人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1《椭圆》知识探究课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
人教A版同步教材名师课件
椭圆
---知识探究
平面内到两定点、的距离的和等于常数(大于的点的轨迹叫做椭圆.两定点、叫做椭圆的焦点.
集合,其中,且为常数.
(1)当时,点的轨迹是椭圆.
(2)当时,点的轨迹是线段.
(3)当时,点不存在.
探究点1 椭圆的定义及其应用
要点辨析
椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧:
(1)椭圆的定义具有双向作用,即若,则点的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和必为.
(2)涉及焦点三角形面积时,可把看作一个整体,运用及余弦定理求出,而无需单独求解.
典例1 已知、是椭圆的两个焦点,为椭圆上的一点,,则____________.
概括理解能力、分析计算能力
典型例题
本题在焦点三角形中利用对椭圆定义的理解,结合余弦定理和面积公式计算求解.因为,又,所以,即,所以,所以,
又因为.
解析
探究点2 椭圆的标准方程
1.椭圆的标准方程
标准方程 焦点 焦距
且
探究点2 椭圆的标准方程
2.两种椭圆标准方程的比较
相同点 不同点
形状、大小相同,,,焦距为 焦点在轴上 方程中,对应的分母大
焦点在轴上 方程中,对应的分母大
要点辨析
根据条件求椭圆方程的两种方法:
定义法 根据椭圆的定义,确定、的值,结合焦点位置写出椭圆方程
待定 系数法 待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数、.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为,再用待定系数法求出、的值即可
典例2 过点,且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_________.
分析计算能力
典型例题
解析
分析题意要求,利用两种方法计算求椭圆的标准方程.
方法一:定义法 椭圆的焦点为,即.
由椭圆的定义,知,
解得.由可得,所以所求椭圆的标准方程为.
典例2 过点,且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_________.
分析计算能力
典型例题
解析
方法二:待定系数法 ∵所求椭圆与椭圆的焦点相同,
∴其焦点在轴上,且.设它的标准方程为.
∵,且,故.①又点在所求椭圆上,即.②由①②得,∴所求椭圆的标准方程为.
探究点3 与椭圆有关的轨迹问题
求解与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有:直接法、定义法和代入法.
(1)定义法
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用,是一种重要的解题方法.
探究点3 与椭圆有关的轨迹问题
(2)代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系,可以把点的坐标用点的坐标表示出来,然后代入已知曲线的方程,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法).
要点辨析
用定义法求椭圆的方程,首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值,然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是不是坐标轴,最后由定义确定椭圆的基本量、、.
典例3 [分析计算能力]如图所示,在圆内有一点为圆上任意一点,线段的垂直平分线与的连线交于点,当点在圆上运动时,求点的轨迹方程.
分析计算能力
典型例题
思路
本题是用定义法求椭圆的标准轨迹方程,首先分析几何图形所表示的几何关系,然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的标准方程,求出的值,最终得到标准方程.
解析
如图所示,连接.由题意知点在线段上,从而有.又点在的垂直平分线上,则,
典例3 如图所示,在圆内有一点为圆上任意一点,线段的垂直平分线与的连线交于点,当点在圆上运动时,求点的轨迹方程.
分析计算能力
典型例题
解析
故.又,故点的轨迹是以为焦点的椭圆,且,故.故点的轨迹方程为.
探究点4 椭圆的离心率
1.对椭圆离心率的理解
(1),由于,所以.
(2)椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响:当椭圆的长半轴长的值固定时,,因此当趋近于1时,趋近于0,即椭圆越扁平;当趋近于0时,趋近于,椭圆趋近于圆.
圆和椭圆是两种不同的曲线,圆不是椭圆的特殊情况.
(3)椭圆的扁平程度仅由离心率的大小确定,与椭圆的焦点位置无关.
探究点4 椭圆的离心率
2.离心率的求解在圆的曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况
(1)根据题意求出、、的值,再由离心率的定义直接求解.
(2)由题意列出含有、、的方程(或不等式),消去,构造、的齐次式,求出的值(或取值范围).
(3)采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.
(4)根据圆锥曲线的统一定义求解.
要点辨析
求椭圆离心率的值(范围)的方法:
(1)定义法:根据条件求出、,直接利用公式求解.
(2)方程法:根据条件得到关于、、的齐次等式(不等式),结合转化为关于的齐次等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以或转化为关于或的方程(不等式),解方程(不等式)即可得的取值范围).
典例4 过椭圆的右焦点作轴的垂线,交于、两点,直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点,则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
分析计算能力
典型例题
解析
本题根据直线与椭圆相交关系构造关于、的不等式,计算解得离心率的范围.
由题设知,直线,即,以为直径的圆的圆心为,
典例4 过椭圆的右焦点作轴的垂线,交于、两点,直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点,则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
分析计算能力
典型例题
根据题意,将代入椭圆的方程,得,即圆的半径.又圆与直线有公共点,所以,化简得,平方整理得,所以.又,所以.
解析
探究点5 与椭圆有关的范围(最值)问题
与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,所以在求与椭圆有关的相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.
要点辨析
1.无论题型如何变化,都是围绕椭圆的几何性质,外加其他条件来考查,所以理清椭圆的几个关键点(顶点、原点、焦点、对称轴)和灵活应用几个公式,理清、、的内在联系、、的关系式构造、的齐次方程或不等式),便可以不变应万变.
2.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形.
典例5 为椭圆1上任意一点,为圆的任意一条直径,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
本题需观察椭圆图像,利用椭圆上的不同位置的点到右焦点的范围构造不等式求的取值范围.
由题意知圆的圆心恰好是椭圆的右焦点,因为,因为,即,所以的取值范围是.
探究点6 点与椭圆位置关系
点与椭圆的位置关系:
(1)点在椭圆内.
(2)点在椭圆上
(3)点在椭圆外.
要点辨析
点与椭圆位置关系的判断的本质就是用点到椭圆两个焦点的距离之和与椭圆长轴的关系来判断.距离和大于长轴,则在椭圆之外;距离和等于长轴,在椭圆上;距离和小于长轴,在椭圆内.
典例6 已知点,椭圆,点在椭圆外,则实数的取值范围为_________________________.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
本题根据点与椭圆的位置关系进行推理,构造不等式,得到实数的取值范围.
依题意得,,解得,即或.
所以的取值范围为.
探究点7 直线与椭圆的位置关系
代数法判断直线与椭圆的位置关系:
判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则:
(1)直线与椭圆相交;(2)直线与椭圆相切;(3)直线与椭圆相离.
要点辨析
1.判断直线与椭圆位置关系的根本方法是解直线方程和椭圆方程组成的方程组.
2.把直线方程代入椭圆方程后,若一元二次方程好解,则应解方程;若一元二次方程不好解,则计算判别式.
得到
一元
二次
方程
交
点
个
数
解方程
方程不好解
方程好解
计算判别式
位
置
关
系
典例7 在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和,求的取值范围.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
思路
本题根据代数法进行分析计算判断直线与椭圆的位置关系;利用转化为解不等式可得.
典例7 在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和,求的取值范围.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
由已知条件知直线的方程为,代入椭圆方程得,整理得,直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,解得或,所以的取值范围为.
解析
探究点8 弦长问题
求弦长的两种方法:
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点间距离公式求弦长.
(2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长公式:(或),其中是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.
如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.
典例8 已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点,交椭圆于、两点,求弦的长.
分析计算能力
典型例题
解析
设两点的坐标分别为,由椭圆方程知,∴直线的方程为,将其代入椭圆方程,并化简整理得
.
思路
联立直线与椭圆的方程,得到一元二次方程后,利用弦长公式计算求得.
探究点9 中点弦问题
解决椭圆中点弦问题的两种方法:
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
探究点9 中点弦问题
(2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知是椭圆上的两个不同的点,是线段的中点,则由①-②,得,变形得,即.
探究点9 中点弦问题
(3)中点转移法:先设出一个端点的坐标,再借助中点得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差可得.
要点辨析
这三种方法中以点差法最为常用,点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题,因为这类问题也与弦中点和斜率有关.
与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等.这类问题的解决,从不同的角度体现了根的判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用,解法多、方法活.
典例9 过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分.
(1)求此弦所在的直线方程;(2)求此弦长.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
(1)方法一:设所求直线方程为.代入椭圆方程并整理,得.又设直线与椭圆的交点为,则是方程的两个根,于是.又为的中点,∴,解之得.故所求直线的方程为.
思路
本题根据根与系数的关系法和点差法两种方法解决椭圆中点弦问题.
典例9 过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分.
(1)求此弦所在的直线方程;(2)求此弦长.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
方法二:设直线与椭圆的交点为,又为的中点,
∴.又、两点在椭圆上,则.两式相减得.
于是.
即.又直线过点,故所求直线的方程为.
典例9 过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分.
(1)求此弦所在的直线方程;(2)求此弦长.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
(2)设弦的两端点分别为,
由得,
∴,
.