人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价：3.2.1双曲线及其标准方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价：3.2.1双曲线及其标准方程（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 561.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-21 11:58:28 | ||
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文档简介
二十三 双曲线及其标准方程
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5,0),则a的值为 ( )
A.9 B.6 C.5 D.3
2.若k∈R,则“k>5”是“方程-=1表示双曲线”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 ( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.在平面直角坐标系中,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为 .
6.若双曲线以椭圆+=1的两个顶点为焦点,且经过椭圆的两个焦点,则双曲线的标准方程为 .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.
8.设声速为a米/秒,在相距10a米的A、B两哨所,听到炮弹爆炸声的时间差为6秒,求炮弹爆炸点所在曲线的方程.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,则+的最小值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.9
2.(5分)已知双曲线C:x2-=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M(0,2),则△PFM的周长的最小值为 ( )
A.2+4 B.4+2
C.3 D.2+3
3.(5分)已知F1,F2是双曲线-=1的左、右焦点,PQ是过焦点F1的弦,且PQ的倾斜角为60°,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值为 .
4.(5分)若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为 .
5.(10分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离.
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.
1.若双曲线-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为 ( )
A.1 B. C.2 D.4
【加练·固】
已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其左、右焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 .
2.已知△OFQ的面积为2,且·=m,其中O为坐标原点.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
二十三 双曲线及其标准方程答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5,0),则a的值为 ( )
A.9 B.6 C.5 D.3
【解析】选D.根据题意,双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5,0),即c=5,
则有a2+16=25,解得a=3.
2.若k∈R,则“k>5”是“方程-=1表示双曲线”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当k>5时,方程表示双曲线;反之,当方程表示双曲线时,k>5或k<2.
3.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 ( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选B.据已知条件得焦点在x轴上,
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
则a2+b2=5.①
因为线段PF1的中点的坐标为(0,2),
所以点P的坐标为(,4),将其代入双曲线的方程,
得-=1.②
由①②解得a2=1,b2=4,
所以双曲线的方程为x2-=1.
4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|=2|PF2|,
所以|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2c=2=4.
所以cos∠F1PF2=
===.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.在平面直角坐标系中,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为 .
【解析】将方程化为-=1,若表示焦点在x轴上的双曲线,则有k-1>0且3-k>0,即1答案:(1,3)
6.若双曲线以椭圆+=1的两个顶点为焦点,且经过椭圆的两个焦点,则双曲线的标准方程为 .
【解析】椭圆+=1的焦点在x轴上,且a=4,b=3,c=,所以焦点为(±,0),左右顶点为(±4,0).于是双曲线经过点(±,0),焦点为(±4,0),则a＇=,c＇=4,所以b＇2=9,所以双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.
【解析】已知双曲线-=1,
由c2=a2+b2,得c2=16+9=25,所以c=5.
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
依题意知b2=25-a2,
故所求双曲线方程可写为-=1.
因为点P在所求双曲线上,
所以-=1化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=.
当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,
不合题意,舍去,所以a2=1,b2=24,
所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
8.设声速为a米/秒,在相距10a米的A、B两哨所,听到炮弹爆炸声的时间差为6秒,求炮弹爆炸点所在曲线的方程.
【解析】以直线AB为x轴,线段BA的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.
设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x,y),
由题意可得||PA|-|PB||=6a<10a,
所以炮弹爆炸点的轨迹方程为双曲线-=1.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,则+的最小值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.9
【解析】选D.椭圆+=1是焦点在x轴上的椭圆,且c2=5-4=1.
因为双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,
所以m+n=1(m>0,n>0),
所以+=(m+n)=5++≥5+2=9.
当且仅当=,即m=,n=时取等号.
所以+的最小值为9.
2.(5分)已知双曲线C:x2-=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M(0,2),则△PFM的周长的最小值为 ( )
A.2+4 B.4+2
C.3 D.2+3
【解析】选A.依题意可知,c=2,a=1,所以|MF|=2,|PM|+|PF|=|PM|+|PF1|+2a,
F1为左焦点,当M,P,F1三点共线时,
|PM|+|PF1|最小,最小值为|MF1|,|MF1|=2,
故周长的最小值为2+2+2=2+4.
3.(5分)已知F1,F2是双曲线-=1的左、右焦点,PQ是过焦点F1的弦,且PQ的倾斜角为60°,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值为 .
【解析】在双曲线-=1中,2a=8,
由双曲线定义,得|PF2|-|PF1|=8,|QF2|-|QF1|=8,
所以|PF2|+|QF2|-|PQ|
=(|PF2|-|PF1|)+(|QF2|-|QF1|)=16.
答案:16
4.(5分)若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为 .
【解析】由曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,可得-=1,
即有m>0,且m-2>0,解得m>2.
答案:(2,+∞)
5.(10分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离.
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.
【解析】(1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,因为·=0,则MF1⊥MF2,
设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,①
又m2+n2=(2c)2=80,②
由①②得m·n=8,所以mn=4=|F1F2|·h,
所以h=.所以M点到x轴的距离为.
(2)设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16),
由于双曲线C过点(3,2),所以-=1,
解得λ=4或λ=-14(舍去),
所以所求双曲线C的方程为-=1.
1.若双曲线-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为 ( )
A.1 B. C.2 D.4
【解析】选A.设点P在双曲线的右支上,
则|PF1|-|PF2|=2,已知|PF1|+|PF2|=2,
解得|PF1|=+,|PF2|=-,
|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2,
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
所以△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,
于是=|PF1|·|PF2|=×2=1.
【加练·固】
已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其左、右焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 .
【解析】设P在双曲线的右支上,|PF2|=x(x>0),|PF1|=2+x,因为PF1⊥PF2,
所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,所以x=-1,x+2=+1,
所以|PF2|+|PF1|=-1++1=2.
答案:2
2.已知△OFQ的面积为2,且·=m,其中O为坐标原点.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
【解析】设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),
所以S△OFQ=||·|y1|=2,
则y1=±.
又·=m,
即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,
解得x1=c,
所以||==≥=2,
当且仅当c=4时,取等号,||最小,
这时Q的坐标为(,)或(,-).
因为所以
于是所求双曲线的标准方程为-=1.
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(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5,0),则a的值为 ( )
A.9 B.6 C.5 D.3
2.若k∈R,则“k>5”是“方程-=1表示双曲线”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 ( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.在平面直角坐标系中,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为 .
6.若双曲线以椭圆+=1的两个顶点为焦点,且经过椭圆的两个焦点,则双曲线的标准方程为 .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.
8.设声速为a米/秒,在相距10a米的A、B两哨所,听到炮弹爆炸声的时间差为6秒,求炮弹爆炸点所在曲线的方程.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,则+的最小值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.9
2.(5分)已知双曲线C:x2-=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M(0,2),则△PFM的周长的最小值为 ( )
A.2+4 B.4+2
C.3 D.2+3
3.(5分)已知F1,F2是双曲线-=1的左、右焦点,PQ是过焦点F1的弦,且PQ的倾斜角为60°,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值为 .
4.(5分)若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为 .
5.(10分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离.
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.
1.若双曲线-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为 ( )
A.1 B. C.2 D.4
【加练·固】
已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其左、右焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 .
2.已知△OFQ的面积为2,且·=m,其中O为坐标原点.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
二十三 双曲线及其标准方程答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5,0),则a的值为 ( )
A.9 B.6 C.5 D.3
【解析】选D.根据题意,双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5,0),即c=5,
则有a2+16=25,解得a=3.
2.若k∈R,则“k>5”是“方程-=1表示双曲线”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当k>5时,方程表示双曲线;反之,当方程表示双曲线时,k>5或k<2.
3.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 ( )
A.-y2=1 B.x2-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选B.据已知条件得焦点在x轴上,
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
则a2+b2=5.①
因为线段PF1的中点的坐标为(0,2),
所以点P的坐标为(,4),将其代入双曲线的方程,
得-=1.②
由①②解得a2=1,b2=4,
所以双曲线的方程为x2-=1.
4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|=2|PF2|,
所以|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2c=2=4.
所以cos∠F1PF2=
===.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.在平面直角坐标系中,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为 .
【解析】将方程化为-=1,若表示焦点在x轴上的双曲线,则有k-1>0且3-k>0,即1
6.若双曲线以椭圆+=1的两个顶点为焦点,且经过椭圆的两个焦点,则双曲线的标准方程为 .
【解析】椭圆+=1的焦点在x轴上,且a=4,b=3,c=,所以焦点为(±,0),左右顶点为(±4,0).于是双曲线经过点(±,0),焦点为(±4,0),则a＇=,c＇=4,所以b＇2=9,所以双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.
【解析】已知双曲线-=1,
由c2=a2+b2,得c2=16+9=25,所以c=5.
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
依题意知b2=25-a2,
故所求双曲线方程可写为-=1.
因为点P在所求双曲线上,
所以-=1化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=.
当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,
不合题意,舍去,所以a2=1,b2=24,
所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.
8.设声速为a米/秒,在相距10a米的A、B两哨所,听到炮弹爆炸声的时间差为6秒,求炮弹爆炸点所在曲线的方程.
【解析】以直线AB为x轴,线段BA的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.
设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x,y),
由题意可得||PA|-|PB||=6a<10a,
所以炮弹爆炸点的轨迹方程为双曲线-=1.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,则+的最小值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.9
【解析】选D.椭圆+=1是焦点在x轴上的椭圆,且c2=5-4=1.
因为双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,
所以m+n=1(m>0,n>0),
所以+=(m+n)=5++≥5+2=9.
当且仅当=,即m=,n=时取等号.
所以+的最小值为9.
2.(5分)已知双曲线C:x2-=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M(0,2),则△PFM的周长的最小值为 ( )
A.2+4 B.4+2
C.3 D.2+3
【解析】选A.依题意可知,c=2,a=1,所以|MF|=2,|PM|+|PF|=|PM|+|PF1|+2a,
F1为左焦点,当M,P,F1三点共线时,
|PM|+|PF1|最小,最小值为|MF1|,|MF1|=2,
故周长的最小值为2+2+2=2+4.
3.(5分)已知F1,F2是双曲线-=1的左、右焦点,PQ是过焦点F1的弦,且PQ的倾斜角为60°,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值为 .
【解析】在双曲线-=1中,2a=8,
由双曲线定义,得|PF2|-|PF1|=8,|QF2|-|QF1|=8,
所以|PF2|+|QF2|-|PQ|
=(|PF2|-|PF1|)+(|QF2|-|QF1|)=16.
答案:16
4.(5分)若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为 .
【解析】由曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,可得-=1,
即有m>0,且m-2>0,解得m>2.
答案:(2,+∞)
5.(10分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离.
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.
【解析】(1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,因为·=0,则MF1⊥MF2,
设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,①
又m2+n2=(2c)2=80,②
由①②得m·n=8,所以mn=4=|F1F2|·h,
所以h=.所以M点到x轴的距离为.
(2)设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16),
由于双曲线C过点(3,2),所以-=1,
解得λ=4或λ=-14(舍去),
所以所求双曲线C的方程为-=1.
1.若双曲线-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为 ( )
A.1 B. C.2 D.4
【解析】选A.设点P在双曲线的右支上,
则|PF1|-|PF2|=2,已知|PF1|+|PF2|=2,
解得|PF1|=+,|PF2|=-,
|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2,
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
所以△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,
于是=|PF1|·|PF2|=×2=1.
【加练·固】
已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其左、右焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 .
【解析】设P在双曲线的右支上,|PF2|=x(x>0),|PF1|=2+x,因为PF1⊥PF2,
所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,所以x=-1,x+2=+1,
所以|PF2|+|PF1|=-1++1=2.
答案:2
2.已知△OFQ的面积为2,且·=m,其中O为坐标原点.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
【解析】设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),
所以S△OFQ=||·|y1|=2,
则y1=±.
又·=m,
即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,
解得x1=c,
所以||==≥=2,
当且仅当c=4时,取等号,||最小,
这时Q的坐标为(,)或(,-).
因为所以
于是所求双曲线的标准方程为-=1.
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