2023年春季北师版数学九年级下册第三章 《圆》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021·武威）如图，点 在 上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
3．（2022·云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⊥CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．cosθ(1+cosθ) B．cosθ(1+sinθ)
C．sinθ(1+sinθ) D．sinθ(1+cosθ)
5．（2022·无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°
6．（2022·宜昌）如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·德阳）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交于点 ，与 相交于点 ，则下列结论：① ；②若 ，则 ；③若点 为 的中点，则 ；④ .其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022·安顺）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·北部湾）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 并延长交AB于点D，当 时， 的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·苏州）如图，AB是 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若 ，则 °
12．（2022·资阳）如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是 度．
13．（2022·朝阳）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ．
14．（2022·海南）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= .
15．（2022·四川）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是 ．
16．（2022·湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是 所对的圆周角，则∠APD的度数是
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·沈阳）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．
（1）求证：是圆的切线；
（2）连接，，，的长为 ．
18．（2022·兰州）如图， 是 的外接圆，AB是直径， ，连接AD， ，AC与OD相交于点E．
（1）求证：AD是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
19．（2022·菏泽）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是的切线；
（2）若，求CG的长．
20．（2022·东营）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
21．（2022·贵港）图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，.
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求⊙的半径及的长.
22．（2022·雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D.
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC.
23．（2022·内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.
24．（2022·贵阳）如图，为的直径，是的切线，为切点，连接.垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接，.
（1）求证：；
（2）当平分时，求证：；
（3）在（2）的条件下，，求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： 点 在 上， ，
故答案为：D
【分析】在 上，由得出从而可得，据此即得结论.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵，，，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与切于点E，OE为的半径，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，
解得，，
则这种铁球的直径＝.
故答案为：C.
【分析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，易得四边形ABDC是矩形，根据切线的性质可得OE⊥CD，OE⊥AB，根据垂径定理可得PA=PB，PE=AC，易得PA=8cm，AC=4cm，根据勾股定理可得OA，进而可得这种铁球的直径.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB=26，
∴OC=13，
∵AB⊥CD ，
∴CE=ED=CD=12，
∴cos∠OCE==.
故答案为：B.
【分析】先求出OC长，再由垂径定理求出CE长，然后余弦的定义列式计算即可.
4．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，
∵A′D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
BD=OBsinθ=sinθ，OD=OBcosθ=cosθ，
∴BC=2sinθ，AD=1+cosθ
∴.
故答案为：D.
【分析】当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，利用垂径定理和圆周角定理可证得BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，利用解直角三角形表示出BD，OD的长，由此可得到AD，BC的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的最大面积.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE，故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，
∴∠BOD=2∠OAD=50°，故选项D正确；
如图：
过点D作DF⊥AB于点F
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF故答案为：C.
【分析】根据切线的性质可得OD⊥DE，根据等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，根据角平分线的概念得∠OAD=∠EAD，则∠EAD=∠ODA，推出OD∥AE，据此判断A、B；根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，由圆周角定理得∠BOD=2∠OAD=50°，据此判断D；根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判断C.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于 ，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，结合∠BCD的度数可得∠A的度数，由圆周角定理可得∠BOD=2∠A，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点 是 的内心，
∴ ，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵点 是 的内心，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，
∴∠BEC=120°，故②正确；
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴BG=CG，
∵AG=AG，无法证明△ABG≌△ACG，
∴∠AGB不一定等于∠AGC，
即 不一定成立，故③错误；
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴ ，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，
∴ ，
∴∠DBE =∠BED，
∴ ，故④正确；
∴正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据内心的概念可得AD为∠BAC的角平分线，根据角平分线的概念可判断①；连接BE，CE，根据内心的概念可得∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，则∠ABC+∠ACB =2(∠CBE+∠BCE)，结合内角和定理可得∠CBE+∠BCE=60°，据此判断②；根据内心的概念可得∠BAD=∠CAD，根据中点的概念可得BG=CG，无法证明△ABG≌△ACG，据此判断③；根据内心的概念可得∠BED=∠BAD+∠ABE=(∠BAC+∠ABC)，根据∠CBD=∠CAD可得∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，推出∠DBE=∠BED，据此判断④.
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵边长为的正方形ABCD内接于，则CD=，
∴AC=CD=2，
∵AC，BD为的直径，
∴∠ECD= 90° ，
∵PA，PD分别与相切于点A和点D，
∵EP⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBD=45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴ED=BD=AC=2，
∵AC⊥BD，PA⊥AO，PD⊥OD，
∵四边形OAPD是矩形，
又∵OA=OD，
∴四边形OAPD是正方形，
∴DP=OA=1，
∴EP=ED+PD=2+1=3，
∴S阴影=S梯形ACEP-S⊙O，
=(2+3)×1-π×12
= .
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质和切线的性质，求出ED，DP的长，再根据等腰直角三角形的性质求出AC的长，再求出EP长，然后根据S阴影=S梯形ACEP-S⊙O列式计算，即可求出结果.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；切线长定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连结OA
∵、分别与相切于点A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=.
故答案为：A
【分析】连结OA，利用切线长定理可证得PA=PB，∠APD=∠BPD，OP⊥AP；再利用SAS证明△APD≌△BPD，利用全等三角形的性质可得到∠ADP=∠BDP可推出∠AOP=∠ADB，在Rt△AOP中，利用勾股定理求出OP的长；然后利用锐角三角函数的定义可求出sin∠ADB的值.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解： ，
，
是 绕点A逆时针旋转 得到，
， ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
的长= .
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD=DB=AB，根据旋转的性质可得AB=AB′，AD=AB′，求出sin∠B′AD的值，可得∠B′AD=60°，则∠CAB=30°，根据三角函数的概念可得AD，然后求出AB，接下来结合弧长公式计算即可.
11．【答案】62
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 BD ，
∵AB是 的直径，
∴ ，
，
，
故答案为：62.
【分析】连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠BAC=∠BDC=28°，然后根据∠ADC=∠ADB-∠BDC进行计算.
12．【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∵，
∴∠BAC=55°，
∵AD与相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，
∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．
故答案为：35.
【分析】根据圆周角定理可得∠C=90°，则∠BAC=90°-∠B=55°，根据切线的性质可得∠BAD=90°，然后根据∠CAD=90°-∠BAC进行计算.
13．【答案】24﹣64π
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE＝DC＝4，
∵cos∠ADE，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S扇形EDC4π，
∵AE6，
∴BE＝AB﹣AE＝46，
∴S四边形DCBE24﹣6，
∴阴影部分的面积＝24﹣64π，
故答案为：24﹣64π．
【分析】先求出扇形的面积S扇形EDC4π，再求出四边形的面积S四边形DCBE24﹣6，最后利用割补法可得阴影部分的面积＝24﹣64π。
14．【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵边AB与⊙O相切，切点为 B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C，
∴∠C=∠AOB=25°.
故答案为：25.
【分析】连接OB，利用切线的性质可证得∠ABO=90°，利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数；再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可求出∠C的度数.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AB于H，
∴OH是AB的垂直平分线，
∴∠AOH=∠BOH，
∵∠ACB和∠AOB所对的都是AB弧，
∴∠AOB=2∠ACB，
∴∠AOH=∠ACB，
∵OH=2，AH=3，
∴OA==，
∴cos∠ACB=cos∠AOH===.
故答案为：.
【分析】作OH⊥AB于H，由垂径定理得出∠AOH=∠BOH，然后根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求出∠AOH=∠ACB，根据勾股定理求出OA长，最后根据余弦的定义计算即可.
16．【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=60°，
又∵∠APD是 所对的圆周角，
∴∠APD=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形性质及垂径定理可得∠AOD=∠BOD=∠AOB=60°，再根据圆周角定理即可求出∠APD的度数.
17．【答案】（1）证明：∵四边形内接于圆，∴，∵，∴，∴，∴，∵是圆的直径，∴是圆的切线．
（2）6
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】（2）解：延长交的延长线于点，
∵是圆的直径，∴，∴，∴是直角三角形，∴， ∵四边形内接于圆，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案为：6．
【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）根据题意先求出是直角三角形，再利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质求解即可。
18．【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠COD=90°，
∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，
∴∠BOC +∠AOD=90°，
∵ ，
∴∠ADO +∠AOD=90°，
∵∠ADO +∠AOD+∠OAD=180°，
∴∠OAD=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，
∴∠AED=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AED=∠CAD，
∴DE=AD= ，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OC⊥OD，
∴∠COE=90°，
∴tan∠OAC= tan∠OCA= ，
设OC=OA=R，
则OE= R，
在Rt△OAD中，∠OAD=90°，
由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，
即 ，
解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径为2．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠COD=90°，结合平角的概念可得∠BOC +∠AOD=90°，结合∠ADO=∠BOC，得∠ADO+∠AOD=90°，结合内角和定理可得∠OAD=90°，据此证明；
（2）根据圆周角定理得∠ACB=90°，根据同角的余角相等可得∠B=∠CAD，结合∠ADO=∠BOC及内角和定理可得∠AED=∠OCB，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠OCB，推出 ∠AED=∠CAD， 进而推出DE=AD= ，设OC=OA=R，根据三角函数的概念可得OE=R，在Rt△OAD中，由勾股定理可得R的值，据此解答.
19．【答案】（1）解：连接OD，
，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
（2）解：由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。
20．【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：过点O作于F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OC，先证明，再结合OC为半径，即可得到直线是的切线；
（2）过点O作于F，先求出，再利用割补法求出阴影部分的面积即可。
21．【答案】（1）证明：如图，作，垂足为H，连接，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴，即是的平分线，
∵O在上，与相切于点E，
∴，且是的半径，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴是的半径，
∴是的切线.
（2）解：如（1）图，∵在中，，
∴可设，
∴，
则，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
∴，即，则，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得，又，
∴，
在中，由勾股定理得：.
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=AB，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ACD，由外角的性质可得∠BDC=2∠CAD，结合∠FAC=∠BDC，推出∠FAC=∠CAB，根据角平分线的性质可得OH=OE，据此证明；
（2）由三角函数的概念设AC=4x，AB=5x，由勾股定理可得x的值，设半径为r，则OC=OE=r，证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得r，在Rt△AOE中，根据勾股定理可得AE=4，据此可得DE，再在Rt△ODE中，利用勾股定理计算即可.
22．【答案】（1）证明：如图，过O作于H，
∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，
O为圆心，OC为半径，
是⊙O的切线.
（2）证明：如图，连结CE，
为的直径，
（3）解：
设 则 而
解得
tan∠OAC
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得OC=OH，据此证明；
（2）连结CE，根据圆周角定理可得∠DCE=90°，由同角的余角相等可得∠DCO=∠ACE，根据等腰三角形的性质可得∠ODC=∠OCD，则∠ACE=∠ADC，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（3）根据相似三角形的性质结合已知条件可得，设AE=x，则AC=2x，AD=4x，又AD=AE+DE=x+12，据此可得x的值，进而可得AE、AC、AD，然后根据三角函数的概念进行计算.
23．【答案】（1）解：直线AF与⊙O相切.
理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）解：∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴E为AC中点，
即，
∵∠，
∴，
∴∠AOF＝30°，
∴，
∴；
（3）解：∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴，
∴S△OCP＝，
∴阴影部分的面积=S△OCP﹣S扇形AOC＝.
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCP＝90°，由平行线的性质可得∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，根据等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B，则∠AOF＝∠COF，证明△AOF≌△COF，得到∠OAF＝∠OCF＝90°，则AF⊥OA，据此证明；
（2）由等腰三角形的性质可得AE=CE=AC，OE⊥AC，利用三角函数的概念求出tan∠AOF的值，得到∠AOF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE=OA，据此求解；
（3）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，OC＝6，根据三角函数的概念可得CP，然后根据S阴影=S△OCP-S扇形AOC进行计算.
24．【答案】（1）证明：如图，连接 为的切线，
（2）解：如图，连接OF，垂直平分
而
为等边三角形，
平分
（3）解：为等边三角形，
为等边三角形，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接CO，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据垂直的概念可得∠PEB=90°，由对顶角的性质得∠DPC=∠BPE，由等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，然后根据等角的余角相等进行证明；
（2）连接OF，根据垂直平分线的性质可得FO=FB，推出△BOF为等边三角形，得到∠FOB=∠FBO=60°，∠FCB=30°，根据角平分线的概念可得∠CBO=∠FBC=30°，则∠CBO=∠FCB，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）根据等边三角形的性质可得OF=OC=2，∠FOB=60°，根据平行线的性质可得∠OFC=∠FOB=60°，推出△OCF为等边三角形，得到CF=OF=2，∠COF=60°，根据三角函数的概念可得FE，然后根据S阴影=S扇形COF-S△COF进行计算.
1 / 12023年春季北师版数学九年级下册第三章 《圆》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021·武威）如图，点 在 上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： 点 在 上， ，
故答案为：D
【分析】在 上，由得出从而可得，据此即得结论.
2．（2022·鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵，，，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与切于点E，OE为的半径，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，
解得，，
则这种铁球的直径＝.
故答案为：C.
【分析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，易得四边形ABDC是矩形，根据切线的性质可得OE⊥CD，OE⊥AB，根据垂径定理可得PA=PB，PE=AC，易得PA=8cm，AC=4cm，根据勾股定理可得OA，进而可得这种铁球的直径.
3．（2022·云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⊥CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AB=26，
∴OC=13，
∵AB⊥CD ，
∴CE=ED=CD=12，
∴cos∠OCE==.
故答案为：B.
【分析】先求出OC长，再由垂径定理求出CE长，然后余弦的定义列式计算即可.
4．（2022·杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．cosθ(1+cosθ) B．cosθ(1+sinθ)
C．sinθ(1+sinθ) D．sinθ(1+cosθ)
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【解答】解：当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，
∵A′D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
BD=OBsinθ=sinθ，OD=OBcosθ=cosθ，
∴BC=2sinθ，AD=1+cosθ
∴.
故答案为：D.
【分析】当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，利用垂径定理和圆周角定理可证得BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，利用解直角三角形表示出BD，OD的长，由此可得到AD，BC的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的最大面积.
5．（2022·无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°
【答案】C
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE，故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，
∴∠BOD=2∠OAD=50°，故选项D正确；
如图：
过点D作DF⊥AB于点F
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF故答案为：C.
【分析】根据切线的性质可得OD⊥DE，根据等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，根据角平分线的概念得∠OAD=∠EAD，则∠EAD=∠ODA，推出OD∥AE，据此判断A、B；根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，由圆周角定理得∠BOD=2∠OAD=50°，据此判断D；根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判断C.
6．（2022·宜昌）如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于 ，
∴ ，
由圆周角定理得， ，
∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，结合∠BCD的度数可得∠A的度数，由圆周角定理可得∠BOD=2∠A，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
7．（2022·德阳）如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交于点 ，与 相交于点 ，则下列结论：① ；②若 ，则 ；③若点 为 的中点，则 ；④ .其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点 是 的内心，
∴ ，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵点 是 的内心，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，
∴∠BEC=120°，故②正确；
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴BG=CG，
∵AG=AG，无法证明△ABG≌△ACG，
∴∠AGB不一定等于∠AGC，
即 不一定成立，故③错误；
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴ ，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，
∴ ，
∴∠DBE =∠BED，
∴ ，故④正确；
∴正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据内心的概念可得AD为∠BAC的角平分线，根据角平分线的概念可判断①；连接BE，CE，根据内心的概念可得∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，则∠ABC+∠ACB =2(∠CBE+∠BCE)，结合内角和定理可得∠CBE+∠BCE=60°，据此判断②；根据内心的概念可得∠BAD=∠CAD，根据中点的概念可得BG=CG，无法证明△ABG≌△ACG，据此判断③；根据内心的概念可得∠BED=∠BAD+∠ABE=(∠BAC+∠ABC)，根据∠CBD=∠CAD可得∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，推出∠DBE=∠BED，据此判断④.
8．（2022·安顺）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵边长为的正方形ABCD内接于，则CD=，
∴AC=CD=2，
∵AC，BD为的直径，
∴∠ECD= 90° ，
∵PA，PD分别与相切于点A和点D，
∵EP⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBD=45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴ED=BD=AC=2，
∵AC⊥BD，PA⊥AO，PD⊥OD，
∵四边形OAPD是矩形，
又∵OA=OD，
∴四边形OAPD是正方形，
∴DP=OA=1，
∴EP=ED+PD=2+1=3，
∴S阴影=S梯形ACEP-S⊙O，
=(2+3)×1-π×12
= .
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质和切线的性质，求出ED，DP的长，再根据等腰直角三角形的性质求出AC的长，再求出EP长，然后根据S阴影=S梯形ACEP-S⊙O列式计算，即可求出结果.
9．（2022·黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；切线长定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连结OA
∵、分别与相切于点A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，
，
∴△APD≌△BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，
∴sin∠ADB=.
故答案为：A
【分析】连结OA，利用切线长定理可证得PA=PB，∠APD=∠BPD，OP⊥AP；再利用SAS证明△APD≌△BPD，利用全等三角形的性质可得到∠ADP=∠BDP可推出∠AOP=∠ADB，在Rt△AOP中，利用勾股定理求出OP的长；然后利用锐角三角函数的定义可求出sin∠ADB的值.
10．（2022·北部湾）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 并延长交AB于点D，当 时， 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解： ，
，
是 绕点A逆时针旋转 得到，
， ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
的长= .
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD=DB=AB，根据旋转的性质可得AB=AB′，AD=AB′，求出sin∠B′AD的值，可得∠B′AD=60°，则∠CAB=30°，根据三角函数的概念可得AD，然后求出AB，接下来结合弧长公式计算即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·苏州）如图，AB是 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若 ，则 °
【答案】62
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 BD ，
∵AB是 的直径，
∴ ，
，
，
故答案为：62.
【分析】连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠BAC=∠BDC=28°，然后根据∠ADC=∠ADB-∠BDC进行计算.
12．（2022·资阳）如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是 度．
【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∵，
∴∠BAC=55°，
∵AD与相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，
∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．
故答案为：35.
【分析】根据圆周角定理可得∠C=90°，则∠BAC=90°-∠B=55°，根据切线的性质可得∠BAD=90°，然后根据∠CAD=90°-∠BAC进行计算.
13．（2022·朝阳）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 ．
【答案】24﹣64π
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，
∴DE＝DC＝4，
∵cos∠ADE，
∴∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴S扇形EDC4π，
∵AE6，
∴BE＝AB﹣AE＝46，
∴S四边形DCBE24﹣6，
∴阴影部分的面积＝24﹣64π，
故答案为：24﹣64π．
【分析】先求出扇形的面积S扇形EDC4π，再求出四边形的面积S四边形DCBE24﹣6，最后利用割补法可得阴影部分的面积＝24﹣64π。
14．（2022·海南）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB= .
【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵边AB与⊙O相切，切点为 B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C，
∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C，
∴∠C=∠AOB=25°.
故答案为：25.
【分析】连接OB，利用切线的性质可证得∠ABO=90°，利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数；再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可求出∠C的度数.
15．（2022·四川）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AB于H，
∴OH是AB的垂直平分线，
∴∠AOH=∠BOH，
∵∠ACB和∠AOB所对的都是AB弧，
∴∠AOB=2∠ACB，
∴∠AOH=∠ACB，
∵OH=2，AH=3，
∴OA==，
∴cos∠ACB=cos∠AOH===.
故答案为：.
【分析】作OH⊥AB于H，由垂径定理得出∠AOH=∠BOH，然后根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求出∠AOH=∠ACB，根据勾股定理求出OA长，最后根据余弦的定义计算即可.
16．（2022·湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是 所对的圆周角，则∠APD的度数是
【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=60°，
又∵∠APD是 所对的圆周角，
∴∠APD=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据等腰三角形性质及垂径定理可得∠AOD=∠BOD=∠AOB=60°，再根据圆周角定理即可求出∠APD的度数.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·沈阳）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．
（1）求证：是圆的切线；
（2）连接，，，的长为 ．
【答案】（1）证明：∵四边形内接于圆，∴，∵，∴，∴，∴，∵是圆的直径，∴是圆的切线．
（2）6
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】（2）解：延长交的延长线于点，
∵是圆的直径，∴，∴，∴是直角三角形，∴， ∵四边形内接于圆，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案为：6．
【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）根据题意先求出是直角三角形，再利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质求解即可。
18．（2022·兰州）如图， 是 的外接圆，AB是直径， ，连接AD， ，AC与OD相交于点E．
（1）求证：AD是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠COD=90°，
∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，
∴∠BOC +∠AOD=90°，
∵ ，
∴∠ADO +∠AOD=90°，
∵∠ADO +∠AOD+∠OAD=180°，
∴∠OAD=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，
∴∠AED=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AED=∠CAD，
∴DE=AD= ，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OC⊥OD，
∴∠COE=90°，
∴tan∠OAC= tan∠OCA= ，
设OC=OA=R，
则OE= R，
在Rt△OAD中，∠OAD=90°，
由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，
即 ，
解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径为2．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠COD=90°，结合平角的概念可得∠BOC +∠AOD=90°，结合∠ADO=∠BOC，得∠ADO+∠AOD=90°，结合内角和定理可得∠OAD=90°，据此证明；
（2）根据圆周角定理得∠ACB=90°，根据同角的余角相等可得∠B=∠CAD，结合∠ADO=∠BOC及内角和定理可得∠AED=∠OCB，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠OCB，推出 ∠AED=∠CAD， 进而推出DE=AD= ，设OC=OA=R，根据三角函数的概念可得OE=R，在Rt△OAD中，由勾股定理可得R的值，据此解答.
19．（2022·菏泽）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是的切线；
（2）若，求CG的长．
【答案】（1）解：连接OD，
，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
（2）解：由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。
20．（2022·东营）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：过点O作于F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OC，先证明，再结合OC为半径，即可得到直线是的切线；
（2）过点O作于F，先求出，再利用割补法求出阴影部分的面积即可。
21．（2022·贵港）图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，.
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求⊙的半径及的长.
【答案】（1）证明：如图，作，垂足为H，连接，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴，即是的平分线，
∵O在上，与相切于点E，
∴，且是的半径，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴是的半径，
∴是的切线.
（2）解：如（1）图，∵在中，，
∴可设，
∴，
则，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
∴，即，则，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得，又，
∴，
在中，由勾股定理得：.
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=AB，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ACD，由外角的性质可得∠BDC=2∠CAD，结合∠FAC=∠BDC，推出∠FAC=∠CAB，根据角平分线的性质可得OH=OE，据此证明；
（2）由三角函数的概念设AC=4x，AB=5x，由勾股定理可得x的值，设半径为r，则OC=OE=r，证明△AOE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得r，在Rt△AOE中，根据勾股定理可得AE=4，据此可得DE，再在Rt△ODE中，利用勾股定理计算即可.
22．（2022·雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D.
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC.
【答案】（1）证明：如图，过O作于H，
∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，
O为圆心，OC为半径，
是⊙O的切线.
（2）证明：如图，连结CE，
为的直径，
（3）解：
设 则 而
解得
tan∠OAC
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得OC=OH，据此证明；
（2）连结CE，根据圆周角定理可得∠DCE=90°，由同角的余角相等可得∠DCO=∠ACE，根据等腰三角形的性质可得∠ODC=∠OCD，则∠ACE=∠ADC，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（3）根据相似三角形的性质结合已知条件可得，设AE=x，则AC=2x，AD=4x，又AD=AE+DE=x+12，据此可得x的值，进而可得AE、AC、AD，然后根据三角函数的概念进行计算.
23．（2022·内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：直线AF与⊙O相切.
理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）解：∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴E为AC中点，
即，
∵∠，
∴，
∴∠AOF＝30°，
∴，
∴；
（3）解：∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴，
∴S△OCP＝，
∴阴影部分的面积=S△OCP﹣S扇形AOC＝.
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCP＝90°，由平行线的性质可得∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，根据等腰三角形的性质可得∠OCB＝∠B，则∠AOF＝∠COF，证明△AOF≌△COF，得到∠OAF＝∠OCF＝90°，则AF⊥OA，据此证明；
（2）由等腰三角形的性质可得AE=CE=AC，OE⊥AC，利用三角函数的概念求出tan∠AOF的值，得到∠AOF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE=OA，据此求解；
（3）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，OC＝6，根据三角函数的概念可得CP，然后根据S阴影=S△OCP-S扇形AOC进行计算.
24．（2022·贵阳）如图，为的直径，是的切线，为切点，连接.垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接，.
（1）求证：；
（2）当平分时，求证：；
（3）在（2）的条件下，，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：如图，连接 为的切线，
（2）解：如图，连接OF，垂直平分
而
为等边三角形，
平分
（3）解：为等边三角形，
为等边三角形，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接CO，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据垂直的概念可得∠PEB=90°，由对顶角的性质得∠DPC=∠BPE，由等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，然后根据等角的余角相等进行证明；
（2）连接OF，根据垂直平分线的性质可得FO=FB，推出△BOF为等边三角形，得到∠FOB=∠FBO=60°，∠FCB=30°，根据角平分线的概念可得∠CBO=∠FBC=30°，则∠CBO=∠FCB，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）根据等边三角形的性质可得OF=OC=2，∠FOB=60°，根据平行线的性质可得∠OFC=∠FOB=60°，推出△OCF为等边三角形，得到CF=OF=2，∠COF=60°，根据三角函数的概念可得FE，然后根据S阴影=S扇形COF-S△COF进行计算.
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