人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.1《双曲线的简单几何性质---第一课时》名师 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
回顾椭圆的几何性质
双曲线的几何性质
类比椭圆,探讨双曲线的几何性质:对称性、顶点、范围、离心率.
复习引入
方程
图形
范围
对称性
顶点
离心率
关于轴、轴、原点对称
复习引入
人教A版同步教材名师课件
双曲线的简单几何性质
---第一课时
学习目标
学 习 目 标 核心素养
双曲线的简单几何性质 直观想象
有关双曲线的计算、证明 数学运算
逻辑推理
直线与双曲线的位置关系 数学运算
逻辑推理
学习目标
学习目标:
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．
学科核心素养:
1.通过学习双曲线的几何性质,培养学生的直观想象、数学运算核心素养．
2.借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用,提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.
冷却通风塔
探究新知
如何控制双曲线张口的大小？
探究新知
问题1： 类比椭圆几何性质的研究方法,探讨双曲线的对称性,顶点,范围吗？
探究新知
轴、轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心。
1、对称性
以代方程不变,故图像关于 轴对称；
o
以代方程不变,故图像关于 轴对称；
以代且以代方程不变,故图像关于 对称
原点
一、探究双曲线的简单几何性质
探究新知
2、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点
o
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线
（3）
探究新知
一、探究双曲线的简单几何性质
（2）如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为，叫做实轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为，叫做双曲线的虚轴长
3、范围
探究新知
一、探究双曲线的简单几何性质
问题：如图,你能求出矩形对角线所在的直线方程吗？
o
探究新知
一、探究双曲线的简单几何性质
4、渐近线
作出四条直线
探究新知
双曲线的各支向远处延伸时，与这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.
也就是说,双曲线与它的渐近线无限接近,但永远不相交.
问题3：你能求出等轴双曲线的渐近线方程吗？
等轴双曲线的渐近线.
由几何画板实验可以看到
4、渐近线
利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图
画矩形
画渐进线
画双曲线的草图
问题4：你知道渐近线的作用吗？
探究新知
焦点在轴上的双曲线草图画法
探究新知
5、离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率
是表示双曲线开口大小的一个量,越大开口越大!
(2)e的范围：∵∴
(3)e的含义：
问题6：你知道离心率与, 有什么关系吗？
问题5：你知道离心率刻画了双曲线的什么几何特征吗？
探究新知
也增大
增大时，渐近线与实轴的夹角增大
关于轴、轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
关于轴、轴、原点对称
渐进线
.
.
y
1
x
O
x
y
O
.
.
探究新知
例1、求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
把方程化为标准方程,
可得实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标为、,
离心率,
渐近线方程为.
典例讲解
解析
由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤
方法归纳
变式训练
双曲线方程化为,所以,
焦点在轴上,.
故焦点坐标是顶点坐标是,
离心率，渐近线方程是.
1.双曲线的焦点坐标是____________,顶点坐标是_________, 离心率等于___________, 渐近线方程是__________.
解析
典例讲解
(1)设所求双曲线的标准方程为,
由题意知,,
从而,,代入,
得,
故双曲线的标准方程为.
例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，虚轴长为，离心率为;
(2)与双曲线有公共渐近线,且过点.
解析
典例讲解
(2)设与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为
，
将点代入双曲线方程,得
所以双曲线的标准方程为.
例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，虚轴长为，离心率为;
(2)与双曲线有公共渐近线,且过点.
解析
(1)求双曲线的标准方程的方法
①解决此类问题的常用方法是
先定型(焦点在哪个轴上),
再定量(确定,的值)．
要特别注意的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆．
②如果已知双曲线的方程为标准式,但不知焦点所处的位置,
也可把双曲线方程设为(,同号),
然后由条件求,.
方法归纳
方法归纳
(2)共渐近线的双曲线标准方程的求法
与双曲线具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为,然后再结合其他条件求出的值即可得到双曲线方程.
变式训练
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)与椭圆有公共焦点,且离心率;
(1)由椭圆方程,知长半轴长为3,短半轴长为2,
半焦距为因此双曲线的焦点为, .
设双曲线方程为,
由已知条件,有解得
所以双曲线的标准方程为
解析
变式训练
(2)设以直线为渐近线的双曲线方程为
当时, 所以.
当时, ,所以.
所以双曲线的标准方程为或.
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(2)两顶点间的距离为,渐近线方程为.
解析
典例讲解
例3、(1)(全国卷Ⅱ)已知,是双曲线的左,右焦点,点在上，与轴垂直,则的离心率为( )
(1)设,将代入双曲线方程，得,
所以,所以.
因为,
所以,
所以,所以.故选.
解析
典例讲解
(2)将圆的方程配方,得.
双曲线的渐近线方程为.
由于双曲线的渐近线
与圆有公共点,所以
又,
所以,即 ,所以离心率的取值范围为.
例3、(2)已知双曲线的渐近线与圆有公共点,则该双曲线离心率的取值范围是____________.
解析
方法归纳
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知,可直接利用求解，
若已知可利用求解.
(2)方程法：若无法求出的具体值，但根据条件可确定之间的关系，
可通过,将关系式转化为关于，的齐次方程，借助于 ，
转化为关于的次方程求解.
2.直线与双曲线的位置关系,可以通过由直线方程与双曲线方程得到的方程来判断,首先看二次项系数是否为零,如果不为零,再利用Δ来判断直线与双曲线的关系．
素养提炼
1.渐近线是双曲线特有的性质,两方程联系密切,把双曲线的标准方程右边的常数换为,就是渐近线方程.反之由渐近线方程变为,再结合其他条件求得就可得双曲线方程.
素养提炼
3.离心率的几何意义
由等式,得
因此越大, 也越大,即渐近线的斜率的绝对值越大,这时双曲线的形状就越陡,由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔.
当堂练习
1.已知定点,,在平面内满足下列条件的动点的轨迹中为双曲线的是( )
,根据双曲线的定义知选.
2.已知双曲线的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )
由题意知,解得,故.
解析
解析
当堂练习
由焦点坐标,知,由,可得,
所以,
则双曲线的标准方程为.
3.已知双曲线的一个焦点为,且离心率为, 则双曲线的标准方程为____________.
解析
当堂练习
4.过双曲线的左焦点,作倾斜角为的直线与双曲线交于,两点,则____________.
双曲线的左焦点为设, ,
方程为,
即,由得
则.
∴.
解析
3
当堂练习
5.直线与双曲线相交于，两点,若点为线段的中点,则直线的方程是___________.
设,,直线的斜率为,易知存在且，
则两式相减，
得
又∵点为线段的中点,
∴, .代入，得,
∴因此直线的方程是
即.
解析
关于轴、轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
关于轴、轴、原点对称
渐进线
.
.
y
2
x
O
x
y
O
.
F2
.
归纳小结
1.教材61页练习1 2 3
2.思考：双曲线确定则渐近线是确定的,反之,渐进线确定则双曲线确定吗？
作 业