2022-2023学年北京市顺义一中高三（上）期中数学试卷（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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2022-2023学年北京市顺义一中高三（上）期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，那么( )
A. ， B.
C. D.
复数( )
A. B. C. D.
已知是公差为的等差数列，为其前项和若，则( )
A. B. C. D.
已知向量，且，则实数( )
A. B. C. D.
设，，则“是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到的函数解析式为( )
A. B. C. D.
设函数，则( )
A. 为的极大值点且曲线在点处的切线的斜率为
B. 为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为
C. 为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为
D. 为的极小值点且曲线在点处的切线的斜率为
若函数，当时，恒成立，则的取值范围( )
A. B. C. D.
若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
过点的直线与圆：交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程为( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
在中，，，分别是三边，，所对的角，，，，______．
数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且，，成等比数列，则 ； ．
设函数在处取得极小值，曲线在点处的切线与直线互相垂直，则函数在上的最大值为______．
设、、是单位向量，且，则的最小值为______．
设函数，则当时，求的最小值为______；若恰有两个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知函数，再从条件、、这三个条件中选择一个作为已知，求：
Ⅰ的最小正周期；
Ⅱ的单调递增区间．
条件：图象的对称轴为；
条件：；
条件：．
本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，数列满足，，且为等差数列．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列．
Ⅰ若，，求的值；
Ⅱ设，求的最大值．
本小题分
已知函数．
当时，求的单调增区间；
当时，求证：在上是增函数；
求证：当时，对任意，．
本小题分
已知椭圆：的长轴长为，且离心率为．
求椭圆的方程；
设过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点求证：为定值．
本小题分
已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令．
Ⅰ若，写出，，的值；
Ⅱ证明：；
Ⅲ若是等比数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等比数列．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，，
则．
故选：．
先利用一元二次不等式的解法求出集合，再由集合交集的定义求解即可．
本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用复数运算法则直接求解．
本题考查复数的求法，考查复数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
利用求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：，，
则．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的垂直的判定，属基础题．
由已知易得的坐标，由成立垂直的充要条件可得关于的方程，解之即可．
【解答】
解：，，
，
又，
，解得，
故选：．

5.【答案】
【解析】解：当，时，满足，但不成立，
反之若，时，满足，但不成立，
即“是“”的既不充分也不必要条件，
故选：．
根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律．
利用导公式以及函数的图象变换规律，可以求得变换后的函数的解析式．
【解答】
解：将函数的图象向右平移个单位长度，
可得函数的图象；
再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，
可得到的函数的图象，
故选D．

7.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则为函数的极小值点，
又，
则曲线在点处的切线斜率为．
故选：．
求出，利用导数的正负确定函数的单调性，从而得到函数的极值情况，利用导数的几何意义求解切线的斜率即可．
本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，导数的几何意义的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：依题意，当时，恒成立，
令，则，又，
在上单调递减，
．
故选：．
依题意，当时，恒成立，令，则，利用导数求出的单调性，进而求得最值得解．
本题考查不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查分离变量思想及运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，
所以，即，
又双曲线的一个顶点的坐标为，所以，
由可解得，，
所以双曲线的方程为，
故选：．
由双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，可得，再根据，即可求解．
本题考查了双曲线的标准方程以及性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设中点为，连，则，，，
设，由垂径定理，
则，
当最大时，最小，即最小，从而最小，
由于，当且仅当取等号，
故当最小时，，而，所以，
于是直线方程为：，即，
故选：．
将转化为半角，并表示出它的正切值，转化为弦心距的函数，求取得最值时的状态即可．
本题考查直线与圆的位置关系，用到了垂径定理，函数关系，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，即．
故答案为：．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
12.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项公式、等比数列的性质、等差数列前项和公式，属于基础题．
利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项的值．
【解答】
解：因为数列是公差为的等差数列，，，成等比数列，
所以，即，
解得，
所以．
故答案为：，．

13.【答案】
【解析】
【分析】
解：，依题意，，解得，经检验，符合题意，
，
易知，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
函数在上的最大值为．
故答案为：．
对求导，根据题意建立关于，的方程组，解出，的值，进而利用导数可得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，同时还考查了导数的几何意义以及两直线垂直的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
【解答】
略

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦函数的值域，把要求的式子化为是解题的关键．
由题意可得，故要求的式子即，再由余弦函数的值域求出它的最小值．
【解答】
解：、、 是单位向量，，
．

．
故答案为．
15.【答案】 ，
【解析】解：若，则当时，；
当时，，当时，的最小值为．
的最小值为；
由，解得；
由，解得或．
若，则函数恰有个零点，分别为，，符合题意；
若，则函数有个零点，分别为，，，不符合题意；
若，则函数有个零点，分别为，，符合题意；
若，则函数有个零点，不符合题意．
综上所述，满足题意的实数的取值范围是，．
故答案为：；，．
当时，分别求解两段函数的最小值，取最小值中的最小者可得的最小值；分别求与的零点，再对分类讨论得答案．
本题考查函数零点的判定及应用，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】选图象的一条对称轴为
解：Ⅰ
．
因为图象的一条对称轴为
所以
即有
所以
所以，
．
故
所以的最小正周期为：．
Ⅱ，
，
．
所以的递增区间为．
选
解：Ⅰ，
，
，
所以的最小正周期为：．
Ⅱ．
，
，
所以的递增区间为．
选当时
解：
所以的最小正周期为：，
Ⅱ，
．
所以的递增区间为．
【解析】本题考查三角函数的恒等变换，正弦型函数的图像和性质，属于基础题．
首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；
利用整体思想和的应用求出函数的单调区间．
17.【答案】解：Ⅰ设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由题设知．
由，解得：，．
，，，，，
所以；
Ⅱ由Ⅰ知，
．
【解析】Ⅰ设等比数列公比为，由，解出，求出；再利用为等差数列与，求出；
Ⅱ由Ⅰ知，再利用分组求和法求出．
本题主要考查等差数列、等比数列通项公式的求法及数列求和中的分组求和法，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ因为，，成等差数列，所以．
因为，所以．
因为，，，所以，解得，或舍去．
Ⅱ因为，所以，
．
因为，所以，．
所以当，即时，有最大值．
【解析】Ⅰ由，，成等差数列求得的值，再由余弦定理求得的值．
Ⅱ因为，利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得的最大值．
本题主要考查等差数列的性质、余弦定理、两角和差的正弦公式、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，，
，
解得或，
的单调增区间是，；
证明：令，
，
令，
，
，
，
即，
在上是增函数；
证明：要证，当时，对任意，，
只需证：当时，对任意，，
，
，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，
故．
【解析】先求导，再根据导数和函数的单调性即可求出；
构造函数，求导，根据导数和函数单调性的关系即可证明．
根据题意原不等式转化，利用导数求出函数的最小值即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想、综合运算能力和逻辑推理能力，属于难题．
20.【答案】解：依题意，，离心率为，，则，
故椭圆的方程为．
证明：当直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入椭圆方程，消去得，
所以，
设，，则，，
所以
，
所以．
因为，
所以线段的中点为，
当时，所以，
当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，
所以，
所以，
综上所述，为定值．
【解析】依题意长轴长为，且离心率为，求出，，然后求解，得到椭圆方程；
设直线的方程为，代入椭圆方程，求出，求出中点坐标，然后分和两种情况求出定值即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
21.【答案】解：Ⅰ，，，
．
，，．
Ⅱ证明：设，，．
若，则数列前项的最小值大于等于，
，，即
若，
，，即
若，则数列前项的最大值小于等于，
，，即．
综上所述，恒成立．
Ⅲ证明：设等比数列公比为，，则，
由Ⅱ知，，则．
当时，得，即．
，为常数列．
即存在，当时，，，，是等比数列．
当时，因为是由正整数组成的无穷数列，则必存在最小值．
即存在正整数是数列的最小值，
则当时，，此时，即，则，
显然当时，，
即存在，当时，，，，是等比数列．
综上，存在正整数，使得时，，，，是等比数列．
【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
Ⅰ由，可得，，利用即可得出，，．
Ⅱ比较与数列前项的大小关系，从而得出结论．
Ⅲ 由题意知，及，通过分类讨论，利用等比数列的意义、即可证明结论．
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