人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《椭圆课时2》教学设计

《椭圆》教学设计
课时2椭圆的简单几何性质(1)
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
椭圆及其标准方程 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 【考查内容】 1.根据几何条件求出椭圆方程. 2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用. 3.会判断直线与椭圆的位置关系. 【考查题型】 填空题、选择题、解答题
椭圆的简单几何性质(1) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
椭圆的简单几何性质(2) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
本节课是圆锥曲线的第一课时,它是在学生学习了直线和圆的方程,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上,进一步学习用坐标法研究曲线.从知识上讲,椭圆的标准方程是解析法的进一步运用,同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上讲,它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础;从教材编排上讲,现行教材中把三种圆锥曲线独编一章,更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用,是本章的重点内容,是几何的研究实现了代数化.数与形的有机结合,在本章中得到了充分体现.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.椭圆及其标准方程 2.椭圆的简单几何性质(1) 3.椭圆的简单几何性质(2) 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.
从学生现有的学习能力看,通过一年多的学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力.
从学生的学习心理上看,学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平,如何给椭圆以数学描述 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题,也是学习的重点问题.他们渴望将感性认识理性化,渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心态是学生学好本节课的情感基础.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.椭圆及其标准方程
2.椭圆的简单几何性质(1)
3.椭圆的简单几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其几何性质.
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
3.运用标准方程解决相关问题.
【教学策略设计】
新课程倡导学生自主学习,要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者,使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程.本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法,并用多媒体手段辅助教学,使学生经历实践、观察、交流、分析、概括等理性思维的基本过程,切实改进学生的学习方式,使学生真正成为学习的主人.
根据本节内容的特点,教学过程中可充分发挥信息技术的作用,用几何画板的动态作图优势为学生的数学与数学思维提供支持.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2.椭圆的简单几何性质.
难点:
1.运用标准方程解决相关问题.
2.解决与椭圆性质有关的问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:圆规、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程,请同学们回忆椭圆的标准方程是怎样的,它们有几种形式.
生:(1)焦点在轴上:.
(2)焦点在轴上:.
师:与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样,我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质,包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
师:请同学们观察下图,我们一起来研究椭圆的几何性质.
【学生分组交流,教师点拨】
【以学定教】
教师提出问题,学生回忆椭圆的定义和标准方程,并请每个同学都写出一个具体的椭圆方程.通过对前一节内容的复习,引出课题.从方程的角度,通过坐标法研究椭圆是本节课的主线,为后面内容的展开埋下伏笔.
【以学论教】
教师的适时引导,培养了学生的问题意识,调动学生参与问题讨论的积极性,培养逻辑推理、理性思维的能力.突出重点,化解难点.
教学精讲
探究1 椭圆的范围
师:椭圆围在一个矩形内.椭圆位于四条直线所围成的矩形里,说明椭圆是有范围的.你能从图上看出它的范围吗
【教师引导学生利用方程变形和不等式的性质进行推导,并补充运用代数方法研究曲线的范围,就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围】
生:由方程,可知,
所以,椭圆上点的横坐标都适合不等式,即.
同理有,即.
椭圆方程中、的范围为且.
探究2 椭圆的对称性
师:椭圆的图形给人们以视觉上的美感,请同学们思考这种美来自于什么.
生:椭圆的美来自于对称性.
师:请同学们思考椭圆具有怎样的对称性,说出椭圆的轴对称性和中心对称性.
【活动学习】
使学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法.动画展示椭圆的对称性,使学生体会椭圆的对称美.
【教师引导学生不能只满足于观察得到的结果,数学结论必须通过代数方法去论述,请同学们仿照讨论椭圆范围的方法,来研究其对称性】
师:利用椭圆方程进行推导,以代,方程不变.这说明当点在椭圆上时,它关于轴的对称点也在椭圆上,所以椭圆关于轴对称.同理,以代,方程也不变,这说明如果点在椭圆上,那么它关于轴的对称点也在椭圆上,所以椭圆关于轴对称.代,以代,方程也不变,这说明当点在椭圆上时,它关于原点的对称点也在椭圆上,所以椭圆关于原点对称.
生:椭圆关于轴、轴都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
【教师板书,学生动手实践】
【要点知识】
椭圆的对称性
椭圆的图像关于轴、轴和原点对称,坐标轴是其对称轴,坐标原点是其对称中心,对称中心也叫椭圆的中心.
【自主学习】
引导学生观察并思考椭圆的范围、对称性、顶点这几个几何性质.在得到结论后,鼓励学生利用椭圆方程和坐标法,给出代数证明,逐步形成运用坐标法研究思考几何问题的解析几何思维模式,深化数形结合思想.
【观察记忆能力】
由对称性的推导过程和观察图形本身可以分析椭圆的对称性,提升学生数形结合的思想和观察记忆能力.
探究3 椭圆的顶点
师:请同学们自己绘制椭圆,你认为如何画比较准确,椭圆上哪几个点比较特殊,应该要先绘制出来呢
生:椭圆上存在着四个特殊点,这四个点就是椭圆与坐标轴的交点,同时也是椭圆与它的对称轴的交点.
师:同学们能根据方程确定这四个顶点的坐标吗
【由学生自主探究,求出四个顶点坐标】
生:令,得.因此是椭圆与轴的两个交点.同理,令,得.因此是椭圆与轴的两个交点.因为轴、轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.
师:得到线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于和和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
【要点知识】
椭圆的顶点
在椭圆的标准方程中.
顶点定义:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.
顶点坐标:,
线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于和和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
【概括理解能力】
通过椭圆的标准方程,运用方程与函数的思想,获得椭圆的几何性质,进而推广到一般.帮助学生进一步体会数形结合的思想方法.提高学生的概括理解的能力.
【活动学习】
根据学生的动手实践,学生可以发现是什么因素引起椭圆扁平程度的不同,从而引出离心率的概念,引出新知识自然到位.
探究4 椭圆的离心率
师:请同学们互相看一下同桌画的椭圆,大家绘制的形状一样吗
生:形状不同.
师:我们发现,不同椭圆的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗
【教师可以利用信息技术,绘制椭圆,保持长半轴长不变,改变椭圆的半焦距,可以发现,越接近,椭圆越扁平.类似地,保持不变,改变的大小,则越接近,椭圆越扁平;而当、扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变】
【猜想探究能力】
多媒体的合理使用,把问题直观化,结合逐层深入分析,从而把难度转弱,逐步化解难点,突出重点.培养学生的自主探索意识,合作交流的精神和猜想探究的能力.
【方案1:引导学生观察动画并得到结论,如果同学们一致认为利用和这两个量,可以刻画椭圆的扁平程度,则给出离心率的概念:我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率,用表示,即】
【方案2:如果有的同学们认为利用和这两个量也可以达到相同的效果,这里可以稍作补充:和都来自于椭圆定义,是确定圆锥曲线的基本量,不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度,而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性,为后续学习做好铺垫】
师:同学们能根据椭圆中和这两个量的关系,得到离心率的范围吗
生:因为,所以.
师:我们得到了离心率,它的变化是如何影响椭圆形状的呢
【师生交流,教师引导学生得到结论,教师展示多媒体】
生:越接近越接近就越小,因此椭圆越扁平;反之,越接近0,越接近越接近,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当时,,这时两个焦点重合,图形变为圆,它的方程为.
【活动学习】
通过绘制椭圆的活动和观察椭圆的动画,启发学生发现影响椭圆形状的量;在得到离心率概念后,再通过代数方法去论述其变化与椭圆形状的关系,巩固运用坐标法研究几何问题的思维模式.
【要点知识】
椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率,用表示,即.
(1)离心率的取值范围:;
(2)离心率对椭圆形状的影响:越接近1,椭圆越扁平;越接近0,椭圆越接近于圆.
师:归纳椭圆的标准方程的简单几何性质,运用同样的方法,探索焦点在轴上的椭圆,说说它又会有怎样的几何性质.
【师生交流,教师引导学生得到结论,教师展示多媒体】
【要点知识】
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
范围 且 且
顶点
轴长 长轴长为,短轴长为
焦点
焦距
对称性 对称轴:轴、轴,对称中心:坐标原点
离心率 其中
【概括理解能力】
师生共同研究了椭圆的范围、对称性、顶点和离心率,掌握这些性质是解决有关问题的基础.归纳知识,有利于学生理清知识脉络,深化学生对性质的理解.
师:根据学到的知识解决下面的问题.
【典型例题】
椭圆的基本性质
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
【学生先独立完成,然后就解题思路和结果进行展示交流,教师点评并给出规范的解答】
【典例解析】
椭圆的基本性质
解:把原方程化成标准方程,得,于是.
因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是和,离心率,两个焦点坐标分别是和,四个顶点坐标分别是,和.
【分析计算能力】
巩固学生对本节课椭圆简单几何性质相关内容的掌握,熟练椭圆标准方程化简的基本技能,深化对长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的坐标等一系列概念及其关系的理解,并为后续的椭圆几何性质应用做好铺垫.提升分析计算能力.
师:我们再做一道关于椭圆基本性质的题目.
【典型例题】
椭圆的基本性质
例2 已知椭圆,设椭圆与椭圆的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆的焦点在轴上.
(1)求椭圆的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆的方程,并研究其性质.
【教师引导学生分析思路,学生独立完成,教师点评并给出规范的解答】
【典例解析】
椭圆的基本性质
解:(1)由椭圆,可得其半长轴长为10,半短轴长为8,焦点坐标为,离心率.
(2)椭圆.性质如下:
①范围:且;
②对称性:关于轴、轴、原点对称;
③顶点:长轴顶点,短轴顶点;
④焦点:;
⑤离心率:.
【自主学习】
使学生形成完整的知识结构,培养学生运用类比化归的思想解决实际问题的能力,体会椭圆的几何性质是椭圆自身固有的,与坐标系的选取无关.
师:接下来我们进行课堂巩固练习.
【巩固练习】
椭圆的基本性质
求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
【学生自主思考做题,教师给出答案】
【典例解析】
椭圆的基本性质
解:由已知得,因为,所以.
所以椭圆的焦点在轴上,并且半长轴长,
半短轴长,半焦距,所以椭圆的长轴长,短轴长,焦点坐标为,
顶点坐标为,离心率.
【分析计算能力】
设计不同层次的习题,是为了让学生能够理解并运用椭圆的几何性质,解决简单的椭圆问题;也让学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣和“减负”的目的.提升分析计算能力.
师:同学们,今天我们学习到了椭圆的哪些基本性质 请大家思考交流一下.
【学生讨论、交流,教师补充并展示多媒体】
【课堂小结】
椭圆的简单几何性质(1)
1.知识小结
(1)学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义.
(2)研究了椭圆的几个基本量、、、及其相互之间的关系.
2.数学思想方法
(1)数与形的结合,用代数的方法解决几何问题.
(2)分类讨论的数学思想.
【设计意图】
通过椭圆几何性质的推导过程和本节所学知识练习巩固,使学生自主解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
教学评价
本节是《圆锥曲线的方程》的第一部分,主要学习椭圆的定义和标准方程、椭圆的几何性质等.对椭圆定义与方程的研究,本节内容起到一个承上启下的重要作用.前面学生用坐标法研究了直线和圆,而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入,也适用于对双曲线和抛物线的学习,更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点,并且以坐标轴为对称轴,求椭圆的标准方程.
思路:设椭圆的一般方程(含参),求出的参数值只有一种情况,可直接写出椭圆方程,避免了对方程形式的讨论;若求出的参数值有两组,则适合条件的方程有两个.
解析:方法一 若椭圆的焦点在轴上,设方程为.由题意,得解得椭圆的标准方程为.
若椭圆的焦点在轴上,设方程为.由题意,得解得椭圆的标准方程为.
综上所述,椭圆的标准方程为或.
方法二 设椭圆方程为,
则由题意得或
解得或
∴椭圆的标准方程为或.
【设计意图】
在解决与椭圆有关的问题时,学生要充分利用椭圆的几何性质,通过观察、讨论、归纳概括使问题简单化.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决与椭圆的有关问题时经常运用,培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
【概括理解能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解椭圆标准方程的两种形式,以及各个量之间的关系,掌握求椭圆标准方程的方法.提升概括理解能力.
2.已知为椭圆上一点,、为椭圆的两焦点,,求的面积.
思路:本题解决关于椭圆和三角形的问题,通常利用椭圆的定义,结合正余弦定理等知识求解.
解析:设,由,所以,
则,又由,则,
所以,,即.则.
【简单问题解决能力】
通过椭圆的几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.提升简单问题解决能力.
3.当时,指出方程表示的曲线.
思路:要想确定表示的曲线,首先应确定的取值范围.
解析:由,则.
(1)当,即时,方程表示焦点在轴上的椭圆;
(2)当,即时,方程表示圆;
(3)当,即时,方程表示焦点在轴上的椭圆.
4.如图所示,圆及点为圆上一点,的垂直平分线交于点,求点的轨迹方程.
思路:由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解.
解析:由垂直平分线的性质可知,
∴,
∴.
∴点的轨迹为椭圆,其中,
焦点为,
∴
∴所求点的轨迹方程为,即.
【简单问题解决能力】
通过例题及时进行总结椭圆的相关知识,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,提升简单问题解决能力.
5.椭圆的两焦点为,以为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为__________.
解析:根据椭圆定义建立关于的关系式或者几何法求离心率.
方法一:如图,∵为正三角形,为的中点,
由椭圆的定义可知
方法二:注意到焦点三角形中,,则由离心率的焦点三角形公式,可得.
答案:
6.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,其长轴长为焦距的2倍,且过点为其左焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过左焦点的直线与椭圆交于两点,当时,求直线的方程.
思路:(1)由已知得,结合隐含条件把、用表示,代入点的坐标可得椭圆方程;
(2)分直线斜率存在和不存在,当斜率存在时,利用弦长公式列式求得直线的斜率,则答案可求.
解析:(1)由题知,
设椭圆的标准方程,
即,
∴,
∴椭圆的标准方程为.
(2)斜率不存在时,不符合题意;斜率存在时,设直线,联立得:
∴,
即,
,即.
即或.
【综合问题解决能力】
设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.通过讨论,让学生互相交流,互相学习,培养他们的合作意识和谦虚好学的品质.在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练,渗透数形结合的数学思想,并感受椭圆方程、图形的对称美,加深对性质的理解.
【以学定教】
启发并引导学生理解椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的作用.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.
教学反思
本节教学设计依据教材,把关注学生的发展放在首位来考虑,尊重学生的认知基础,运用黑板板书和多媒体展示,激发学生的创造力,活跃了气氛,使不同层次的学生都得到发展,通过多媒体教学将抽象化为具体,增强动感直观性,设置层层递进的问题教学,探究椭圆的几何性质,降低学生的学习难度,注重提升学生直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.不足之处是学生的动手实践能力较差,需要教师加强引导和点拨,增加巩固练习.
【以学论教】
根据学生学习椭圆的标准方程及其几何性质的过程和课堂效果总结方法与策略的成功之处,并根据学生所欠缺的能力提出改进方法.
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