人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.2《双曲线的简单几何性质---第二课时》名师 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
（1)焦点在轴上：
（2)焦点在轴上：
双曲线的标准方程：
复习引入
关于轴、轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
关于轴、轴、原点对称
渐进线
.
.
y
1
x
O
x
y
O
.
.
探究新知
人教A版同步教材名师课件
双曲线的简单几何性质
---第二课时
例1、双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m．试选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程（精确到1m）.
典例讲解
o
已知条件：
它的最小半
径为12m,
上口半径为13m,下口
半径为25m,
高为55m．
PC=13
OA=12
QB=25
PQ=55
解：如图所示,在冷却塔的轴截面上,建立直角坐标系xOy,使小圆的直径AA′在x轴上,圆心与原点重合．这时,上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴,且
|CC′|=13×2
|BB′|=25×2
典例讲解
典例讲解
由方程，得= （负值舍去）.
解：根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系,使小圆的直径在轴上,圆心与原点重合.这时,上、下口的直径, 都平行于轴,且13×2, =25×2设双曲线的方程为,点的坐标为（13,）,则点B的坐标为（25,-55）.
因为直径是实轴,所以=12.又, 两点都在双曲线上,所以
典例讲解
解方程，得≈25（负值舍去）
因此所求双曲线的方程为
化简
代入方程,
典例讲解
例2、动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求动点的轨迹.
设是点到直线的距离,根据题意,动点的轨迹就是点的集合
由此得
将上式两边平方,并化简,得,即
所以,点的轨迹是焦点在轴上,实轴长为6、虚轴长为2的双曲线.
解析
比较例2和第113页的例6，你有什么新发现？
典例思考
例2.点到定点的距离和它到直线的距离比是常数,求点的轨迹.
例6.点到定点的距离和它到直线的距离比是常数,求点的轨迹.
——双曲线
——椭圆
新发现：
典例思考
双曲线 (C>1)
椭圆 (0典例讲解
例3、设和为双曲线的两个焦点,若是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )
因为是正三角形的三个顶点,
所以,即
即所以
所以双曲线的离心率为.选.
解析

典例讲解
(1)将代入双曲线中得①所以
解得且,(4分)
又双曲线的离心率
所以且.(6分)
例4、设双曲线与直线相交于两个不同的点,.
(1)求双曲线的离心率的取值范围.
(2)设直线与轴的交点为,且,求的值.
解析
典例讲解
例4、 (2)设直线与轴的交点为,且,求的值.
(2)设,因为为直线与轴的交点,所以因为,所以.
由此得,(8分)
由于都是方程①的根,且.
由根与系数的关系,得
消去,得(10分)
由得.(12分)
解析
典例变式
因为,所以双曲线C的方程为,
联立消去得.
设两个交点为
则, ,
于是
若本例中,,求与相交所得的弦长.
解析
讨论直线与双曲线的位置关系时,一般化为关于(或)的一元二次方程,这时首先要看二次项的系数是否等于.当二次项系数等于时,就转化成(或)的一元一次方程,只有一个解,这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项的系数不为时,利用根的判别式,判断直线与双曲线的位置关系．
方法归纳
典例讲解
例5、已知双曲线 及直线 .
(1)若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；
(2)若直线与双曲线交于,两点,是坐标原点,且的面积为,求实数的值.
[思路探究]直线方程与双曲线方程联立方程组
判断“”与“0”的关系
直线与双曲线的位置关系.
解析
典例讲解
(1)联立方程组消去并整理得
∴直线与双曲线有两个不同的交点，
则
解得
∴若与有两个不同交点，实数的取值范围为.
例5、已知双曲线 及直线 .
(1)若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；
解析
典例讲解
(2)设对于(1)中的方程
由根与系数的关系,得
又∵点到直线的距离,
即
解得或实数的值为或.
(2)若直线与双曲线交于,两点,是坐标原点,且的面积为,求实数的值.
解析
方法归纳
直线与双曲线位置关系的判断方法
(1)方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为的形式，在的情况下考察方程的判别式.
①时，直线与双曲线有两个不同的公共点.
②时，直线与双曲线只有一个公共点.
③时，直线与双曲线没有公共点.
当时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.
方法归纳
(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.
变式训练
1、已知双曲线，求过点,且被点平分的双曲线的弦所在直线的方程.
法一:由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为
即由
消去,整理得
设为的中点，
即
解得
当时,满足,符合题意，
所求直线的方程为,即.
解析
变式训练
法二:设因为,均在双曲线上，
所以，两式相减，得
所以
因为点平分弦，所以， .
所以
经验证,该直线存在．
所以所求直线的方程为即
1、已知双曲线，求过点,且被点平分的双曲线的弦所在直线的方程.
解析
直线与双曲线的位置关系,可以通过由直线方程与双曲线方程得到的方程来判断,首先看二次项系数是否为零,如果不为零,再利用Δ来判断直线与双曲线的关系．
素养提炼
1、双曲线的第二定义
2、弦长公式
3、直线和双曲线的位置关系
归纳小结
P127 习题3.2:5、6、7
作 业