2023年春季北师版数学九年级下册第三章 《圆》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·兰州）如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理得∠ADC＝∠B，∠CAD＝90°，由三角形的内角和定理得∠ACD+∠D＝90°，结合∠ACD的度数可得∠ADC的度数，据此解答.
2．（2022·巴中）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1.
故答案为：C.
【分析】连接BC，垂径定理可得AB⊥CD，由圆周角定理可得∠BAC=∠CDB=30°，根据余弦三角函数的概念可得AE、AB，然后求出OA，再根据OE=AE-OA进行计算.
3．（2022·宁夏）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：在Rt△OCF中，，
∴，
，
，
连接OE，则，
∵外圆弧与斜边相切，
∴∠BEO＝90°，
在Rt△BOE中，，
，，
根据勾股定理得，，
，
故答案为：C．
【分析】利用邻补角的定义可求出∠COF的度数，利用三角形的内角和定理求出∠OFC=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OF的长；连接OE，可得到OE的长，利用切线的性质可证得∠BEO=90°，同时可求出OB的长；利用勾股定理求出BE的长；然后利用阴影部分的面积=△BOE的面积-扇形EOD的面积，再利用三角形和扇形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
4．（2022·黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：
∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圆内接正十二边形的周长，
∴
故答案为：A．
【分析】利用正十二边形的性质得中心角的度数为30°，利用等腰三角形的性质可求出∠A6OH=15°，A6A7=2A6H，利用正弦函数的定义求出A6H，进而即可求出正十二边形的周长，然后求出圆周率.
5．（2022·资阳）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴
故答案为：B.
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，则OA=OC=2，AD=OD=1，根据三角函数的概念求出cos∠COD的值，得到∠COD的度数，由勾股定理可得CD，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
6．（2022·丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故答案为：D．
【分析】先求出半径OB=3，再求出圆心角∠BOC=2∠A=60°，最后利用弧长公式计算求解即可。
7．（2022·深圳）如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：如图，连接OC，连接．
∵是圆O的直径．
∴．
∵与圆O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵点O是的中点．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
8．（2022·通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
9．（2022·雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；圆的周长
【解析】【解答】解：∵圆O的周长为，设圆的半径为R，
∴
∴R=3
连接OC和OD，则OC=OD=3
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=，
∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故答案为： C.
【分析】设圆的半径为R，由圆的周长公式得R=3，连接OC和OD，则OC=OD=3，根据正六边形的性质可得∠COD=60°，推出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OC=OD=CD，CG=CD=，然后利用勾股定理进行计算.
10．（2022·哈尔滨）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·宁夏）如图，在中，半径垂直弦于点，若，，则 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵半径OC垂直弦AB于点D，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用垂径定理求出BD的长，再利用余弦三角函数的定义求出cosB的值.
12．（2022·衢州）如图，AB切⊙O于点，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C的度数为 ．
【答案】25°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵AB是圆O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠BOA=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO
∵∠AOB=∠C+∠CBO=2∠C=50°，
∴∠C=25°.
故答案为：25°.
【分析】连接OB，利用切线的性质可证得∠OBA=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BOA的度数；利用等边对等角可证得∠C=∠CBO；再利用三角形的外角的性质，可求出∠C的度数.
13．（2022·襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 ．
【答案】45°或135°
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图
连接BC，
∵⊙O的直径AB
∴∠ACB=90°
根据勾股定理得
∴
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
=135°
∴弦AC所对的圆周角的度数等于45°或者135°
故答案为：45°或者135°.
【分析】利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用勾股定理求出BC的长，可推出△ABC是等腰直角三角形，再利用圆内接四边形的对角互补，可求出弦AC所对的圆周角的度数.
14．（2022·盐城）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °．
【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交于点E，连接BE．
为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
，
．
故答案为：35.
【分析】连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，根据圆周角定理可得∠C=∠E，∠ABE=90°，根据切线的性质可得∠DAE=90°，由同角的余角相等可得∠E=∠BAD=35°，据此解答.
15．（2022·雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∠DCE＝72°，
四边形ABCD是⊙O内接四边形，
故答案为：
【分析】根据邻补角的性质可得∠BCD的度数，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠BCD=180°，结合∠BCD的度数可求出∠A的度数，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOD=2∠A，据此计算.
16．（2022·黔西）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是 ．
【答案】2π-4
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴OC=OB=OD，∠BOC=∠BCD=∠DOC=90°，BC=DC，
∴∠OCG=∠OBE=45°，
∵∠FOH=90°，
∴∠COG+∠COE=∠BOE+∠COE=90°，
∴∠COG=∠BOE，
在△COG和△BOE中
∴△COG≌△BOE（ASA），
∴S△COG=S△BOE，
∴S△BOC=S四边形OECG，
∴S阴影部分=S扇形HOF-S△COG，
在Rt△ODC中
2OD2=DC2=42
解之：OD=OC=
∴.
故答案为：2π-4.
【分析】利用正方形的性质可知OC=OB=OD，∠BOC=∠BCD=∠DOC=90°，BC=DC，利用三角形的内角和定理可证得∠OCG=∠OBE，利用余角的性质可得到∠COG=∠BOE；再利用ASA证明△COG≌△BOE，利用全等三角形的面积相等，去证明S阴影部分=S扇形HOF-S△COG；利用勾股定理求出OC的长；然后利用扇形的面积公式和正方形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·黔西）如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DH是⊙的切线；
（2）若E为AH的中点，求的值．
【答案】（1）证明：连接OD，
则．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴DH是的切线．
（2）解：连接AD和BE．∵AB是的直径，∴，．∵∴∴．∴且．∵，∴．∵，∴．∴．∵∴∴∴．∵E为AH的中点，∴．∴∴．
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等边对等角可证得∠ODB=∠B=∠C，由此可证OD∥AC，利用平行线的性质可得到∠DHC=∠HDO，利用垂直的定义去证明DH⊥OD，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连接AD和BE，由OD∥AC，利用平行线分线段成比例，可证得CD=BD，利用三角形的中位线定理可证得且；再证明△FAE∽△FOD，利用相似三角形的对应边成比例可得到；再证明DH∥BE，利用平行线分线段成比例可证得CH=HE，由此可推出AE=EH=CH，可得到AE与AC的数量关系，可得到的值.
18．（2022·襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DEBC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，CG＝2，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵点D为的中点，
∴OD⊥BC
∵DEBC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，如图所示，
∴BD=AC
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴∠CAD=∠BAD=30°．
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACG中，，
∴，
∵，
∴，，
∴BD=CA=6，
，
在Rt△ABD中，
∴
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
∴，
即，
∴
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，利用垂径定理可证得OD⊥BC，由DE∥BC，可证得OD⊥DE，利用切线的判定定理可证得结论；
（2）连接BD，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得BD=AC，易得 ，即可求出∠CAD=∠BAD=30°，利用圆周角定理可证得∠ACB=∠ADB=90°；再利用解直角三角形可求出CA，AG的长，利用三角形的面积公式求出△ACG的面积；在Rt△ABD中，利用解直角三角形求出AD的长；由DE∥BC，可证得△CAG∽△EAD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△EAD的面积；然后利用阴影部分的面积=△EAD的面积-△ACG的面积，代入计算可求解.
19．（2022·西藏）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为的中点，
∴，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴ODBE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵ADCE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵DGCE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，
∴sinA＝sin∠ECB＝，
在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，
∴OA＝，
∴AC＝OA﹣OC＝．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD、BE，由垂径定理得OD⊥CE，由等弧所对的圆周角相等得∠CBD=∠EBD，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠CBD，则∠ODB＝∠EBD，推出OD∥BE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CEB＝90°，则CE⊥BE，进而再根据平行线的性质得到AD⊥OD，据此证明；
（2）根据平行线的性质可得∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，则tan∠GDB=tan∠BFE＝2，根据正切三角函数的概念可得BE，由CE=EF+CF可得CE，由勾股定理可得BC，根据sinA＝sin∠ECB结合三角函数的概念可得OA，然后根据AC=OA-OC进行计算.
20．（2022·湘西）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
【答案】（1）证明：连接OE，
方法一：
∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：
∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，
∵CF＝2，sinC＝，
∴，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝3，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC sinC＝8×＝，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cos∠OAE＝cos∠BAE，即，∴，
解得AE＝（舍去负数），
∴AE的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）方法一：连接OE，利用角平分线的定义可证得∠BAC＝2∠OAE，利用圆周角定理可证得∠FOE＝2∠OAE，由此可推出∠FOE＝∠BAC，利用平行线的性质可证得OE⊥BC，然后利用切线的判定定理可证得结论；方法二：利用角平分线的定义可证得∠OAE＝∠BAE，利用等边对等角可知∠OAE＝∠OEA，由此可推出∠BAE＝∠OEA，利用平行线的判定定理可证得OE∥AB，再利用平行线的性质可证得OE⊥BC；然后根据切线的判定定理可证得结论.
（2）连接EF，利用解直角三角形可求出OF，OE的长，即可求出AC的长；再利用解直角三角形求出AB的长；由∠OAE=∠BAE，可得到cos∠OAE＝cos∠BAE，利用锐角三角函数的定义，可得到关于AE的方程，解方程求出AE的长.
21．（2022·南通）如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接．
（1）求直径的长；
（2）若，计算图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC=45°，
∴，
∴BC=DC=，
∴.
答：直径BD的长为4.
（2）解：∵在圆O中，，
∴弓形BC的面积等于弓形DC的面积，
∴阴影部分的面积等于△DCE的面积
∵，
∴S阴影部分=S△DCE=.
答：阴影部分的面积为6.
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠BCD＝∠DCE＝90°，利用角平分线的定义可证得∠BAC＝∠DAC=45°，利用圆周角定理可推出BC=DC；再利用解直角三角形求出BD的长.
（2）利用在圆O中，，可证得阴影部分的面积等于△DCE的面积；再求出CE的长；然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
22．（2022·宁夏）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴ODAC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：线段是的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，
∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等边对等角可证得∠ODA＝∠OAD，利用角平分线的定义可推出∠ODA＝∠DAC，利用平行线的判定定理可证得OD∥AC，由DE⊥AC，可得到DE⊥OD，然后利用切线的判定定理可证得结论；
（2）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，可得到∠ADM=90°，利用等角的余角相等可证得∠M=∠ABM，利用等角对等边，可证得结论；
（3）利用已知易证△ABM是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠M=60°，∠EDM＝30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出MD的长，利用等边三角形的性质可得到BD的长；再证明∠BDF=∠F，利用等角对等边可证得BF=BD，即可求出BF的长.
23．（2022·黄石）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．
【答案】（1）证明：如图所示，连接OA，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由知，令半径，则，，
在中，，
在中，，
即；
（3）解：在（2）的条件下，，
∴，
∴，
在中，，，
解得，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OA，利用直径所对圆周角是直角得∠CAD=90°，由此可知∠OAC+∠OAD=90°，利用等边对等角可证得∠OAD=∠ODA，可推出∠OAD=∠BAC，即可推出∠BAO=90°，再利用切线的判定定理可证得结论；
（2）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似得△BCA∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例可得，设圆的半径为r，利用勾股定理可表示出AB的长，利用解直角三角形求出tan∠ADB的值；
（3）利用（2）可得到AB的长，同时可求出CD的长，再利用勾股定理求出AC，AD的长，利用角平分线的定义可证得∠CAP=∠EAD，由此可证得△CAP∽△EAD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AE·AP的值.
24．（2022·安顺）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）延长，交于点，若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵ 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
是 的切线
（2）解：如图，连接 ，
平分 ，
，
∴DE=BE=2
∴OE⊥BD
，
，
，
，
是 的直径，
， ，
即∠ADF=∠BEF=90°，
，
，
，
（3）解：如图，过点 作 ，
由（2）可知 ，
，
，
，
设 的半径为 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
解得： （负值舍去），
的半径为2．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，即∠DAB+∠DBA=90°，根据同弧所对的圆周角相等，结合已知条件得出∠PAD=∠ABD，从而求出∠PAB=90°，即可得证；
(2)连接OE，EB，根据角平分线的定义，以及等腰三角形的性质求出，则得AD∥OE，根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAE=∠DBE，利用垂径定理求出DE=BE=2，进而可得tan∠EBF的值，最后根据三角函数定义求EF长即可；
(3)过点B作BG∥AD，根据平行线分线段成比例的性质，得出，设 的半径为 ，则GB =x，再求出DG长，证明△CGB∽△CDA，根据成比例的性质求出AD=x，在Rt△ADB中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答.
1 / 12023年春季北师版数学九年级下册第三章 《圆》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·兰州）如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
2．（2022·巴中）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2022·宁夏）把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·资阳）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为（ ）
A．6π B．2π C．π D．π
7．（2022·深圳）如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·雅安）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
10．（2022·哈尔滨）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·宁夏）如图，在中，半径垂直弦于点，若，，则 ．
12．（2022·衢州）如图，AB切⊙O于点，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C的度数为 ．
13．（2022·襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 ．
14．（2022·盐城）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °．
15．（2022·雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 .
16．（2022·黔西）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角．则图中阴影部分面积是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·黔西）如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DH是⊙的切线；
（2）若E为AH的中点，求的值．
18．（2022·襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DEBC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，CG＝2，求阴影部分的面积．
19．（2022·西藏）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
20．（2022·湘西）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
21．（2022·南通）如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接．
（1）求直径的长；
（2）若，计算图中阴影部分的面积．
22．（2022·宁夏）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
23．（2022·黄石）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．
24．（2022·安顺）如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平分，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）延长，交于点，若，求的半径．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理得∠ADC＝∠B，∠CAD＝90°，由三角形的内角和定理得∠ACD+∠D＝90°，结合∠ACD的度数可得∠ADC的度数，据此解答.
2．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵为的直径，，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=∠CDB=30°，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴OA=2，
∴OE=AE-OA=1.
故答案为：C.
【分析】连接BC，垂径定理可得AB⊥CD，由圆周角定理可得∠BAC=∠CDB=30°，根据余弦三角函数的概念可得AE、AB，然后求出OA，再根据OE=AE-OA进行计算.
3．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：在Rt△OCF中，，
∴，
，
，
连接OE，则，
∵外圆弧与斜边相切，
∴∠BEO＝90°，
在Rt△BOE中，，
，，
根据勾股定理得，，
，
故答案为：C．
【分析】利用邻补角的定义可求出∠COF的度数，利用三角形的内角和定理求出∠OFC=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OF的长；连接OE，可得到OE的长，利用切线的性质可证得∠BEO=90°，同时可求出OB的长；利用勾股定理求出BE的长；然后利用阴影部分的面积=△BOE的面积-扇形EOD的面积，再利用三角形和扇形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
4．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：
∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圆内接正十二边形的周长，
∴
故答案为：A．
【分析】利用正十二边形的性质得中心角的度数为30°，利用等腰三角形的性质可求出∠A6OH=15°，A6A7=2A6H，利用正弦函数的定义求出A6H，进而即可求出正十二边形的周长，然后求出圆周率.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴
故答案为：B.
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，则OA=OC=2，AD=OD=1，根据三角函数的概念求出cos∠COD的值，得到∠COD的度数，由勾股定理可得CD，然后根据S阴影=S扇形AOC-S△AOC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
6．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴的长是=π，
故答案为：D．
【分析】先求出半径OB=3，再求出圆心角∠BOC=2∠A=60°，最后利用弧长公式计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【解答】解：如图，连接OC，连接．
∵是圆O的直径．
∴．
∵与圆O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵点O是的中点．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形；圆的周长
【解析】【解答】解：∵圆O的周长为，设圆的半径为R，
∴
∴R=3
连接OC和OD，则OC=OD=3
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=，
∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故答案为： C.
【分析】设圆的半径为R，由圆的周长公式得R=3，连接OC和OD，则OC=OD=3，根据正六边形的性质可得∠COD=60°，推出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OC=OD=CD，CG=CD=，然后利用勾股定理进行计算.
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
11．【答案】
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵半径OC垂直弦AB于点D，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用垂径定理求出BD的长，再利用余弦三角函数的定义求出cosB的值.
12．【答案】25°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵AB是圆O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠BOA=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO
∵∠AOB=∠C+∠CBO=2∠C=50°，
∴∠C=25°.
故答案为：25°.
【分析】连接OB，利用切线的性质可证得∠OBA=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BOA的度数；利用等边对等角可证得∠C=∠CBO；再利用三角形的外角的性质，可求出∠C的度数.
13．【答案】45°或135°
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图
连接BC，
∵⊙O的直径AB
∴∠ACB=90°
根据勾股定理得
∴
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
=135°
∴弦AC所对的圆周角的度数等于45°或者135°
故答案为：45°或者135°.
【分析】利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用勾股定理求出BC的长，可推出△ABC是等腰直角三角形，再利用圆内接四边形的对角互补，可求出弦AC所对的圆周角的度数.
14．【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交于点E，连接BE．
为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
，
．
故答案为：35.
【分析】连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，根据圆周角定理可得∠C=∠E，∠ABE=90°，根据切线的性质可得∠DAE=90°，由同角的余角相等可得∠E=∠BAD=35°，据此解答.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∠DCE＝72°，
四边形ABCD是⊙O内接四边形，
故答案为：
【分析】根据邻补角的性质可得∠BCD的度数，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠BCD=180°，结合∠BCD的度数可求出∠A的度数，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOD=2∠A，据此计算.
16．【答案】2π-4
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴OC=OB=OD，∠BOC=∠BCD=∠DOC=90°，BC=DC，
∴∠OCG=∠OBE=45°，
∵∠FOH=90°，
∴∠COG+∠COE=∠BOE+∠COE=90°，
∴∠COG=∠BOE，
在△COG和△BOE中
∴△COG≌△BOE（ASA），
∴S△COG=S△BOE，
∴S△BOC=S四边形OECG，
∴S阴影部分=S扇形HOF-S△COG，
在Rt△ODC中
2OD2=DC2=42
解之：OD=OC=
∴.
故答案为：2π-4.
【分析】利用正方形的性质可知OC=OB=OD，∠BOC=∠BCD=∠DOC=90°，BC=DC，利用三角形的内角和定理可证得∠OCG=∠OBE，利用余角的性质可得到∠COG=∠BOE；再利用ASA证明△COG≌△BOE，利用全等三角形的面积相等，去证明S阴影部分=S扇形HOF-S△COG；利用勾股定理求出OC的长；然后利用扇形的面积公式和正方形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
17．【答案】（1）证明：连接OD，
则．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴DH是的切线．
（2）解：连接AD和BE．∵AB是的直径，∴，．∵∴∴．∴且．∵，∴．∵，∴．∴．∵∴∴∴．∵E为AH的中点，∴．∴∴．
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等边对等角可证得∠ODB=∠B=∠C，由此可证OD∥AC，利用平行线的性质可得到∠DHC=∠HDO，利用垂直的定义去证明DH⊥OD，利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连接AD和BE，由OD∥AC，利用平行线分线段成比例，可证得CD=BD，利用三角形的中位线定理可证得且；再证明△FAE∽△FOD，利用相似三角形的对应边成比例可得到；再证明DH∥BE，利用平行线分线段成比例可证得CH=HE，由此可推出AE=EH=CH，可得到AE与AC的数量关系，可得到的值.
18．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵点D为的中点，
∴OD⊥BC
∵DEBC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，如图所示，
∴BD=AC
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴∠CAD=∠BAD=30°．
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACG中，，
∴，
∵，
∴，，
∴BD=CA=6，
，
在Rt△ABD中，
∴
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
∴，
即，
∴
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，利用垂径定理可证得OD⊥BC，由DE∥BC，可证得OD⊥DE，利用切线的判定定理可证得结论；
（2）连接BD，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得BD=AC，易得 ，即可求出∠CAD=∠BAD=30°，利用圆周角定理可证得∠ACB=∠ADB=90°；再利用解直角三角形可求出CA，AG的长，利用三角形的面积公式求出△ACG的面积；在Rt△ABD中，利用解直角三角形求出AD的长；由DE∥BC，可证得△CAG∽△EAD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△EAD的面积；然后利用阴影部分的面积=△EAD的面积-△ACG的面积，代入计算可求解.
19．【答案】（1）证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为的中点，
∴，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴ODBE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵ADCE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵DGCE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，
∴sinA＝sin∠ECB＝，
在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，
∴OA＝，
∴AC＝OA﹣OC＝．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD、BE，由垂径定理得OD⊥CE，由等弧所对的圆周角相等得∠CBD=∠EBD，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠CBD，则∠ODB＝∠EBD，推出OD∥BE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CEB＝90°，则CE⊥BE，进而再根据平行线的性质得到AD⊥OD，据此证明；
（2）根据平行线的性质可得∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，则tan∠GDB=tan∠BFE＝2，根据正切三角函数的概念可得BE，由CE=EF+CF可得CE，由勾股定理可得BC，根据sinA＝sin∠ECB结合三角函数的概念可得OA，然后根据AC=OA-OC进行计算.
20．【答案】（1）证明：连接OE，
方法一：
∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：
∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，
∵CF＝2，sinC＝，
∴，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝3，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC sinC＝8×＝，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cos∠OAE＝cos∠BAE，即，∴，
解得AE＝（舍去负数），
∴AE的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）方法一：连接OE，利用角平分线的定义可证得∠BAC＝2∠OAE，利用圆周角定理可证得∠FOE＝2∠OAE，由此可推出∠FOE＝∠BAC，利用平行线的性质可证得OE⊥BC，然后利用切线的判定定理可证得结论；方法二：利用角平分线的定义可证得∠OAE＝∠BAE，利用等边对等角可知∠OAE＝∠OEA，由此可推出∠BAE＝∠OEA，利用平行线的判定定理可证得OE∥AB，再利用平行线的性质可证得OE⊥BC；然后根据切线的判定定理可证得结论.
（2）连接EF，利用解直角三角形可求出OF，OE的长，即可求出AC的长；再利用解直角三角形求出AB的长；由∠OAE=∠BAE，可得到cos∠OAE＝cos∠BAE，利用锐角三角函数的定义，可得到关于AE的方程，解方程求出AE的长.
21．【答案】（1）解：解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC=45°，
∴，
∴BC=DC=，
∴.
答：直径BD的长为4.
（2）解：∵在圆O中，，
∴弓形BC的面积等于弓形DC的面积，
∴阴影部分的面积等于△DCE的面积
∵，
∴S阴影部分=S△DCE=.
答：阴影部分的面积为6.
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠BCD＝∠DCE＝90°，利用角平分线的定义可证得∠BAC＝∠DAC=45°，利用圆周角定理可推出BC=DC；再利用解直角三角形求出BD的长.
（2）利用在圆O中，，可证得阴影部分的面积等于△DCE的面积；再求出CE的长；然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
22．【答案】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴ODAC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：线段是的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，
∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等边对等角可证得∠ODA＝∠OAD，利用角平分线的定义可推出∠ODA＝∠DAC，利用平行线的判定定理可证得OD∥AC，由DE⊥AC，可得到DE⊥OD，然后利用切线的判定定理可证得结论；
（2）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，可得到∠ADM=90°，利用等角的余角相等可证得∠M=∠ABM，利用等角对等边，可证得结论；
（3）利用已知易证△ABM是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠M=60°，∠EDM＝30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出MD的长，利用等边三角形的性质可得到BD的长；再证明∠BDF=∠F，利用等角对等边可证得BF=BD，即可求出BF的长.
23．【答案】（1）证明：如图所示，连接OA，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由知，令半径，则，，
在中，，
在中，，
即；
（3）解：在（2）的条件下，，
∴，
∴，
在中，，，
解得，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OA，利用直径所对圆周角是直角得∠CAD=90°，由此可知∠OAC+∠OAD=90°，利用等边对等角可证得∠OAD=∠ODA，可推出∠OAD=∠BAC，即可推出∠BAO=90°，再利用切线的判定定理可证得结论；
（2）利用有两组对应角分别相等的两三角形相似得△BCA∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例可得，设圆的半径为r，利用勾股定理可表示出AB的长，利用解直角三角形求出tan∠ADB的值；
（3）利用（2）可得到AB的长，同时可求出CD的长，再利用勾股定理求出AC，AD的长，利用角平分线的定义可证得∠CAP=∠EAD，由此可证得△CAP∽△EAD，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AE·AP的值.
24．【答案】（1）证明：∵ 是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
是 的切线
（2）解：如图，连接 ，
平分 ，
，
∴DE=BE=2
∴OE⊥BD
，
，
，
，
是 的直径，
， ，
即∠ADF=∠BEF=90°，
，
，
，
（3）解：如图，过点 作 ，
由（2）可知 ，
，
，
，
设 的半径为 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
即 ，
解得： （负值舍去），
的半径为2．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，即∠DAB+∠DBA=90°，根据同弧所对的圆周角相等，结合已知条件得出∠PAD=∠ABD，从而求出∠PAB=90°，即可得证；
(2)连接OE，EB，根据角平分线的定义，以及等腰三角形的性质求出，则得AD∥OE，根据同弧所对的圆周角相等得出∠DAE=∠DBE，利用垂径定理求出DE=BE=2，进而可得tan∠EBF的值，最后根据三角函数定义求EF长即可；
(3)过点B作BG∥AD，根据平行线分线段成比例的性质，得出，设 的半径为 ，则GB =x，再求出DG长，证明△CGB∽△CDA，根据成比例的性质求出AD=x，在Rt△ADB中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答.
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