2022-2023学年冀教版数学八上期末复习专题2 全等三角形
一、单选题
1．（2021八上·阳城期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么，
B．如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除
2．（2022八上·如皋月考）如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八上·金华开学考）下列命题：（1）无限循环小数是无理数；（2）绝对值等于它本身的数是非负数；（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；（5）面积相等的两个三角形全等，是假命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022八上·新田月考）有下列说法，其中正确的有 （ ）
①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；③两个正方形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022八上·新昌期中）如图，用直尺和圆规作一个角，等于已知角∠AOB，能得出，=∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
6．（2022八上·平阳期中）如图，一块三角形玻璃被打碎成三块，小明打算带③号玻璃去玻璃店配一块完全一样的玻璃，全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八上·柳城期中）如图，已知∠ADB＝∠BCA＝90°，添加下列条件后不能使△ABD≌△BAC的是（ ）
A．AD＝BC B．AC＝BD
C．∠DAC＝∠CBD D．∠ABD＝∠BAC
8．（2022八上·金华开学考）在△ABC中，AC＝6，中线AD＝10，则AB边的取值范围是（ ）
A．16＜AB＜22 B．14＜AB＜26 C．16＜AB＜26 D．14＜AB＜22
9．（2022八上·长沙开学考）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有甲
10．（2020八上·襄汾期末）我们利用尺规作图可以作一个角 等于已知角 ，如下所示：
⑴作射线 ；
⑵以O为圆心，任意长为半径作弧，交 于C，交 于D；
⑶以 为圆心， 为半径作弧，交 于 ；
⑷以 为圆心， 为半径作弧，交前面的弧于 ；
⑸连接 作射线 则 就是所求作的角．
以上作法中，错误的一步是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021八上·林口期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④
12．（2021八上·南阳月考）如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
13．（2021八上·金华期中）命题“若a2＞b2则a＞b”是 命题（填“真”或“假”），它的逆命题是 ．
14．（2022八上·宿豫开学考）如图，的三个顶点分别在格子的3个顶点上，请你试着再在图中的格子的顶点上找出一个点，使得与全等，这样的三角形有 个．
15．（2021八上·新丰期中）如图， ，D在 边上， ，则 的度数为 ．
16．（2022八上·宿豫开学考）已知，如图，，，那么图中共有 对全等三角形．
17．（2022八上·宿豫开学考）如图所示，，，，则
18．（2019八上·桦南期中）如图,∠DAB=∠EAC=65°,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于点O,AB和CD相交于P,AC和BE相交于F,则∠DOE的度数是 .
三、解答题
19．如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．
20．（2021八上·瓯海月考）如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE.求证：AC∥DF.
21．（2021八上·北仑期末）已知：两边及其夹角，线段 ， ， .
求作： ，使 ， ，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
请你根据所学的知识，说明尺规作图作出 ，用到的是三角形全等判定定理中的_▲_，作出的 是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的_▲_.
22．（2022八上·岑溪期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高.求证：BD＝CE.
四、综合题
23．（2022八上·金华开学考）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、逆命题为：如果，那么是假命题，应该是，不符合题意；
B、逆命题为：如果一个三角形有两个内角是锐角，那么另外一个角是钝角，是假命题，另外一个角可以是锐角，也可以是直角或者钝角，不符合题意；
C、逆命题为：到角两边距离相等的点在角平分线上，是真命题，符合题意；
D、逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5，是假命题，个位数字应该是0或5，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据逆命题和真命题的定义逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠2=∠1=180°-58°-72°=50°.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的对应角相等结合内角和定理计算即可.
3．【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）无限循环小数就是无理数，命题错误，符合题意；
（2）绝对值等于它本身的数是非负数，命题正确，不符合题意；
（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行，命题错误，符合题意；
（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，命题错误，符合题意；
（5）面积相等的两个三角形全等，命题错误，符合题意，
∴是假命题的有4个.
故答案为：D.
【分析】无限不循环小数是无理数；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；有两边及其两边的夹角对应相等的两个三角形全等；形状一样、大小相等的两个三角形全等，面积相等的两个三角形不一定全等. 据此逐项分析，即可得出符合题意的选项.
4．【答案】A
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：①错误，不是三角形的图形也能全等；
②正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同；
③错误，边长不同的正方形不全等；
④错误，面积相等的两个图形边数不一定相等，也不一定是全等图形．
所以正确的只有一个.
故答案为：A．
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等的图形形状和大小一定相同，面积一定相等，但面积相等的图形不一定全等，据此逐一判断即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：作图的步骤：
①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；
②任意作一点，作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；
③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；
④过点作射线．
所以就是与相等的角；
在与△，，，，
△，
，
显然运用的判定方法是．
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹可得O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，利用SSS可证明△OCD≌△O′C′D′，得到∠A′O′B′=∠AOB，据此解答.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：③号玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去.
故答案为：D.
【分析】观察三块玻璃可得：③号玻璃保留了三角形的两个角与夹边，然后结合全等三角形的判定定理进行解答.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADB＝∠BCA＝90°，AB＝BA，
∴若添加AD＝BC，则可以判定Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），故A不符合题意；
若添加AC＝BD，则可以判定Rt△ADB≌Rt△BCA（HL），故B不符合题意；
若添加∠DAC＝∠CBD，不能判定△ABD≌△BAC，故C符合题意；
若添加∠ABD＝∠BAC，则可以判定△ABD≌△BAC（AAS），故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】题干已经给出了∠ADB＝∠BCA＝90°，AB＝BA，如果利用全等三角形的判定方法HL，可以添加AD＝BC或AC＝BD，如果用全等三角形的判定方法AAS可以添加∠ABD＝∠BAC或∠DAB＝∠CBA，从而即可一一判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：依据题意，画图如下：延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝10，
∴AE＝2AD=20，
∵AE-AC＜CE＜AE+AC
∴14＜CE＜26，
∴14＜AB＜26.
故答案为：B.
【分析】依据题意，画出图形，延长AD至E，使DE＝AD，利用“SAS”证明△ABD和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，最后利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠A＝180°﹣42°﹣51°＝87°，
根据AAS可以判定甲与△ABC全等，根据ASA可以判定乙与△ABC全等．
故答案为：A.
【分析】首先利用内角和定理求出∠A的度数，然后根据全等三角形的判定定理进行判断.
10．【答案】C
【知识点】作图-角；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：（4）不符合题意．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；
故答案为：C．
【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可。
11．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABC=∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°．故①符合题意；
②△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②符合题意；
③如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；故③符合题意；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD=S△CHP，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD=S△AHC，
∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD，
∴四边形OAPC面积=S△ABC．故④符合题意．
故答案为：A．
【分析】①连接OB，由垂直平分线的性质可得OB=OC=OP，利用等边对等角可得∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，由∠ABC=
∠ABO+∠DBO=30°可得∠APO+∠DCO=30°，故意正确；②由周角及三角形内角和可求出∠POC=2∠ABD=60°，结合PO=OC，可证△OPC是等边三角形，故②正确；③在AC上截取AE=PA，证明△OPA≌△CPE（SAS），可得AO=CE，从而得出AC=AE+CE=AO
+AP；故③正确；④作CH⊥BP，证明△CDO≌△CHP（AAS），可得S△OCD=S△CHP，再证Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），可得S△ABD
=S△AHC，从而推出四边形OAPC面积=S△ABC，故④正确.
12．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ， ，
，
，
，
即∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
∴ ，
，
，
在 与 中，
，
，故①正确；
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，故②正确；
若 ， ，
，
，故③正确；
，
，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠BAC=90°，易得∠BAD=∠CAF，再证明∠ACF=∠B，利用ASA可证得△ABD≌△ACF，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可证得AD=AF，BD=CF，再证明∠FAE=∠DAE，利用SAS证明△AED≌△AEF，利用全等三角形的性质可得DE=EF，可对②作出判断；利用已知条件可求出△ABD的面积与△AEC的面积之和，即可求出△ABC的面积，可对③作出判断；利用三角形两边之和大于第三边，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
13．【答案】假；若a＞b，则a2＞b2
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：当a=-2，b=1时
a2＞b2，a＜b，
∴“若a2＞b2则a＞b” 是假命题；
它的逆命题为：若a＞b，则a2＞b2.
故答案为：假，若a＞b，则a2＞b2.
【分析】利用举例法可以判断原命题的真假；一个命题的逆命题就是原命题的题设和结论互换，即可求解.
14．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
的位置有3个.
故答案为：3.
【分析】根据△DBC与△ABC全等可得点A、D到直线BC的距离相等，据此作图.
15．【答案】70°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵ ，
∴∠BAD=40°，
∵AB=AD，
∴ ．
故答案为：70°
【分析】根据全等三角形的性质可得AB=AD，∠BAC=∠DAE，再利用角的运算可得∠BAD=∠EAC，再利用三角形的内角和可求出。
16．【答案】2
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，，，
根据“”可判断≌；
，
，，
根据“”可判断≌，
综上所述，图中共有2对全等三角形.
故答案为：2.
【分析】由已知条件可知AC=CB，AB=CD，由图形可得DB=BD，则△ADB≌△CBD，得到∠A=∠C，由对顶角的性质可得∠AOD=∠COB，证明△AOD≌△COB，据此解答.
17．【答案】30
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
.
故答案为：30.
【分析】由外角的性质可得∠3=∠1+∠ABD，结合已知条件可得∠ABD的度数，由∠BAC=∠DAE以及角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE，则∠ABD=∠2，据此解答.
18．【答案】115°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠DAB=∠EAC=65°，
∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴∠E=∠ACD，
又∵∠AFE=∠OFC，
∴∠EAF=∠COF=65°，
∴∠DOE=115°.
故答案为：115°.
【分析】先利用"SAS"证出三角形全等，再利用全等三角形的性质：对应角相等进行转换即可。
19．【答案】解：已知，DE∥BC，∠1＝∠2.
求证：∠B＝∠C.
证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
又∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C
【知识点】平行线的性质；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】命题由题设和结论组成，根据选取的两个条件是否可以推出第三个条件，即可证明其是否组成一个命题。
20．【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠E ，
∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，即BC=EF，
又∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF.
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【分析】由 AB∥DE，得∠B=∠E ；利用BF=CE可得，BC=EF，所以 △ABC≌△DEF（SAS） ，再利用 ∠ACB=∠DFE 内错角相等即可判定 AC∥DF .
21．【答案】解：如图所示：
;尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的△ABC是唯一的|是三角形全等判定定理中的SAS.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；作图-三角形
【解析】【分析】根据已知条件可知利用全等三角形的判定SAS，由此先画出∠ABC=∠α，再在∠ABC的两边截取BC=a，AB=c，然后连接AC即可.
22．【答案】证明：∵BD、CE是高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据高线的定义可得∠ADB=∠AEC=90°，根据AAS证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE.
23．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：BD⊥CE，证明如下：
由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E，
∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
∴∠ADB+∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴BD⊥CE．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE＝90°，推出∠BAD＝∠CAE，又有AB＝AC，AD＝AE，利用“SAS”定理证出△BAD≌△CAE；
（2）由（1）知△BAD≌△CAE，得∠ADB＝∠E，再由角的互余关系等量代换得∠BDE＝90°，从而得出BD⊥CE．
1 / 12022-2023学年冀教版数学八上期末复习专题2 全等三角形
一、单选题
1．（2021八上·阳城期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么，
B．如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、逆命题为：如果，那么是假命题，应该是，不符合题意；
B、逆命题为：如果一个三角形有两个内角是锐角，那么另外一个角是钝角，是假命题，另外一个角可以是锐角，也可以是直角或者钝角，不符合题意；
C、逆命题为：到角两边距离相等的点在角平分线上，是真命题，符合题意；
D、逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5，是假命题，个位数字应该是0或5，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据逆命题和真命题的定义逐项判断即可。
2．（2022八上·如皋月考）如图，已知两个三角形全等，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠2=∠1=180°-58°-72°=50°.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的对应角相等结合内角和定理计算即可.
3．（2022八上·金华开学考）下列命题：（1）无限循环小数是无理数；（2）绝对值等于它本身的数是非负数；（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；（5）面积相等的两个三角形全等，是假命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）无限循环小数就是无理数，命题错误，符合题意；
（2）绝对值等于它本身的数是非负数，命题正确，不符合题意；
（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行，命题错误，符合题意；
（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，命题错误，符合题意；
（5）面积相等的两个三角形全等，命题错误，符合题意，
∴是假命题的有4个.
故答案为：D.
【分析】无限不循环小数是无理数；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；有两边及其两边的夹角对应相等的两个三角形全等；形状一样、大小相等的两个三角形全等，面积相等的两个三角形不一定全等. 据此逐项分析，即可得出符合题意的选项.
4．（2022八上·新田月考）有下列说法，其中正确的有 （ ）
①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；③两个正方形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：①错误，不是三角形的图形也能全等；
②正确，两个图形全等，它们一定重合，所以它们的形状和大小一定都相同；
③错误，边长不同的正方形不全等；
④错误，面积相等的两个图形边数不一定相等，也不一定是全等图形．
所以正确的只有一个.
故答案为：A．
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等的图形形状和大小一定相同，面积一定相等，但面积相等的图形不一定全等，据此逐一判断即可.
5．（2022八上·新昌期中）如图，用直尺和圆规作一个角，等于已知角∠AOB，能得出，=∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：作图的步骤：
①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；
②任意作一点，作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；
③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；
④过点作射线．
所以就是与相等的角；
在与△，，，，
△，
，
显然运用的判定方法是．
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹可得O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，利用SSS可证明△OCD≌△O′C′D′，得到∠A′O′B′=∠AOB，据此解答.
6．（2022八上·平阳期中）如图，一块三角形玻璃被打碎成三块，小明打算带③号玻璃去玻璃店配一块完全一样的玻璃，全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：③号玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去.
故答案为：D.
【分析】观察三块玻璃可得：③号玻璃保留了三角形的两个角与夹边，然后结合全等三角形的判定定理进行解答.
7．（2022八上·柳城期中）如图，已知∠ADB＝∠BCA＝90°，添加下列条件后不能使△ABD≌△BAC的是（ ）
A．AD＝BC B．AC＝BD
C．∠DAC＝∠CBD D．∠ABD＝∠BAC
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADB＝∠BCA＝90°，AB＝BA，
∴若添加AD＝BC，则可以判定Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），故A不符合题意；
若添加AC＝BD，则可以判定Rt△ADB≌Rt△BCA（HL），故B不符合题意；
若添加∠DAC＝∠CBD，不能判定△ABD≌△BAC，故C符合题意；
若添加∠ABD＝∠BAC，则可以判定△ABD≌△BAC（AAS），故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】题干已经给出了∠ADB＝∠BCA＝90°，AB＝BA，如果利用全等三角形的判定方法HL，可以添加AD＝BC或AC＝BD，如果用全等三角形的判定方法AAS可以添加∠ABD＝∠BAC或∠DAB＝∠CBA，从而即可一一判断得出答案.
8．（2022八上·金华开学考）在△ABC中，AC＝6，中线AD＝10，则AB边的取值范围是（ ）
A．16＜AB＜22 B．14＜AB＜26 C．16＜AB＜26 D．14＜AB＜22
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：依据题意，画图如下：延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝10，
∴AE＝2AD=20，
∵AE-AC＜CE＜AE+AC
∴14＜CE＜26，
∴14＜AB＜26.
故答案为：B.
【分析】依据题意，画出图形，延长AD至E，使DE＝AD，利用“SAS”证明△ABD和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，最后利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
9．（2022八上·长沙开学考）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有甲
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠A＝180°﹣42°﹣51°＝87°，
根据AAS可以判定甲与△ABC全等，根据ASA可以判定乙与△ABC全等．
故答案为：A.
【分析】首先利用内角和定理求出∠A的度数，然后根据全等三角形的判定定理进行判断.
10．（2020八上·襄汾期末）我们利用尺规作图可以作一个角 等于已知角 ，如下所示：
⑴作射线 ；
⑵以O为圆心，任意长为半径作弧，交 于C，交 于D；
⑶以 为圆心， 为半径作弧，交 于 ；
⑷以 为圆心， 为半径作弧，交前面的弧于 ；
⑸连接 作射线 则 就是所求作的角．
以上作法中，错误的一步是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】作图-角；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：（4）不符合题意．应该是以C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D'；
故答案为：C．
【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可。
11．（2021八上·林口期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①连接OB，如图1，
∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABC=∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°．故①符合题意；
②△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②符合题意；
③如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；故③符合题意；
④如图3，作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°，∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
在△CDO和△CHP中，
，
∴△CDO≌△CHP（AAS），
∴S△OCD=S△CHP，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），
∴S△ABD=S△AHC，
∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD，
∴四边形OAPC面积=S△ABC．故④符合题意．
故答案为：A．
【分析】①连接OB，由垂直平分线的性质可得OB=OC=OP，利用等边对等角可得∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，由∠ABC=
∠ABO+∠DBO=30°可得∠APO+∠DCO=30°，故意正确；②由周角及三角形内角和可求出∠POC=2∠ABD=60°，结合PO=OC，可证△OPC是等边三角形，故②正确；③在AC上截取AE=PA，证明△OPA≌△CPE（SAS），可得AO=CE，从而得出AC=AE+CE=AO
+AP；故③正确；④作CH⊥BP，证明△CDO≌△CHP（AAS），可得S△OCD=S△CHP，再证Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），可得S△ABD
=S△AHC，从而推出四边形OAPC面积=S△ABC，故④正确.
12．（2021八上·南阳月考）如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ， ，
，
，
，
即∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
∴ ，
，
，
在 与 中，
，
，故①正确；
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，故②正确；
若 ， ，
，
，故③正确；
，
，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠BAC=90°，易得∠BAD=∠CAF，再证明∠ACF=∠B，利用ASA可证得△ABD≌△ACF，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可证得AD=AF，BD=CF，再证明∠FAE=∠DAE，利用SAS证明△AED≌△AEF，利用全等三角形的性质可得DE=EF，可对②作出判断；利用已知条件可求出△ABD的面积与△AEC的面积之和，即可求出△ABC的面积，可对③作出判断；利用三角形两边之和大于第三边，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题
13．（2021八上·金华期中）命题“若a2＞b2则a＞b”是 命题（填“真”或“假”），它的逆命题是 ．
【答案】假；若a＞b，则a2＞b2
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：当a=-2，b=1时
a2＞b2，a＜b，
∴“若a2＞b2则a＞b” 是假命题；
它的逆命题为：若a＞b，则a2＞b2.
故答案为：假，若a＞b，则a2＞b2.
【分析】利用举例法可以判断原命题的真假；一个命题的逆命题就是原命题的题设和结论互换，即可求解.
14．（2022八上·宿豫开学考）如图，的三个顶点分别在格子的3个顶点上，请你试着再在图中的格子的顶点上找出一个点，使得与全等，这样的三角形有 个．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
的位置有3个.
故答案为：3.
【分析】根据△DBC与△ABC全等可得点A、D到直线BC的距离相等，据此作图.
15．（2021八上·新丰期中）如图， ，D在 边上， ，则 的度数为 ．
【答案】70°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵ ，
∴∠BAD=40°，
∵AB=AD，
∴ ．
故答案为：70°
【分析】根据全等三角形的性质可得AB=AD，∠BAC=∠DAE，再利用角的运算可得∠BAD=∠EAC，再利用三角形的内角和可求出。
16．（2022八上·宿豫开学考）已知，如图，，，那么图中共有 对全等三角形．
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，，，
根据“”可判断≌；
，
，，
根据“”可判断≌，
综上所述，图中共有2对全等三角形.
故答案为：2.
【分析】由已知条件可知AC=CB，AB=CD，由图形可得DB=BD，则△ADB≌△CBD，得到∠A=∠C，由对顶角的性质可得∠AOD=∠COB，证明△AOD≌△COB，据此解答.
17．（2022八上·宿豫开学考）如图所示，，，，则
【答案】30
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：，，，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌，
.
故答案为：30.
【分析】由外角的性质可得∠3=∠1+∠ABD，结合已知条件可得∠ABD的度数，由∠BAC=∠DAE以及角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE，则∠ABD=∠2，据此解答.
18．（2019八上·桦南期中）如图,∠DAB=∠EAC=65°,AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于点O,AB和CD相交于P,AC和BE相交于F,则∠DOE的度数是 .
【答案】115°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠DAB=∠EAC=65°，
∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴∠E=∠ACD，
又∵∠AFE=∠OFC，
∴∠EAF=∠COF=65°，
∴∠DOE=115°.
故答案为：115°.
【分析】先利用"SAS"证出三角形全等，再利用全等三角形的性质：对应角相等进行转换即可。
三、解答题
19．如图所示，在①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C三个条件中，任选两个作题设，另一个作为结论，组成一个命题，并证明．
【答案】解：已知，DE∥BC，∠1＝∠2.
求证：∠B＝∠C.
证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
又∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C
【知识点】平行线的性质；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】命题由题设和结论组成，根据选取的两个条件是否可以推出第三个条件，即可证明其是否组成一个命题。
20．（2021八上·瓯海月考）如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE.求证：AC∥DF.
【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠E ，
∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，即BC=EF，
又∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF.
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【分析】由 AB∥DE，得∠B=∠E ；利用BF=CE可得，BC=EF，所以 △ABC≌△DEF（SAS） ，再利用 ∠ACB=∠DFE 内错角相等即可判定 AC∥DF .
21．（2021八上·北仑期末）已知：两边及其夹角，线段 ， ， .
求作： ，使 ， ，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
请你根据所学的知识，说明尺规作图作出 ，用到的是三角形全等判定定理中的_▲_，作出的 是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的_▲_.
【答案】解：如图所示：
;尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的△ABC是唯一的|是三角形全等判定定理中的SAS.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；作图-三角形
【解析】【分析】根据已知条件可知利用全等三角形的判定SAS，由此先画出∠ABC=∠α，再在∠ABC的两边截取BC=a，AB=c，然后连接AC即可.
22．（2022八上·岑溪期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高.求证：BD＝CE.
【答案】证明：∵BD、CE是高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据高线的定义可得∠ADB=∠AEC=90°，根据AAS证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE.
四、综合题
23．（2022八上·金华开学考）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：BD⊥CE，证明如下：
由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E，
∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
∴∠ADB+∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴BD⊥CE．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE＝90°，推出∠BAD＝∠CAE，又有AB＝AC，AD＝AE，利用“SAS”定理证出△BAD≌△CAE；
（2）由（1）知△BAD≌△CAE，得∠ADB＝∠E，再由角的互余关系等量代换得∠BDE＝90°，从而得出BD⊥CE．
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