高中数学：第一章 空间向量与立体几何 重点练习（含解析）

空间向量与立体几何
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
2．已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；
②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m；
③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则＝(　　)
A．－1 B．－11
C．－1或－11 D．－21
7．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）
A．2 B．
C．2 D．
8．在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是（ ）
A．四边形是菱形 B．直线与所成的角的余弦值是
C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面所成角的正弦值是
9．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当线段、的长度均最短时，（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．4 D．8
11．点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（ ）
A． B． C． D．
12．设空间直角坐标系中有、、、四个点，其坐标分别为、、、，下列说法正确的是（ ）
A．存在唯一的一个不过点、的平面，使得点和点到平面的距离相等
B．存在唯一的一个过点的平面，使得，
C．存在唯一的一个不过、、、的平面，使得，
D．存在唯一的一个过、点的平面使得直线与的夹角正弦值为
二、多选题
13．在空间直角坐标系中，平面的法向量，直线的方向向量为，则下列说法正确的是（ ）
A．轴一定与平面相交 B．平面一定经过点
C．若，则 D．若，则
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设，，，若，，AB=AC=AA1=1，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为
15．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=，各棱长均为1.则下列命题中正确的是（ ）
A．不是空间的一个基底 B．
C． D．BD⊥平面ACC1A1
16．如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当，时，点D到直线PQ的距离为
B．线段PQ的最小值为
C．平面平面BCD
D．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为
三、填空题
17．已知，，，．若，则实数k的值为______．
18．在平形六面体，其中，，，，，则的长为____________
19．正四棱柱中，与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为______________．
20．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．
21．二面角为，A，B是棱l上的两点，，分别在半平面内，，，且，，则的长_______________.
22．如图，在矩形ABCD中，，．将A，C分别沿BE，DF向上翻折至，则取最小值时，二面角的正切值是________．
四、解答题
23．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
24．在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
25．如图，在三棱柱，，，，.
(1)证明：⊥平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
26．如图，内接于，AB为的直径，，，，且平面ABC，E为AD的中点．
(1)求证：平面平面ABD；
(2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
(3)求点A到平面BCE的距离．
27．四棱锥中，平面平面，，，，，，，是中点．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)在侧棱上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
28．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M是线段EF的中点．
(1)求证：平面BDE，并求直线AM和平面BDE的距离；
(2)求二面角的大小；
(3)试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°．
29．如图甲所示，是梯形的高，，将梯形沿折起得到如图乙所示的四棱锥，使得．

（1）在棱上是否存在一点F，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）点E是线段上一动点，当直线与所成的角最小时，求平面与平面的夹角的余弦值．
参考答案：
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】C
【分析】根据空间向量的基本概念及性质，结合各选项中空间向量的描述判断正误即可.
【解析】A：零向量与它的相反向量相等，故错误；
B：将空间中的所有单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球面，故错误；
C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确；
D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误；
故选：C
2．已知三棱柱，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据空间向量的线性运算求解即可
【解析】解：在三棱柱，点为线段的中点，则
，
所以
，
故选：D
3．若：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.
【解析】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，
若，，是三个共面的非零向量，则，，不能作为空间的一个基底；
但若，，为空间的一个基底，则，，不共面，
所以，，是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件.
故选：B.
4．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，，可证明，进而可得，再由正三棱柱的性质可得，由线面垂直的判定定理可证明面，可得，即可求解.
【解析】如图：取的中点，连接，，
设，则，，
在中，，
在中，，
所以，
所以，
所以，
因为三棱柱是正三棱柱，
所以面，面，所以，
因为是等边三角形，所以，
因为，所以面，
因为面，所以，
因为，所以面，
因为面，所以，
所以与所成的角的大小是，
故选：C.
5．下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；
②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m；
③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①由空间向量基本定理判断；②由方向向量的定义判断；③由空间向量共面定理判断；④由法向量的定义判断.
【解析】①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，由空间向量基本定理知，正确；
②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m，由方向向量的定义知，正确；
③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面，由空间向量共面定理知，正确；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．由法向量的定义知，正确.
故选：D
6．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则＝(　　)
A．－1 B．－11
C．－1或－11 D．－21
【答案】C
【分析】先求出，由题得，即，解方程即得解.
【解析】，而，
即，解得或－11.
故选：C
【点睛】本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
7．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）
A．2 B．
C．2 D．
【答案】D
【分析】先作出P到AB的距离PE,再解三角形求出PE.
【解析】因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC.
由 ∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.
如图所示，过P作PH⊥DC于H.
∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH.
又PH⊥DC, ,∴PH⊥面ABCD,
在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，
所以线段PE即为所求．
以H为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
所以,∴
故选:D.
【点睛】方法点睛：
距离的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求值；
（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.
8．在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是（ ）
A．四边形是菱形 B．直线与所成的角的余弦值是
C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面所成角的正弦值是
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量法求出空间角，判断各选项．
【解析】分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，
，，，所以是平行四边形，由正方体知，因此为菱形，A正确；
，，
，B正确；
，设平面的一个法向量为，
由得：，取，则，即，
，
，
直线与平面所成的角正弦值是，C错；
平面的一法向量是，
，
平面与面所成角的所以的余弦值为，其正弦值为，D正确．
故选：C.
9．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当线段、的长度均最短时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可求得的值.
【解析】解：如图所示，因为，，
可得平面，直线，
当最短时，平面，且，
所以为的中心，为的中点，如图所示，
又由正四面体的棱长为1，所以，，
所以，
因为平面，所以，
所以中，，
所以
故选：A
10．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】可根据图象得出，然后将转化为，最后根据棱长为及即可得出结果.
【解析】由图象可知，，
则，
因为棱长为，，
所以，，
即的不同值的个数为，
故选：A
11．点M是棱长为3的正方体中棱AB的中点，，动点P在正方形（包括边界）内运动，且面DMN，则PC的长度范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法表示点坐标满足的关系式，进而求得长度的取值范围.
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
依题意，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设，，
,，
由于平面，所以，
则，，
，.
函数的开口向上，对称轴为，
所以在上递减，在上递增.
，，
，
所以长度的取值范围是.
故选：B
12．设空间直角坐标系中有、、、四个点，其坐标分别为、、、，下列说法正确的是（ ）
A．存在唯一的一个不过点、的平面，使得点和点到平面的距离相等
B．存在唯一的一个过点的平面，使得，
C．存在唯一的一个不过、、、的平面，使得，
D．存在唯一的一个过、点的平面使得直线与的夹角正弦值为
【答案】B
【解析】由平面或平面过线段的中点可判断A选项的正误；推导出以及、、、四点不共面，利用点且与垂直的平面有且只有一个以及可判断B选项的正误；在、的公垂线上的点作的垂面满足题意，可判断C选项的正误；设平面的法向量为，根据题意可得出关于、的方程组，判断方程组解的个数，进而可判断D选项的正误.
【解析】对于A选项，当平面或平面过线段的中点时，点和点到平面的距离相等，A选项错误；
对于B选项，，，，
，
，，设，则，
该方程组无解，所以，、、、四点不共面，则与异面，
而过点且与垂直的平面有且只有一个，
若，由于，则与共面，矛盾，所以，，B选项正确；
对于C选项，由于、异面，设为、的公垂线段，且，，
在直线（异于、）的任意一点作平面，使得，则，，
这样的平面有无数个，C选项错误；
对于D选项，设平面的一个法向量为，，，
由题意可得，
，
所以，，整理得，
，
即方程有两个不等的实数解，
所以，存在两个过、点的平面使得直线与的夹角正弦值为，D选项错误.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
二、多选题
13．在空间直角坐标系中，平面的法向量，直线的方向向量为，则下列说法正确的是（ ）
A．轴一定与平面相交 B．平面一定经过点
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【分析】A选项，设设轴的方向向量设为，通过计算可以得到两者一定相交；B选项直接可以作出判断；C选项通过观察发现，可以作出判断，D选项通过计算，可以得到或在平面上.
【解析】不妨设轴的方向向量设为，则，故轴一定与平面相交，A正确；平面不一定经过点，B错误；因为，即，故，C正确；因为，所以，所以或在平面上，故D错误.
故选：AC
14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设，，，若，，AB=AC=AA1=1，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】利用向量的线性运算可判断A的正误，利用数量积可判断BCD的正误.
【解析】A：
，
又，∴.
B：∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴.
对于C、D：，
，
所以D正确，C错误，
故选：ABD.
15．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=，各棱长均为1.则下列命题中正确的是（ ）
A．不是空间的一个基底 B．
C． D．BD⊥平面ACC1A1
【答案】ACD
【分析】由空间基底的概念可判断A；由空间向量夹角的概念可判断B；由运算可判断C；由线面垂直的判定可判断D.
【解析】对于A，由，所以向量共面，
所以不是空间的一个基底，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，故B错误；
对于C，
，
所以，故C正确；
对于D，连接交于点O，连接,
由题意可得四边形为菱形，，
所以，，
由可得BD⊥平面ACC1A1，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化为，以及对于空间位置关系的转化.
16．如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当，时，点D到直线PQ的距离为
B．线段PQ的最小值为
C．平面平面BCD
D．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为
【答案】BCD
【分析】易知，从而平面，进而有平面平面，即可判断C；建立坐标系，利用向量法可判断ACD
【解析】取的中点，连接，由题意可知：，
因为，所以，
又易知，
因为，，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，故C正确；
以为原点，分别为轴建立坐标系，
则，
当，时，，，
，，
所以点D到直线PQ的距离为，故A错误；
设，，由得，，
，
当时，，故B正确；
当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，
，，，，
设PQ与AD所成的角为，
则，
所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
17．已知，，，．若，则实数k的值为______．
【答案】##
【分析】算出、的坐标，然后可得答案.
【解析】因为，，
所以，
因为，所以，解得
故答案为：
18．在平形六面体，其中，，，，，则的长为____________
【答案】
【分析】首先设，，，然后利用，，表示，再结合数量积公式即可求解.
【解析】设，，，
因为六面体是平行六面体如下图：
所以 ，
所以，
由已知条件可知，，，，
与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，
所以，
即，故.
故答案为：.
19．正四棱柱中，与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为______________．
【答案】##0.75
【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值求出的长，进而求出异面直线的夹角的余弦值.
【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
因为棱柱为正四棱柱，设，，
则，
其中平面的法向量为，
设与平面所成角为，
则，
解得：，
所以，，
设异面直线与所成角为，
所以.
故答案为：
20．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，结合二面角的空间向量的坐标计算公式即可求出结果.
【解析】在平面内作，垂足为，
因为，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以，，，.
所以，，，.
设是平面的法向量，则
即
可取.
设是平面的法向量，则
即可取.
则，
由图可知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
故答案为：.
21．二面角为，A，B是棱l上的两点，，分别在半平面内，，，且，，则的长_______________.
【答案】4
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的性质及运算律计算作答.
【解析】依题意，，且有，而，
所以.
故答案为：4
22．如图，在矩形ABCD中，，．将A，C分别沿BE，DF向上翻折至，则取最小值时，二面角的正切值是________．
【答案】
【分析】通过图象特征建立空间直角坐标系，假设，确定取最小值时的坐标，再用空间向量计算夹角的方法算出二面角的余弦值，进而得到答案
【解析】解：取中点，中点，连接，，，，过作于，过作于，易得是等腰直角三角形，，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
由题意得，，
，
当且时，最小，结合和解得，此时最小，
所以，，
所以，
设平面和平面的法向量分别是，
则，令则，即，
令则，即，
设二面角的大小为，由图可知为锐角，
所以，所以，则，
故答案为：
四、解答题
23．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定定理即可证明；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，通过线面角相关公式进行计算即可.
（1）
如图，连接，
∵四边形是正方形，∴.
又平面，平面，∴，
∵平面，，
∴平面，
又平面，
∴
（2）
易知，，两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵，∴，，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，则，
令，得.设直线与平面所成角为，由图可知，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
24．在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形，可得线线平行，进而可证明线面平行.（2）根据空间向量，计算法向量，利用法向量的夹角求二面角.
（1）
证明：取的中点，连接，，
又是的中点，所以，且．
因为四边形是矩形，所以且，所以，且．
因为是的中点，所以，所以且，
所以四边形是平行四边形，故．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）
因为平面，四边形是矩形，所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）．
设，所以，．
因为，分别为，的中点，
所以，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
由即
令，则，，所以．
设平面的一个法向量为，
由即
令，则，，
所以．
所以．
由图知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
25．如图，在三棱柱，，，，.
(1)证明：⊥平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理证明，，从而可证⊥平面；（2）由题意建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标及向量坐标，求出与平面的法向量，利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值，从而可得正弦值.
(1)
证明：，，，
，
，而，
又，平面.
(2)
如图建系，其中，
则，，，
∴，，.
设平面与平面的一个法向量分别为，，
∴，
设二面角平面角为，所以
得.
【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理证明垂直，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
26．如图，内接于，AB为的直径，，，，且平面ABC，E为AD的中点．
(1)求证：平面平面ABD；
(2)求异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
(3)求点A到平面BCE的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面平面ABD.
（2）利用向量法求得异面直线BE与AC所成的角.
（3）利用向量法求得点A到平面BCE的距离.
（1）
依题意是圆的直径，所以，
由于平面，所以，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
设是平面的法向量，
则，故可设.
，
设是平面的法向量，
则，故可设，
，所以平面平面.
（2）
，
设直线与直线所成角为，，
则
（3）
，平面的法向量为，
，所以平面，
所以到平面的距离为.
27．四棱锥中，平面平面，，，，，，，是中点．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)在侧棱上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，用坐标法求两平面夹角余弦值；
（2）设，平面的法向量为，由平面，得，进而可得的值.
(1)
解：，是中点，
，且，
又平面平面，且平面平面，
，
所以如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，
令，则，即，
设平面的法向量，
则，
令，则，即，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
(2)
解：假设在侧棱上存在点，使得平面，此时，
，，
，
，
平面，
，即，
解得，
因此在侧棱上存在点，当时，可使得平面.
28．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M是线段EF的中点．
(1)求证：平面BDE，并求直线AM和平面BDE的距离；
(2)求二面角的大小；
(3)试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)；
(3)为线段的中点.
【分析】（1）只需证明，然后根据线面平行的判定定理即可证明结论；利用等积法可求出答案.
（2）证明，然后求的值即可.
（3）利用公式即可求出答案.
(1)
设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点，
又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE；
因为四边形为矩形，所以，
又因为正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，面面，
所以面，面，面，
所以，
又因为，，所以，
所以，
设点到面的距离为，
则由，得，
解得.
因为为的中点，所以点到面的距离即为点到面的距离，
又因为平面BDE，所以点到面的距离即为直线AM和平面BDE的距离，
故直线AM和平面BDE的距离为.
(2)
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
因为，所以面，
所以为平面的一个法向量，
因为，
，
所以，所以为面的一个法向量，
所以，所以与的夹角为.
即所求的二面角的大小为.
(3)
设则，
因为PF与BC所成的角是60°，
所以，
解得或(舍).
故为线段的中点.
29．如图甲所示，是梯形的高，，将梯形沿折起得到如图乙所示的四棱锥，使得．

（1）在棱上是否存在一点F，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）点E是线段上一动点，当直线与所成的角最小时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）存在，；（2）．
【分析】（1）过作交于，作交于，连接，易得平面，平面，从而得到平面平面，所以得到平面，而此时根据几何关系可以得到；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，，表示出与所成角为的余弦值，并求出最小时的值，从而得到各点坐标，再求出平面和平面的法向量，根据两个法向量之间的夹角公式，求得答案.
【解析】解:（1）存在点，使得平面，此时，理由如下:
依题，，，，
即，所以，
因为，平面，平面，
,所以平面，
所以，所以，
过作交于，作交于，连接，
因为，，
所以，所以，
而，所以有
，平面，平面，
所以平面,
，平面，平面，
所以平面,
平面，，
所以平面平面，而平面
所以平面.
故存在点，使得平面，此时
（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
，，，，
设，,
即，所以，
，,
设直线与所成角为
则
,
令，则，
,
令，则，，
当时，取最大值，
此时直线与所成的角最小.此时.
所以，又因为，，,
所以，，,
设平面法向量分别为,
则，即,
取得平面的法向量为，
设平面法向量为,
则，即,
取得平面法向量为,
所以，
由图可知，二面角为钝二面角，则其余弦值为.
【点睛】本题考查线面平行的判定，面面平行的判定和性质，利用空间向量表示线线角和面面角，对计算的要求较高，属于较难题.