2022-2023学年上海市普陀区曹杨二中高三（上）期中数学试卷（含解析）

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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
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2022-2023学年上海市普陀区曹杨二中高三（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设、都是不等于的正数，则“”是“”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
若、，且，则下面结论正确的是( )
A. B. C. D.
已知，且，为虚数单位，则的最大值是( )
A. B. C. D.
已知函数，关于的方程，给出下列四个命题：
存在实数，使得方程恰有个不同的实根；
存在实数，使得方程恰有个不同的实根；
存在实数，使得方程恰有个不同的实根；
存在实数，使得方程恰有个不同的实根．
其中真命题的序号为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
函数的定义域是______．
设集合，则______．
函数的最小值为______．
若定义在上的函数为奇函数，设，且，则的值为______．
在二项式的展开式中，含项的系数为______．
已知数列的通项公式为，则该数列取得最大时，正整数______．
名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法共有 种．
如图，在中，点，是线段上两个动点，且，则的最小值为______．
设是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围是______．
如图，圆柱的轴截面是正方形，、分别是边和的中点，是的中点，则经过点、、的平面与圆柱侧面相交所得到曲线的离心率是______．
已知数列满足，为正整数，则______．
已知三个实数、、，当时，且，则的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
在中，角、、所对应的边分别为、、，且，，求：
的值；
和的面积．
本小题分
如图，设长方体中，，．
求异面直线与所成角的大小；
求二面角的大小．
本小题分
已知某公司生产品牌服装的年固定成本为万元，每生产千件，须另投入万元．设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且．
写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式；
年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
注：年利润年销售收入年总成本
本小题分
已知双曲线：经过点，离心率为直线交双曲线于、两点．
求双曲线的方程；
若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率、均存在，求证：为定值；
若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
函数在区间上有零点，求的值；
记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：且，
当，时，则，
当，时，则，，
当，时，则，，
是的充分不必要条件，
故选：．
利用对数的换底公式得到，再利用对数的性质和充要条件的定义求解即可．
本题考查了对数的性质和换底公式，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：是偶函数且在上递增，
，
，皆为非负数，
，
，
故选：．
观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故与皆为正，可以得出，故可以确定结论．
本题考查函数值的符号，要根据三角函数的定义来判定三角函数的符号再由相关的不等式得出角的大小来，判断上有一定的思维难度．
3.【答案】
【解析】解：设，
，
，即，表示以点为圆心，为半径的圆，
，表示圆上的点到点的距离，
的最大值是．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设，则，当时，当时，有两解．
则原方程等价为，即．
由图象可知，当时，，此时方程恰有个不同的实根；
当时，或或，
当时，有两个不同的解，
当时，有两个不同的解，
当时，只有一个解，所以此时共有个不同的解．
当时，或或或，此时对应着个解．
当时，或此时每个对应着两个，所以此时共有个解．
综上正确的是．
故选：．
利用换元法设，将方程转化为关于的一元二次方程去求解．
本题主要考查了与二次函数有关的复合函数的根的情况，利用换元法和数形结合是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：函数，
，
解得，
故答案为：．
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，进而求解结论．
本题考查了求函数定义域的应用问题，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：集合，
．
故答案为：．
求出集合，进而求解结论．
本题主要考查不等式的求解，考查补集的求解，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：当，，此时单调递增，所以，
当，，
当，，此时单调递减，所以，
所以的最小值为，
故答案为：．
将函数解析式去绝对值之后，分别讨论每个定义域区间的函数值域即可．
本题考查了带绝对值的函数以及函数最值，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：函数为定义在上的奇函数，且，
，
得，
，又，
，
故答案为：．
依题意，可得，结合，可得的值．
本题考查函数奇偶性的性质与应用，考查整体思想与运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：二项式的展开式中含的项为，
所以项的系数为，
故答案为：．
利用二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：数列的通项公式为，
当取得最大值时，须取得最小正整数，
即满足的最小正整数为，
该数列取得最大时，正整数．
故答案为：．
将的通项公式变形表示为关于的反比例函数，判断其取得最大值时满足的条件，能求出该数列取得最大时正整数的值．
本题考查数列的通项公式、反比例函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查排列组合及分步计数原理的运用，属于基础题．
先从人中选出人作为一组有种方法，再与另外人一起进行排列有种方法，相乘即可．
【解答】
解：因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有种．
故答案为：．

12.【答案】
【解析】解：如图可知，，均为正数，设，，
由，，共线设，则由向量的加法法则可得，
．
，同理，
，
，
，当且仅当，即，时，取等号，
故答案为：．
根据平面向量的线性运算可得，再利用乘法结合基本不等式可解．
本题考查平面向量的线性运算，以及基本不等式相关知识，属于基础题．
13.【答案】，
【解析】解：由已知得，
由得，．
故答案为：，．
求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．
本题考查导数的几何意义、正切函数的性质，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设轴截面的正方形边长为，设是弧的中点，且与关于圆柱的中心对称，如图：
由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆短轴长为，长轴，
所以长半轴长，短半轴长，故半焦距，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：．
根据平面与圆柱的截线为椭圆，求出椭圆的长半轴长和短半轴长，即可求出半焦距，由椭圆的离心率公式求解即可．
本题考查了空间几何体的截面问题，椭圆的几何性质的理解和应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：数列满足，为正整数，
，解得，
当时，，
整理得：，整理得：，
，
，
，时也成立，
故答案为：．
根据递推关系式构造新等式，两个等式相结合，整理得：，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，满足，且，
，即，
，解得，
解得或，
，
令，，
，
，
在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
．
故答案为：
当时满足：且，可得，进而得到，推导出，令，则，利用二次函数的单调性能求出的取值范围．
本题考查了一元二次不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17.【答案】解：，，
由余弦定理可得，，即，解得．
，，，
，
，
，
，
．
【解析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
根据已知条件，结合余弦定理，求出角，再结合三角形面积公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，考查转化能力，属于基础题．
18.【答案】解：以，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，，
异面直线与所成角的大小为；
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
，，
二面角的大小为．
【解析】以，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量可求异面直线与所成角的大小；
求得两平面的法向量，可求二面角的大小．
本题考查求异面直线所成的角，考查二面角的大小的求法，属中档题．
19.【答案】解：当时，
，
当时，，
故．
当时，
，
则，解得，
当时，，当时，，
当时，取得最大值，且，
当时，，当且仅当，即时，取得最大值，
综上所述，当时，取得最大值万元，
故年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
【解析】根据已知条件，结合利润销售收入固定研发成本产品生产成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
根据已知条件，结合导数研究函数的单调性，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可得，解得，，，
则双曲线的方程为；
证明：若过原点，设，，，
则，，
上面两式相减可得，
即有；
双曲线的右焦点，
假设存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立．
可设直线的方程为，与双曲线的方程联立，可得，
设，，则，，
由，，
可得
即，
即，
即为，
可令，且，解得，
所以存在，且的坐标为．
【解析】由双曲线的离心率公式和点满足双曲线的方程，联立方程组，可得，，，进而得到双曲线的方程；
设，，，由点差法和直线的斜率公式，化简整理可得证明；
假设存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立．设直线的方程为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，结合定值思想解方程可得所求定点．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为，所以，切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时．
综上，的值为或；
函数，，
所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
，，，
又，，，解得，
，
构造函数，
所以，
在上单调递减；
所以当时，，
所以．
【解析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；
求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可；
求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．
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