产值y（万元）与年数x（年）之间的函数关系式为y=15+2x．
（2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量取值范围为x≥0，因此，函数y=15+2x的图象应为一条射线．
画函数y=12+5x的图象如图11－21所示．
（3）当x=5时，y＝15+2×5=25（万元）
∴5年后的产值是25万元．
例7 已知一次函数y=kx+b的图象如图11－22所示，求函数表达式．
［分析］ 从图象上可以看出，它与x轴交于点（-1，0），与y轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k为即可．
解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3）两点，
代入到y=kx+b中，得
∴
∴此函数的表达式为y=-3x-3.
例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．
［分析］ 图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．
解：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，
∴图象经过点（2，-1），
∴-l=2×2+b．
∴b=-5，
∴所求一次函数的表达式为y=2x-5.
综合应用题
本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．
例8 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．
（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；
（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？
［分析］ 判断某函数是一次函数，只要符合y=kx+b（k，b中为常数，且k≠0）即可；判断某函数是正比例函数，只要符合y=kx(k为常数，且k≠0)即可．
解：（1）y是x的一次函数．
∵y+a与x+b是正比例函数，
∴设y+a=k(x+b)（k为常数，且k≠0）
整理得y=kx+（kb-a）．
∵k≠0，k，a，b为常数，
∴y=kx+(kb-a)是一次函数．
（2）当kb-a=0，即a=kb时，
y是x的正比例函数．
例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．
（1）写出y1，y2与x之间的关系；
（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？
（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？
［分析］ 这是一道实际生活中的应用题，解题时必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论．
解：（1）y1=50+0．4x（其中x≥0，且x是整数）
y2=0．6x（其中x≥0，且x是整数）
(2)∵两种通讯费用相同，
∴y1=y2，
即50+0．4x=0．6x．
∴x＝250．
∴一个月内通话250分时，两种通讯方式的费用相同．
（3）当y1=200时，有200=50+0．4x，
∴x=375（分）．
∴“全球通”可通话375分．
当y2=200时，有200=0．6x，
∴x=333（分）．
∴“神州行”可通话333分．
∵375＞333，
∴选择“全球通”较合算．
例10 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？
（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；
（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．
［分析］ 由已知y+2与x成正比例，可设y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，这样即可得到y与x之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把x=m，y=6代入即可求出m的值．
解：（1）∵y+2与x成正比例，
∴设y+2=kx（k是常数，且k≠0）
∵当x=-2时，y=0．
∴0+2＝k·（-2），∴k＝-1．
∴函数关系式为x+2=-x，
即y=-x-2．
（2）列表；
x 0 -2
y -2 0
描点、连线，图象如图11－23所示．
（3）由函数图象可知，当x≤-2时，y≥0．
∴当x≤-2时，y≥0．
(4)∵点（m，6）在该函数的图象上，
∴6=-m-2,
∴m＝-8．
（5）函数y=-x-2分别交x轴、y轴于A，B两点，
∴A（-2，0），B（0，-2）．
∵S△ABP=·|AP|·|OA|=4，
∴|BP|=.
∴点P与点B的距离为4．
又∵B点坐标为(0，-2),且P在y轴负半轴上，
∴P点坐标为(0，-6).
例11 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.
（1）k为何值时，它的图象经过原点？
（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）
（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？
（4）k为何值时，y随x的增大而减小？
[分析] 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y轴的交点在y轴上方，说明常数项b＞O；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y随x的增大而减小，说明一次项系数小于0．
解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．
∴∴k＝-2．
∴当k=-3时，它的图象经过原点．
（2）该一次函数的图象经过点（0，-2）.
∴-2=-2k2+18，且3-k≠0，
∴k=±
∴当k=±时，它的图象经过点(0，-2)
（3）函数图象平行于直线y=-x，
∴3-k=-1，
∴k＝4．
∴当k＝4时，它的图象平行于直线x=-x．
（4）∵随x的增大而减小，
∴3-k﹤O．
∴k＞3．
∴当k＞3时，y随x的增大而减小．
例12 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．
[分析] 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．
解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．
由题意可知，
∴
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．
∴当x=4时，y=4-2=2．
∴点C（4，2）在直线y=x-2上．
∴三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．
学生做一做 判断三点A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一条直线上.
探索与创新题
主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．
例13 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：
（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？
（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？
甲生说：“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”
乙生说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”
你认为这两个同学的说法正确吗？
［分析］ （1）可先画出这两个函数的图象，从图象中发现，当x＞2时，6x＞2x+8，所以，y=6x的函数值先达到30．
（2）直线y=-x与y=-x+6中的一次项系数相同，都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是正确的．
解：这两位同学的说法都正确．
例14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．
（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；
（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
［分析］ 先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论．
解：（1）甲旅行社的收费y甲（元）与学生人数x之间的函数关系式为
y甲=240+×240x=240+120x.
乙旅行社的收费y乙（元）与学生人数x之间的函数关系式为
y乙=240×60％×（x+1）=144x+144．
（2）①当y甲=y乙时，有240+120x=144x+144，
∴24x＝96，∴x=4．
∴当x=4时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可以．
②当y甲＞y乙时，240+120x＞144x+144，
∴24x＜96，∴x＜4．
∴当x﹤4时，去乙旅行社更优惠．
③当y甲﹤y乙时，有240+120x﹤140x+144，
∴24x＞96，∴x＞4．
∴当x＞4时，去甲旅行社更优惠．
小结 此题的创新之处在于先通过计算进行讨论，再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图象来研究本题也不失为一种很好的方法．
学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；
（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由．
老师评一评 先求出两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，再通过比较，探索出结论．
（1）甲方案的付款y甲（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为
y甲=9x（x≥3000）；
乙方案的付款y乙（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式为
y乙=8x+500O（x≥3000）．
（2）有两种解法：
解法1：①当y甲=y乙时，有9x=8x+5000，
∴x=5000．
∴当x=5000时，两种方案付款一样，按哪种方案都可以．
②当y甲﹤y乙时，有9x﹤8x+5000，
∴x＜5000．
又∵x≥3000，
∴当3000≤x≤5000时，甲方案付款少，故采用甲方案．
③当y甲＞y乙时，有9x＞8x+5000，
∴x＞5000．
∴．当x＞500O时，乙方案付款少，故采用乙方案．
解法2：图象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象，如图11－24所示，由图象可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y甲﹤y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y甲﹥y乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y甲＞y乙，即选择乙方案付款最少．
【说明】 图象法是解决问题的重要方法，也是考查学生读图能力的有效途径.
例15 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .
[分析] 本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b中可得
∴∴函数解析式为y=-x-4．
②当k﹤O时则随x的增大而减小，则有：当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kx＋b中可得
∴∴函数解析式为y=-x-3.
∴函数解析式为y=x-4，或y=-x-3.
答案：y=x-4或y=-x-3.
【注意】 本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.
中考试题预测
例1 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？
[分析] 设举办乒乓球比赛的费用y（元）与租用比赛场地等固定不变的费用b（元）和参加比赛的人数x（人）的函数关系式为y=kx+b（k≠0）.
把x=20，y=1600；x=30，y=2000代入函数关系式，求出k，b的值，进而求出y与x之间的函数关系式，当x=50时，求出y的值，再求得y÷50的值即可．
解：（1）设y1=b，y2=kx（k≠0，x＞0），
∴y=kx+b．
又∵当x=20时，y=1600；当x=30时,y=2000，
∴∴
∴y与x之间的函数关系式为y=40x+800（x＞0）.
（2）当x=50时，y=40×50+800=2800（元）．
∴每名运动员需支付2800÷50=56（元〕
答：每名运动员需支付56元．
例2 已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．
（1）求这个函数的解析式。
（2）在直角坐标系内画出这个函数的图象．
[分析] 求函数的解析式，需要两个点或两对x，y的值，把它们代入y=kx+b中，即可求出k在的值，也就求出这个函数的解析式，进而画出这个函数的图象．
解：（1）由题意可知
∴
∴这个函数的解析式为x=-2x+1.
(2)列表如下：
x 0
y 1 0
描点、连线，如图11－26所示即为y=-2x+1的图象．
例3 如图11－27所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据．
指距d/cm 20 21 22 23
身高h/cm 160 169 178 187
（1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围）
（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？
[分析] 设h与d之间的函数关系式是h=kd+b（k≠0）
当d＝20时，h=160；当d=21时,h=169．
把这两对d,h值代人h=kd+b得
∴
所以得出h与d之间的函数关系式，当h=196时，即可求出d．
解：（1）设h与d之间的函数关系式为h=kd+b(k≠0)
由题中图表可知当d=2O时,h=16O；当d=21时，h=169.
把它们代入函数关系式，得
∴
∴h与d之间的函数关系式是h=9d-20．
（2）当h=196时，有196=9d-20．
∴d＝24．
∴当某人的身高为196cm时，一般情况下他的指距是24cm．
例4 汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米／时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系用图象（如图11－28所示）表示应为（ ）
[分析] 本题主要考查函数关系式的表达及函数图象的知识，由题意可知,汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系式是s=400-100t，其中自变量t的取值范围是0≤t≤4，所以有0≤s≤400，因此这个函数图象应为一条线段，故淘汰掉D．又因为在S=400-100t中的k=-100＜0，∴s随t的增大而减小，所以正确答案应该是C．
答案：C
小结 画函数图象时，要注意自变量的取值范围，尤其是对实际问题．
例5 已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过点（2，-5）.请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数关系式： ．
[分析] 这是一个开放性试题，答案是不惟一的，因为点（2，-5）在第四象限，而图象又不经过第二象限，所以这个函数图象经过第一、三、四象限，只需在第一象限另外任意找到一点，就可以确定出函数的解析式．设经过第一、二、四象限的直线解析式为y=kx+b（k≠O），另外的一点为（4，3），把这两个点代入解析式中即可求出k，b.
∴∴y=4x-13.
答案：y＝4x-13
【注意】 后面学习了反比例函数二次函数后可另行分析.
例6 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，另么b=0．8（220-a）．
（1）正常情况下，在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多少？
（2）一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次，他有危险吗？
[分析] （1）只需求出当a=16时b的值即可．
（2）求出当a=50时b的值，再用b和20×=120（次）相比较即可．
解：（1）当a=16时，
b=0．8（220-16）＝163．2（次）．
∴正常情况下，在运动时一个16岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是163．2次．
（2）当a=50时，
b=0．8（220-50）=0．8×170=136（次），表示他最大能承受每分136次．
而20×=120﹤136，所以他没有危险．
∴一个50岁的人运动10秒时心跳的次数为20次，他没有危险．
例7 某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县．已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元／吨）如下表所示．
（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．
［分析］ 利用表格来分析C，D两县运到A，B两县的化肥情况如下表．
则总运费W（元）与x（吨）的函数关系式为
W=35x+40（90-x）+30（100-x）+45[60-（100-x）]=10x+4800．
自变量x的取值范围是40≤x≤90．
解：（1）由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100-x）吨．
D县运往A县的化肥为（90-x）吨，D县运往B县的化肥为（x-40）吨．
由题意可知
W＝35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）＝10x+4800．
自变量x的取值范围为40≤x≤90．
∴总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式为
w＝1Ox+480O（40≤x≤9O）．
（2）∵10＞0，
∴W随x的增大而增大．
∴当x=40时，
W最小值=10×40+4800=5200（元）．
运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）．
∴当总运费最低时，运送方案是：C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D县的50吨化肥全部运往A县．
例8 2006年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图11－29是某水库的蓄水量V（万米2）与干旱持续时间t（天）之问的关系图，请根据此图回答下列问题．
（1）该水库原蓄水量为多少万米2？持续干旱10天后．水库蓄水量为多少万米3？
（2）若水库存的蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？
（3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？
[分析] 由函数图象可知，水库的蓄水量V（万米2）与干旱时间t（天）之间的函数关系为一次函数，设一次函数的解析式是V=kt+b（k，b是常数，且k≠0）.由图象求得这个函数解析式，进而求出本题（1）（2）（3）问即可．
解：设水库的蓄水量V（万米3）与干旱时间t（天）之间的函数关系式是
V=kt+b（k，b是常数，且k=0）．
由图象可知，当t=10时，V=800；当t=30时，V=400．
把它们代入V=kt+b中，得
∴
∴V=-20t+1000（0≤t≤50）．
（1）当t=0时，V=-20×0+1000=1000（万米2）；
当t=10时，V=-20×10+1000=800（万米3）．
∴该水库原蓄水量为1000万米3，持续干旱10天后，水库蓄水量为800万米3．
（2）当V＜400时，有-20t+1000＜400，
∴t＞30，
∴当持续干旱30天后，将发生严重干旱警报．
（3）当V=0时，有-20t+1000=0，
∴t＝50，
∴按此规律，持续干旱50天时，水库将干涸．
【说明】解决本题的关键是求出V与t之间的函数关系式.
例9 图11－30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题．
（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？
（2）这次比赛全程是多少千米？
（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？
［分析］ 本题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力．解决本题的关键是写出甲、乙两人在行驶中，路程y（千米）随时间x（分）变化的函数关系式，其中：乙的函数图象为正比例函数，而甲的函数图象则是三段线段，第一段是正比例函数，第二段和第三段是一次函数，需分别求出．
解：（1）当15≤x＜33时，设yAB=k1x+b1，把（15，5）和（33，7）代入，解得k1=,b1=,
∴yAB=x+.∴yAB=x+.
当y=6时，有6=x+，
∴x=24。
∴比赛开始24分时，两人第一次相遇．
（2）设yOD=mx,把（4，6）代入，得m=，
当X=48时，yOD=×48=12（千米）
∴这次比赛全程是12千米．
（3）当33≤x≤43时，设yBC=k2x+b2，把（33，7）和（43，12）代入，
解得k2=，b2=-.∴yBC=x-.
解方程组得得
∴x=38.
∴当比赛开始38分时，两人第二次相遇．
例10 如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式．
[分析] 设直线l的解析式为y=kx(k≠0),因为l分△AOB面积比为2：1，故分两种情况：①S△AOC：S△BOC=2：1；②S△AOC：S△BOC=1：2．求出C点坐标，就可以求出直线l的解析式．
解：∵直线y=x+3的图象与x,y轴交于A，B两点．
∴A点坐标为（-3，0）,B点坐标为(0,3).
∴|OA|＝3，|OB|=3．
∴S△AOB=|OA|·|OB|=×3×3=.
设直线l的解析式为y=kx（k≠0）.
∵直线l把△AOB的面积分为2：1，直线l与线段AB交于点C
∴分两种情况来讨论：
①当S△AOC:S△BOC=2:1时，设C点坐标为（x1，y1）.
又∵S△AOB=S△AOC+S△BOC=，
∴S△AOB==3.
即S△AOC=·|OA|·|y1|=×3×|y1|=3.
∴y1=±2，由图示可知取y1=2．
又∵点C在直线AB上，
∴2=x1+3，∴x1=-1.
∴C点坐标为（-1，2）．
把C点坐标（-1，2）代人y=kx中，得
2=-1·k，∴k＝-2．
∴直线l的解析式为y=-2x．
②当S△AOC:S△BOC=1:2时，设C点坐标为(x2,y2)．
又∵S△AOC=S△AOC+S△BOC=,
∴S△AOB=
即S△AOC=·|OA|·|y2|=·3·|y2|=.
∴y2=±1，由图示可知取y2=1.
又∵点C在直线AB上，
∴1=x2+3，∴x2=-2.
把C点坐标（-2，1）代入y=kx中，得
1=-2k，∴k=-y2.
∴直线l的解析式为y=-x.
∴直线l的解析式为y=-2x或y=-x.