人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2《双曲线》能力探究 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
人教A版同步教材名师课件
双曲线
---能力探究
求双曲线的标准方程
1.定义法求双曲线的标准方程
使用定义法求双曲线的轨迹方程时应注意:若只有动点到两定点的距离之差为常数(此常数小于,但不是距离之差的绝对值为常数,则动点的轨迹只是双曲线的一支.
2.用待定系数法求双曲线的标准方程的思路
推测解释能力、分析计算能力
推测解释能力、分析计算能力
定位置
设方程
寻关系
得方程
根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,若不能确定,则需分类讨论
根据焦点位置,设方程为或焦点位置不确定时,亦可设为
根据已知条件列出关于的方程组
解方程组,将代入所设方程即为所求

推测解释能力、分析计算能力
3.若,则是该方程表示双曲线的充要条件.
4.利用共渐近线求双曲线的标准方程
利用共渐近线的双曲线求双曲线的标准方程时,与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以设为;与双曲线,有共同渐近线的双曲线方程可以设为.其解法实质上仍然是待定系数法.
典型例题
典例1-1 根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程:(1)过点,离心率;(2)、是双曲线的左、右焦点,是双曲线上一点,且,且离心率为2.
(1)若双曲线的实轴在轴上,则设为所求双曲线的标准方程.由得①.由点在双曲线上得②.
由,结合①②得.
解析
数学运算
典型例题
典例1-1 根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程:(1)过点,离心率;(2)、是双曲线的左、右焦点,是双曲线上一点,且,且离心率为2.
若双曲线的实轴在轴上,则设为所求双曲线的标准方程.同理有,解得(不合题意).
故所求双曲线的标准方程为.
解析
数学运算
典型例题
典例1-1 根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程:(1)过点,离心率;(2)、是双曲线的左、右焦点,是双曲线上一点,且,且离心率为2.
(2)设双曲线的标准方程为,由题意知,由双曲线的定义,得||.
解析
数学运算
典型例题
典例1-2 求与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线的标准方程.
利用共渐近线的双曲线设定双曲线的标准方程解题.
思路
数学运算、数学建模
根据与已知双曲线共渐近线的双曲线方程,可设双曲线方程为,代入点的坐标求得的值即可求得双曲线的标准方程.
设双曲线方程为,把点的坐标代入,解得,
∴,即双曲线的标准方程为.
解析
简单问题解决能力
双曲线的定义、性质及应用
1.与双曲线定义相关的问题的解法
利用双曲线的定义解决有关问题,一是要注意定义条件||的变形使用,特别是与间的关系;二是要与三角形知识相结合,如勾股定理、余弦定理、正弦定理等,同时要注意整体思想的应用.
简单问题解决能力
2.双曲线的焦点三角形面积公式
.
设,双曲线方程为,
因为在双曲线上,由定义||,
在焦点三角形中,由余弦定理得
,
简单问题解决能力
3.求解与双曲线有关的应用题,首先要建立适当的平面直角坐标系,设出相应点的坐标,然后再将实际问题中的条件借助坐标系用教学语言表述,转化为数学问题求解.
典型例题
典例2-1 已知双曲线的两个焦点,是双曲线上一点,且,,则双曲线的标准方程为____________.
数学运算
本题解决与双曲线定义有关的问题.由题意可设双曲线的标准方程为.由,得.根据勾股定理得,即.根据双曲线定义有.两边平方并代入得,解得,从而,所以双曲线的标准方程为.
解析
典型例题
典例2-2 设、为双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,则的面积为_______.
数学运算、逻辑推理
本题主要考查双曲线的简单性质,灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系进行推理运算是解题的关键.
由三角形面积公式知,欲求,应先求出.又点在双曲线上,因此||,由于涉及,因此可考虑余弦定理.
解析
典型例题
典例2-2 设、为双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,则的面积为_______.
数学运算、逻辑推理
方法一:由双曲线定义,得||,
∴.
∴.
由双曲线方程,得,则,即在Rt中,.
∴.
解析
典型例题
典例2-2 设、为双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,则的面积为_______.
数学运算、逻辑推理
方法二:由条件易知,双曲线的焦点坐标为,,设,则.与联立,消去,得.
解析
1
推测解释能力、分析计算能力
与离心率、渐近线有关的问题
1.由双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程
由双曲线的离心率、焦点、焦距、顶点、实轴、虚轴等简单几何性质,求双曲线的渐近线方程是双曲线内容中常见的题型,解题时应注意两点:一是焦点位置,以确保渐近线的形式,当焦点位置不能确定时要注意分类讨论;二是由已知的双曲线简单几何性质找到、、之间的关系,求出或,从而得到渐近线方程.
推测解释能力、分析计算能力
2.离心率与渐近线之间的关系
(1).(2).(3).
3.构造齐次方程(或不等式)求双曲线的离心率(取值范围)的一般方法
根据条件及几何图形建立满足的关系式,化为的齐次方程(或不等式),列式时常用代替式子中的,然后将等式(或不等式)两边同时除以的次方(一般除以或),从而利用转化为含的方程(或不等式),即可得解,同时要注意.
典型例题
典例3-1 已知分别是双曲线的左、右焦点,过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点,若为锐角,则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
数学运算、逻辑推理
将为锐角转化为并进行正确计算是解决此题的关键.
双曲线的渐近线方程为,由双曲线的对称性不妨设过点与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为,
解析
典型例题
典例3-1 已知分别是双曲线的左、右焦点,过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点,若为锐角,则双曲线离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
数学运算、逻辑推理
与联立,得交点为锐角,∴,即有,即,即.
解析
A
典型例题
典例3-2 双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
数学运算、逻辑推理
根据离心率得、的关系,进而根据得、的关系,最后得到渐近线方程.
∵.由题意知焦点在轴上,∴渐近线方程为,即.
解析
A
综合问题解决能力
直线与双曲线的位置关系
1.直线与双曲线相交问题
设直线交双曲线于点两点,则
同理可得,
这里的求法通常使用韦达定理,需作以下变形:
综合问题解决能力
2.双曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率.
涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化.
典型例题
典例4 (1)求直线被双曲线截得的弦长;
(2)求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
数学抽象、数学建模
根据直线与双曲线相交的弦长公式求解,中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
思路
(1)由得得
设方程的解为、,则有.得.
解析
典型例题
典例4 (1)求直线被双曲线截得的弦长;
(2)求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
数学抽象、数学建模
(2)方法一:若该直线的斜率不存在时,与双曲线无交点,则设直线的方程为,它被双曲线截得的弦为,对应的中点为,
由得
解析
典型例题
典例4 (1)求直线被双曲线截得的弦长;
(2)求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
数学抽象、数学建模
设方程的解为、,则,
∴,且,
,得:或.
解析
典型例题
典例4 (1)求直线被双曲线截得的弦长;
(2)求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.
数学抽象、数学建模
方法二:设弦的两个端点坐标为,弦中点为,则得:,即,即(图像的一部分).
解析