人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2.1《双曲线及其标准方程》名师课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
椭圆的定义是什么？
平面内与两定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.
类比椭圆定义探究:
平面内与两定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？
点的轨迹是椭圆;
若,点的轨迹是线段;
若,点的轨迹不存在.
复习引入
人教A版同步教材名师课件
双曲线及其标准方程
学习目标
学 习 目 标 核心素养
双曲线的定义 数学抽象
双曲线的标准方程 数学抽象
双曲线的焦点、焦距的概念 数学抽象
用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题 数学运算
学习目标
学习目标:
1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
学科核心素养:
1.通过双曲线概念的学习,培养学生的数学抽象的核心素养．
2.通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习,提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.
探究新知
做下面一个实验．
(1)取一条拉链,拉开一部分．
(2)在拉开的两边各选择一点,分别固定在点上．
(3)把笔尖放在处,随着拉链的拉开或闭拢,画出一条曲线．
试观察这是一条什么样的曲线？点在运动过程中满足什么几何条件？
②如图(B),
上面两条合起来叫做双曲线
由①②可得:
(差的绝对值)
①如图(A),
探究新知
① 两个定点——双曲线的焦点.
② ——焦距.
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
类比椭圆的定义,你能给出双曲线的定义吗？
思考:
(1)若,则轨迹是什么？
(2)若,则轨迹是什么？
(3)若,则轨迹是什么？
(1)两条射线
(2)不表示任何轨迹
(3)线段的垂直平分线
探究新知
生活中的双曲线
探究新知
你能类比椭圆标准方程的建立过程,建立双曲线的标准方程吗？
(1)建系
以所在的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系.
(2)设点
.
(3)限制条件
设,则.
探究新知
探究新知
类比建立椭圆标准方程的化简过程,化简(1),得
由定义可知,双曲线就是集合
因为
所以
探究新知
由双曲线的定义可知,
类比椭圆标准方程的建立过程,
我们令其中
代入上式,得
两边同除以得
探究新知
如图,双曲线的焦点分别是
的意义同上,
这时双曲线的标准方程是
类比焦点在轴上的椭圆标准方程,
探究新知
双曲线的方程
(1)方程用“”连接
(2)分母是但的大小不定.
(3)
(4)如果的系数为正,则焦点落在轴上;如果的系数为正,则焦点落在 轴上.
思考:双曲线的焦点位置和方程形式有什么对应关系？
探究新知
典例讲解
例1、求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1),经过点,焦点在轴上;
(2)与双曲线有相同的焦点,且经过点;
(1)因为双曲线的焦点在轴上,所以可设双曲线的标准方程为.
由题设知, ,且点在双曲线上,
所以
解得, .
故所求双曲线的标准方程为.
解析
典例讲解
(2)因为焦点相同,
所以设所求双曲线的标准方程为,
所以,即.①
因为双曲线经过点,所以.②
由①②得, ,
所以双曲线的标准方程为.
例1、求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1),经过点,焦点在轴上;
(2)与双曲线有相同的焦点,且经过点;
解析
求双曲线的标准方程通常采用待定系数法,步骤归结如下:
求双曲线的标准方程的步骤
方法归纳
变式训练
1.根据下列条件,求双曲线的标准方程
(1)与椭圆有共同的焦点,且过点;
(2)经过点, .
(1)椭圆的焦点坐标为, ,
故可设双曲线的方程为.
由题意,知解得
故双曲线的方程为.
解析
变式训练
(2)设双曲线的方程为,
因为双曲线经过点, ,
所以解得
所以所求双曲线的标准方程为.
1.根据下列条件,求双曲线的标准方程
(1)与椭圆有共同的焦点,且过点;
(2)经过点, .
解析
典例讲解
例2、设为双曲线上的一点, 是该双曲线的两个焦点,若求的面积.
由已知得.又由双曲线的定义得,
因为所以, .
又,
由余弦定理,得
所以为直角三角形.
解析
典例变式
若将“”改为“ ”,求的面积.
由双曲线方程为,
可知
因为,
则
.
所以为直角三角形.
所以
解析
方法归纳
双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据,在应用时,一是注意条件的使用,二是注意与三角形知识相结合,经常利用正、余弦定理,同时要注意整体运算思想的应用.
变式训练
2.(1)若双曲线上的一点到它的右焦点的距离为,
则点到它的左焦点的距离是( )
或
C
由双曲线的定义得,
所以,所以或.
解析
变式训练
(2)由双曲线方程知,
不妨设
由双曲线定义得.
两边平方得
即
即,所以.
2.(2)已知双曲线, 、是其两个焦点,点在双曲线上.若,求的面积.
解析
例3、动圆与圆外切,且与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程．
典例讲解
设动圆半径为,因为圆与圆外切,且与圆内切,
所以
所以.
所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支,
且有,
所以所求轨迹方程为.
解析
动圆与圆和圆均外切,求动圆圆心的轨迹方程．
典例变式
如图,设动圆半径为,根据两圆外切的条件,
得
则.
这表明动点与两定点的距离的差是常数.
根据双曲线的定义,动点的轨迹为双曲线的右支
(点与的距离大,与的距离小),
这里则,
设点的坐标为,则其轨迹方程为.
解析
(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形,定位)．
(2)根据已知条件确定参数的值(定参)．
(3)写出轨迹方程并下结论(定论)．
用定义法求轨迹方程的一般步骤
方法归纳
变式训练
3.(1)若动点到的距离与它到的距离的差等于,则点的轨迹方程是( )
(1) 由双曲线的定义得,
点的轨迹是双曲线的一支.
由已知得所以.
故点的轨迹方程为,因此选.
解析
变式训练
(2)以边所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,
建立平面直角坐标系如图所示,
则
由正弦定理,得(为的外接圆半径).
因为,所以,即,
从而有
所以,
所以顶点的轨迹方程为.
3.(2)如图,在中,已知,且三内角满足,建立适当的坐标系,求顶点的轨迹方程.
解析
(2)焦点的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型,若的系数为正,则焦点在轴上,若的系数为正,则焦点在轴上．
1．对双曲线标准方程的三点说明
(1)标准方程中两个参数和,是双曲线的定形条件,确定了其值,方程也即确定．并且有,与椭圆中相区别．
素养提炼
素养提炼
(3)在双曲线的标准方程中,因为三个量满足,所以长度分别为的三条线段恰好构成一个直角三角形,且长度为的线段是斜边,如图所示.
素养提炼
2.对双曲线定义的理解
设为双曲线上的任意一点,左、右焦点分别为.若点在双曲线的右支上,则;若点在双曲线的左支上,则, .
因此得到,
这与椭圆的定义中是不同的.
注意:双曲线定义中不要漏了绝对值符号,当时表示两条射线.
素养提炼
(1)当双曲线的焦点所在坐标轴不易确定时可以将其设为将其化为标准方程,即因此,当时,表示焦点在轴上的双曲线;当时,表示焦点在轴上的双曲线.
3.双曲线方程的其他形式
素养提炼
(2)共焦点双曲线方程
与双曲线有公共焦点的双曲线的方程为;
与双曲线有公共焦点的双曲线的方程为.
当堂练习
1.动点到点的距离与点的距离之差为,则点的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线
D
由已知,所以点的轨迹是一条
以为端点的射线.
解析
当堂练习
2.已知,则“”是“方程表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
C
方程表示双曲线,必有;
当时,方程表示双曲线,
所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件.
解析
当堂练习
3.已知双曲线方程为,焦距为,则的值为__________.
若焦点在轴上,则方程可化为
所以解得;
若焦点在轴上,则方程可化为,
所以即.
综上所述,的值为或.
解析
当堂练习
4.已知,分别为双曲线的左、右焦点,点在上,,则等于__________.
在中,
,
即解得.
解析
当堂练习
5.已知双曲线与椭圆有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为,求双曲线方程.
因为椭圆的焦点为
点的坐标为或
设双曲线的标准方程为,
所以解得
所以所求的双曲线的标准方程为.
解析
1、双曲线的定义
2、双曲线的标准方程
归纳小结
归纳小结
曲线 椭圆 双曲线
定义
标准方程
3.双曲线与椭圆的比较
归纳小结
曲线 椭圆 双曲线
图形特征 封闭的连续曲线 分两支,不封闭,不连续
根据标准方程确定的方法 以大小分(如,则,) 以正负分(如 , )
,的关系 (最大)
(最大)
P121:1、2、4
作 业