人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1《椭圆》课时3 教学设计

《椭圆》教学设计
课时3椭圆的简单几何性质(2)
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
椭圆及其标准方程 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 【考查内容】 1.根据几何条件求出椭圆方程. 2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用. 3.会判断直线与椭圆的位置关系. 【考查题型】 填空题、选择题、解答题
椭圆的简单几何性质(1) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
椭圆的简单几何性质(2) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
本节课是圆锥曲线的第一课时,它是在学生学习了直线和圆的方程,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上,进一步学习用坐标法研究曲线.从知识上讲,椭圆的标准方程是解析法的进一步运用,同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础;从方法上讲,它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础;从教材编排上讲,现行教材中把三种圆锥曲线独编一章,更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用,是本章的重点内容,是几何的研究实现了代数化.数与形的有机结合,在本章中得到了充分体现.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.椭圆及其标准方程 2.椭圆的简单几何性质(1) 3.椭圆的简单几何性质(2) 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.
从学生现有的学习能力看,通过一年多的学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力.
从学生的学习心理上看,学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平,如何给椭圆以数学描述 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题,也是学习的重点问题.他们渴望将感性认识理性化,渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心态是学生学好本节课的情感基础.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.椭圆及其标准方程
2.椭圆的简单几何性质(1)
3.椭圆的简单几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其几何性质.
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
3.运用标准方程解决相关问题.
【教学策略设计】
新课程倡导学生自主学习,要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者,使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程.本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法,并用多媒体手段辅助教学,使学生经历实践、观察、交流、分析、概括等理性思维的基本过程,切实改进学生的学习方式,使学生真正成为学习的主人.
根据本节内容的特点,教学过程中可充分发挥信息技术的作用,用几何画板的动态作图优势为学生的数学与数学思维提供支持.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2.椭圆的简单几何性质.
难点:
1.运用标准方程解决相关问题.
2.解决与椭圆性质有关的问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:圆规、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:椭圆的标准方程和几何性质是什么
【学生回答填表,教师展示多媒体】
【要点知识】
椭圆的标准方程及其几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围 且 且
顶点
轴长 长轴长为,短轴长为
焦点
焦距
对称性 对称轴:轴、轴,对称中心:坐标原点
离心率 其中
师:本节课我们将学习直线和椭圆的位置关系.
【以学论教】
通过填表,进行对比总结,不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解,有助于本节教学目标的实现,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.
教学精讲
探究1 椭圆的一般式方程
问题:已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程.
师:通过条件看不出焦点的位置,因此在解决问题前应先考虑焦点位置的两种情况,然后代入两点的坐标求参数、即可.
【师生交流,教师板书,学生动手实践】
生:根据椭圆焦点位置的不同进行分类讨论.
方法1:(1)若焦点在轴上,设椭圆的标准方程为,由已知条件可得解得即所求椭圆的标准方程为;
(2)若焦点在轴上,设椭圆的标准方程为,由已知条件可得解得即,且,与题设矛盾,舍去.
综上,所求椭圆的标准方程为.
【以学定教】
利用两种方法求椭圆的标准方程,让学生比较两种方法的不同之处,从而引出椭圆的一般式方程,让学生体会一般式简化解题步骤,省去讨论的优越性.
【要点知识】
探究椭圆的一般式方程
当椭圆焦点在轴上时,椭圆方程为,
即.
设,则,
椭圆方程可写为.
当椭圆焦点在轴上时,椭圆方程为,
即,
设,则,
椭圆方程可写为,所以无论椭圆的焦点在轴上或是轴上,椭圆方程均可设为.
【概括理解能力】
通过实践总结椭圆一般式的探究过程,加深对新知识的理解和记忆,符合学生的认知规律.
师:结合方法1的两种情况,影响最后结果的只是、,所以我们可以设定,,利用待定系数法求出、的值,求出来具体值后再比较大小,进一步确定表达式,这样可以减少讨论的复杂性.
【教师板书,学生动手实践】
方法2:设椭圆的一般方程为.将两点,代入,得解得即所求椭圆的标准方程为.
【活动学习】
教师通过引导学生探究椭圆的一般式方程,给出椭圆的一般形式,体现活动学习.
【要点知识】
椭圆方程的一般形式
【以学定教】
利用坐标法解决实际问题,让学生先回顾坐标法的步骤,然后学生通过动手实践体会利用坐标法求椭圆方程的应用,感受数学来源于生活的本质.
探究2 椭圆几何性质的应用
师:接下来我们看一道这样的例题.
【典型例题】
椭圆几何性质的应用
例1 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点上,片门位于另一个焦点上,由椭圆一个焦点发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点上,已知,试建立适当的平面直角坐标系,求截口所在的椭圆方程(精确到).
【情境学习】
按照生活中的实例出发,类比求圆的标准方程的坐标法,从而利用椭圆的定义求椭圆的标准方程,培养学生应用数学的能力.
师:要求其椭圆方程,回顾一下坐标法,第一步的步骤是什么
生:首先建立直角坐标系.
师:第二步的步骤是什么
生:通过建系确定椭圆的标准方程.
师:如何确定椭圆的标准方程中的系数和
生:利用椭圆定义.
【师生交流,学生动手实践,教师出示规范解答板书】
【典例解析】
椭圆几何性质的应用
解:建立如上图所示的平面直角坐标系,设所求椭圆方程为0).
在中,,
由椭圆的性质,所以
,
,
所以所求椭圆方程为.
【推测解释能力】
通过典型例题讲解,掌握椭圆的基本几何性质及其简单运用,掌握利用椭圆的几何性质求标准方程的思路,提升学生的推测解释能力、数学建模、数形结合及方程思想.
师:根据上题,利用椭圆的几何性质求标准方程的思路是什么
【教师讲授总结,学生整理思路】
【要点知识】
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:
(1)确定焦点位置;
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程);
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有等.
师:通过下面的题目巩固一下用待定系数法求椭圆的标准方程.
【巩固练习】
利用椭圆的几何性质求标准方程
若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,,则椭圆的标准方程为( )
A.
B.
C.
D.
【学生思考,独立做题】
【巩固练习】
利用椭圆的几何性质求标准方程
解:由题意,得解得
因为椭圆的焦点在轴上,
所以椭圆的标准方程为.
答案:
【分析计算能力】
通过习题强化椭圆儿何性质的应用,巩固提升,锻炼学生的分析计算能力.
师:我们共同研究一下下面的例题.
【典型例题】
椭圆几何性质的应用
例2 动点到定点的距离和到定直线的距离之比是常数,求动点的轨迹.
【简单问题解决能力】
通过例题让学生进一步巩固本节所学椭圆几何性质的应用内容,提高解决问题的能力.
【师生交流,教师出示规范解答板书】
【典例解析】
椭圆几何性质的应用
解:设是点到直线的距离,根据题意,动点的轨迹就是集合,由此得.
将上式两边平方,并化简,得,
即,所以,点的轨迹是长轴、短轴长分别为、的椭圆.
【活动学习】
学生经过思考交流,能够直观地提炼出基本的数量关系,并能够用自己的语言叙述,体现活动学习.
探究3 直线与椭圆的位置关系
师:判断直线与圆位置关系的方法有什么
【教师引导,学生回忆】
生:(方法1)利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系判断,即当时,直线与圆相离;当时,直线与圆相切;当时,直线与圆相交.
(方法2)判别式方法,即将已知直线方程与圆方程联立,消去(或)得一元二次方程,再利用判断解的个数,即为直线与圆的交点个数.若,方程有两个相同的解,即直线与圆有两个不同交点,故直线与圆相交;若,方程有两个相同的解,直线与圆有两个相同交点,故直线与圆相切;若,方程无解,直线与圆无交点,故直线与圆相离.
【整体学习】
学生经过动手操作,能够直观地提炼出基本的数量关系,并能够用自己通过旧知识引出新知识,让学生进一步理解直线与椭圆的位置关系,提高类比学习的能力.
师:直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系中呢 我们继续研究下面的例题.
【典型例题】
直线与椭圆的位置关系
例3 已知直线,椭圆.试问当取何值时,直线与椭圆:
(1)有两个公共点;
(2)有且只有一个公共点;
(3)没有公共点.
师:方法1不能推广应用到直线与椭圆的位置关系中,因为椭圆不具备特有的性质,椭圆的中心到椭圆上各点的距离不都相等.所以解决本题需要用到方法2.
【要点知识】
探究直线与椭圆的位置关系的解题思路
利用方法2将直线与椭圆的位置关系的研究问题转化为一元二次方程的根的讨论问题.
思路分析:联立方程消元得一元二次方程利用根的判别式判断根的个数得出结论
【概括理解能力】
学生类比“直线与圆的位置关系”得到的方法,寻找直线与椭圆的位置关系的判断方法,培养发现规律、寻求方法,总结结论的思维路线,经历知识形成的全过程,使学生真正理解自己总结出来的知识,从而达到形成技能的目的,提升了概括理解能力.
师:如何解决本例题
【师生交流,学生解答】
【典例解析】
直线与椭圆的位置关系
解:直线的方程与椭圆的方程联立,得方程组消去,得.①
方程①的判别式.
(1)当时,方程①有两个不同的实数解,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线与椭圆有两个公共点.
(2)当,即时,方程①有两个相同的实数解,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线与椭圆有且只有一个公共点.
(3)当,即或时,方程①没有实数解,可知原方程组没有实数解.这时直线与椭圆没有公共点.
师:通过例题我们可以总结出直线与椭圆的位置关系.
【归纳总结】
代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则
直线与椭圆相交;
直线与椭圆相切;
直线与椭圆相离.
提醒:注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.
【简单问题解决能力】
通过例题引出本节重点内容,通过学生动手实践和分析比较,培养学生发现问题、解决问题的能力.
师:下面我们继续判断直线与椭圆的位置关系.
【典型例题】
判断直线与椭圆的位置关系
例4 若直线与椭圆恒有公共点,求实数的取值范围.
【学生自主思考解答此题】
【典例解析】
判断直线与椭圆的位置关系
解:因为恒过点,则点在椭圆内或椭圆上时,直线与椭圆恒有公共点,所以,即.
当时,不是椭圆,它是以原点为圆心,半径为的圆.因此,的取值范围为.
【深度学习】
体会用数形结合的思想判断直线与椭圆的位置关系,就是椭圆性质的综合应用,让学生体会解题的本质,降低思维难度.
师:因为该直线恒过点,该点在椭圆的内部,故由图形可知,该直线与椭圆总相交.上例又提供给我们一种判断直线与椭圆的位置关系的方法,即对于一些特殊的直线和椭圆,可以采用数形结合来判断其位置关系.
【要点知识】
判断直线与椭圆的位置关系的方法
1.联立方程,借助一元二次方程的判别式来判断;
2.借助直线和椭圆的几何性质来判断.
【概括理解能力】
通过例题总结直线与椭圆的位置关系的判断方法,提高学生的概括理解能力.
师:当直线与椭圆相交时,如何求两点间的弦长呢
【教师引导学生思考、交流,学生动手实践,教师补充并出示多媒体】
生:直接求出坐标得到两点间距离.
师:还有一种方法是用设而不求的方法得到弦长公式.
【要点知识】
直线与椭圆相交的弦长公式
设直线交椭圆于两点,则.
同理可得
其中的可通过联立方程,消去一个未知数,得到一个一元二次方程后,利用根与系数的关系求得,这正是常说的“设而不求”的技巧.
【意义学习】
通过例题引入新知识,引入自然,让学生便于接受,总结直线与椭圆的位置关系的判断方法,培养学生的归纳能力.将位置关系转化为方程组的解,体现从量变到质变的思想.
师:请利用弦长公式解决下面的问题.
【巩固练习】
弦长公式的应用
椭圆被直线截得的弦长为多少
【学生动手实践,教师给予肯定并评价】
【巩固练习】
弦长公式的应用
解:设直线与椭圆的交点为,
由消去并化简得.
则.
∴弦长.
【分析计算能力】
通过例题巩固弦长公式的应用,提高解决问题的能力和分析计算能力.
【概括理解能力】
通过化简,学生深刻理解弦长公式的推导过程,强化记忆,提高获取知识的能力和概括理解能力.
师:通过这节课同学们学习到了哪些知识呢
【师生共同总结,教师展示多媒体】
【课堂小结】
椭圆的简单几何性质(2)
1.直线与椭圆的位置关系.
2.直线与椭圆相交的弦长公式.
3.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路.
4.坐标法解决与椭圆方程有关的应用问题.
【设计意图】
通过直线与椭圆位置关系的应用和本节所学知识练习巩固,使学生自主解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
教学评价
本节是《圆锥曲线的方程》的第一部分,主要学习椭圆的定义和标准方程、椭圆的几何性质等.对椭圆定义与方程的研究,本节内容起到一个承上启下的重要作用.前面学生用坐标法研究了直线和圆,而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入,也适用于对双曲线和抛物线的学习,更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法.
应用所学知识,完成下面各题:
1.已知椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点,并且以坐标轴为对称轴,求椭圆的标准方程.
思路:设椭圆的一般方程(含参),求出的参数值只有一种情况,可直接写出椭圆方程,避免了对方程形式的讨论;若求出的参数值有两组,则适合条件的方程有两个.
解析:方法一 若椭圆的焦点在轴上,设方程为.由题意,得解得椭圆的标准方程为.
若椭圆的焦点在轴上,设方程为.由题意,得解得椭圆的标准方程为.
综上所述,椭圆的标准方程为或.
方法二 设椭圆方程为,
则由题意得或
解得或
∴椭圆的标准方程为或.
【设计意图】
在解决与椭圆有关的问题时,学生要充分利用椭圆的几何性质,通过观察、讨论、归纳概括使问题简单化.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决与椭圆的有关问题时经常运用,培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
【概括理解能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解椭圆标准方程的两种形式,以及各个量之间的关系,掌握求椭圆标准方程的方法.提升概括理解能力.
2.已知为椭圆上一点,、为椭圆的两焦点,,求的面积.
思路:本题解决关于椭圆和三角形的问题,通常利用椭圆的定义,结合正余弦定理等知识求解.
解析:设,由,所以,
则,又由,则,
所以,,即.则.
【简单问题解决能力】
通过椭圆的几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.提升简单问题解决能力.
3.当时,指出方程表示的曲线.
思路:要想确定表示的曲线,首先应确定的取值范围.
解析:由,则.
(1)当,即时,方程表示焦点在轴上的椭圆;
(2)当,即时,方程表示圆;
(3)当,即时,方程表示焦点在轴上的椭圆.
4.如图所示,圆及点为圆上一点,的垂直平分线交于点,求点的轨迹方程.
思路:由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解.
解析:由垂直平分线的性质可知,
∴,
∴.
∴点的轨迹为椭圆,其中,
焦点为,
∴
∴所求点的轨迹方程为,即.
【简单问题解决能力】
通过例题及时进行总结椭圆的相关知识,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,提升简单问题解决能力.
5.椭圆的两焦点为,以为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为__________.
解析:根据椭圆定义建立关于的关系式或者几何法求离心率.
方法一:如图,∵为正三角形,为的中点,
由椭圆的定义可知
方法二:注意到焦点三角形中,,则由离心率的焦点三角形公式,可得.
答案:
6.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,其长轴长为焦距的2倍,且过点为其左焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过左焦点的直线与椭圆交于两点,当时,求直线的方程.
思路:(1)由已知得,结合隐含条件把、用表示,代入点的坐标可得椭圆方程;
(2)分直线斜率存在和不存在,当斜率存在时,利用弦长公式列式求得直线的斜率,则答案可求.
解析:(1)由题知,
设椭圆的标准方程,
即,
∴,
∴椭圆的标准方程为.
(2)斜率不存在时,不符合题意;斜率存在时,设直线,联立得:
∴,
即,
,即.
即或.
【综合问题解决能力】
设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.通过讨论,让学生互相交流,互相学习,培养他们的合作意识和谦虚好学的品质.在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练,渗透数形结合的数学思想,并感受椭圆方程、图形的对称美,加深对性质的理解.
【以学定教】
启发并引导学生理解椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的作用.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.
教学反思
本节教学设计依据教材,把关注学生的发展放在首位来考虑,尊重学生的认知基础,运用黑板板书和多媒体展示,激发学生的创造力,活跃了气氛,使不同层次的学生都得到发展,通过多媒体教学将抽象化为具体,增强动感直观性,设置层层递进的问题教学,探究椭圆的几何性质,降低学生的学习难度,注重提升学生直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.不足之处是学生的动手实践能力较差,需要教师加强引导和点拨,增加巩固练习.
【以学论教】
根据学生学习椭圆的标准方程及其几何性质的过程和课堂效果总结方法与策略的成功之处,并根据学生所欠缺的能力提出改进方法.
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