人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.1《双曲线》知识探究 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
人教A版同步教材名师课件
双曲线
---知识探究
探究点1 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程
焦点
、、的关系
要点辨析
1.双曲线的标准方程是指在“标准”条件下的方程,即使得双曲线的焦点在坐标轴上,且对称中心为原点的双曲线方程.
2.确定双曲线标准方程的类型
焦点的位置是双曲线的定位条件,它决定了双曲线标准方程的类型. “焦点跟着正项走”,即若的系数为正,则焦点在轴上;若的系数为正,则焦点在轴上.
要点辨析
3.双曲线标准方程中的参数的几何意义
在双曲线的标准方程中,因为三个量满足,所以长度分别为的三条线段恰好构成一个直角三角形,且长度为的线段是斜边,如图所示:
典例1 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1),经过点;
(2)与双曲线有相同的焦点,且经过点.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
本题利用双曲线的基础知识解题,根据焦点的不同位置选取标准方程运算求解.第(1)问利用定义法分析计算双曲线的标准方程,第(2)问利用待定系数法分析计算双曲线的标准方程.
思路
典例1 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1),经过点;
(2)与双曲线有相同的焦点,且经过点.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
(1)当焦点在轴上时,设所求标准方程为,把点的坐标代入,得,不符合题意;当焦点在轴上时,设所求标准方程为,把点的坐标代入,得.故所求双曲线的标准方程为.
典例1 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1),经过点;
(2)与双曲线有相同的焦点,且经过点.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
(2)方法一:∵焦点相同,∴设所求双曲线的标准方程为,
∴,即.①
∵双曲线经过点.②
由①②得双曲线的标准方程为.
典例1 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1),经过点;
(2)与双曲线有相同的焦点,且经过点.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
方法二:设所求双曲线的方程为.
∵双曲线过点,
解得或(舍去).
∴双曲线的标准方程为.
探究点2 双曲线定义的应用
双曲线的定义:
文字语言 平面内与两个定点,、的距离的差的绝对值等于非零常数(小于的点的轨迹.
符号语言 ||常数(常数
焦点 定点
焦距 两焦点间的距离
要点辨析
求双曲线中的焦点面积的方法:
(1)①根据双曲线的定义求出||;②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式;③通过配方,求出的值;④利用公式求得面积.
(2)利用公式求得面积.
典例2 中,,点在双曲线上,则( )
A. B. C. D.
分析计算能力
典型例题
解析
首先分析题目,根据双曲线的定义,可得;接下来,根据正弦定理可得,再结合双曲线的定义及性质,即可解答此题.在中,(其中为外接圆的半径).∴.又∵,∴.
D
探究点3 与双曲线有关的轨迹问题
求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:
(1)列出等量关系,化简得到方程.
(2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程.
要点辨析
巧设双曲线方程的方法:
(1)当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线的方程为.
(2)常见双曲线方程的设法.
①渐近线为的双曲线方程可设为;如果两条渐近线的方程为,那么双曲线的方程可设为.
要点辨析
②与双曲线或共渐近线的双曲线方程可设为或.
③与双曲线离心率相等的双曲线方程可设为或,这是因为由离心率不能确定焦点位置.
④与椭圆共焦点的双曲线方程可设为.
典例3 如图所示,在中,已知,且三个内角、、满足,建立适当的坐标系,求顶点的轨迹方程.
简单问题解决能力
典型例题
思路
利用坐标法求解双曲线的标准方程.
解析
以边所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,
建立平面直角坐标系,如图所示,则.
由正弦定理,得(为的外接圆半径).
∵,
典例3 如图所示,在中,已知,且三个内角、、满足,建立适当的坐标系,求顶点的轨迹方程.
简单问题解决能力
典型例题
解析
∴,即.
由双曲线的定义知,点的轨迹为双曲线的右支(除去与轴的交点).
由题意,设所求轨迹方程为,.即所求轨迹方程为.
探究点4 双曲线的几何性质
标准 方程
图形
性质 范围 或 或
探究点4 双曲线的几何性质
标准 方程
性质 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
轴 实轴长,虚轴长
离心率
渐近线
要点辨析
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤:
(1)把双曲线方程化为标准形式.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定、的值.
(3)由求出值,从而写出双曲线的几何性质.
典例4 求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
双曲线的方程化为标准形式是,
又双曲线的焦点在轴上,
∴顶点坐标为,焦点坐标为,
实轴长,虚轴长,离心率,渐近线方程为.
思路
本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的几何性质的应用.通过分析计算即可求出答案.
探究点5 由几何性质求双曲线的标准方程
1.由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线的方程为.
2.常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为的双曲线方程可设为;如果两条渐近线的方程为,那么双曲线的方程可设为.
探究点5 由几何性质求双曲线的标准方程
(2)与双曲线或共渐近线的双曲线方程可设为或.
(3)与双曲线离心率相等的双曲线方程可设为或,这是因为由离心率不能确定焦点位置.
典例5 求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在轴上,虚轴长为8,离心率为;(2)已知双曲线的渐近线方程为,且双曲线过点.
综合问题解决能力
典型例题
思路
本题根据双曲线的几何性质综合解题,由双曲线的渐近线可以设定方程形式.再通过推理分析可得出、的值.
解析
(1)设所求双曲线的标准方程为,则,从而,代入,得,故双曲线的标准方程为.
典例5 求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在轴上,虚轴长为8,离心率为;(2)已知双曲线的渐近线方程为,且双曲线过点.
综合问题解决能力
典型例题
解析
(2)设所求双曲线的标准方程为,由题意得,
,解得,
所以,所求双曲线的标准方程为.
探究点6 求双曲线的离心率
1.双曲线离心率的公式:.
2.求双曲线离心率的方法
(1)若可求得、,则直接利用得解.
(2)若已知,可直接利用得解.
(3)若得到的是关于的齐次方程为常数,且,则转化为关于的方程求解.
典例6 在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,求其离心率的值.
分析计算能力
典型例题
思路
本题利用点到直线的距离公式分析计算出参数的值,从而得到离心率.
解析
因为双曲线的右焦点到渐近线,即的距离为,所以,因此,所以离心率.
探究点7 等轴双曲线
等轴双曲线:,当时称双曲线为等轴双曲线.
等轴双曲线的特点:
(1);
(2)离心率;
(3)两渐近线互相垂直,分别为;(4)方程.
要点辨析
等轴双曲线的特征是,其方程可以设为.当时,双曲线的焦点在轴上;当时,双曲线的焦点在轴上.
典例7 双曲线与椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线方程为,则双曲线的方程为( )
A. B.
C. D.
推测解释能力、分析计算能力
典型例题
解析
本题根据椭圆的焦点位置设定等轴双曲线的方程.
设焦点,又.
D
探究点8 直线与双曲线的位置关系
将与联立消去得一元方程.
的取值 位置关系 交点个数
时 相交 只有一个交点
且 有两个交点
且 相切 只有一个交点
且 相离 没有公共点
要点辨析
已知直线与双曲线的位置关系求参数的值或取值范围时:
(1)联立方程消元后用判别式、根与系数的关系求解.
(2)数形结合求解,注意平行于双曲线渐近线的直线与双曲线只有一个公共点.
典例8 直线与双曲线的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
简单问题解决能力
典型例题
解析
本题考查直线与双曲线的位置关系,属于简单题.可以通过联立直线与双曲线方程,判断方程组解的个数来判断交点个数,也可以直接进行观察图象来判断交点个数.
方法一:联立直线与双曲线的方程,得方程组无解,说明直线与双曲线没有交点.
典例8 直线与双曲线的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
简单问题解决能力
典型例题
解析
方法二:观察可知直线是双曲线的一条渐近线,因此交点个数为0.
A