人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价：3.2.2双曲线的简单几何性质（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价：3.2.2双曲线的简单几何性质（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 490.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-21 11:58:51 | ||
图片预览
文档简介
二十四 双曲线的简单几何性质
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ( )
A.2 B.2 C.4 D.4
2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y+2x=0,则双曲线C的离心率为 ( )
A.3 B. C.2 D.9
3.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且C经过点A(2,),则双曲线C的方程为 ( )
A.x2-y2=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
4.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.与双曲线x2-=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 .
6.已知双曲线-=1的离心率是,则n= .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是,求此双曲线的标准方程.
8.设双曲线-=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
2.(5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.+1
3.(5分)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为 .
4.(5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率是,左右焦点分别是F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,则其渐近线方程是 ,∠AF1F2= .
5.(10分)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程.
1.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 ( )
A.2 B. C.2 D.4
2.已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,当取最小值时,求双曲线的离心率e的取值范围.
二十四 双曲线的简单几何性质答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【解析】选C.将双曲线化成标准形式为-=1,得2a=4.
2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y+2x=0,则双曲线C的离心率为 ( )
A.3 B. C.2 D.9
【解析】选A.由双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y+2x=0,得=2,所以 b2=8a2.所以c2-a2=8a2.
所以e==3.
3.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且C经过点A(2,),则双曲线C的方程为 ( )
A.x2-y2=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选A.由双曲线C的一条渐近线方程为y=x,则双曲线为等轴双曲线,即a=b,
双曲线C:x2-y2=a2,
将A(2,)代入双曲线方程,解得a=1,
所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.
4.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.不妨设|PF1|>|PF2|,
则|PF1|-|PF2|=2a.
又|PF1|+|PF2|=6a,
解得|PF1|=4a,|PF2|=2a,
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角,为30°,
所以|PF2|2=|PF1|2+|F2F1|2-2|PF1||F2F1|cos 30°,
所以(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c×,
化为e2-2e+3=0,解得e=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.与双曲线x2-=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 .
【解析】依题意设双曲线的方程为x2-=λ(λ≠0),
将点(2,2)代入求得λ=3,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
6.已知双曲线-=1的离心率是,则n= .
【解析】由题意知双曲线-=1的离心率是.
若双曲线的焦点坐标在y轴上,可得:=,
解得n=12,若双曲线的焦点坐标在x轴上,
可得:=,n=-6.
答案:-6或12
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是,求此双曲线的标准方程.
【解析】设双曲线方程为x2-y2=a2(a>0),
则它的渐近线方程为y=±x,
焦点坐标为(a,0),(-a,0).
所以=,a=.
所以双曲线的标准方程为-=1.
8.设双曲线-=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.
【解析】直线l的方程为+=1,
即bx+ay-ab=0,
于是有=c,
即4ab=c2,
两边平方得,16a2b2=3c4,
所以16a2(c2-a2)=3c4,3c4-16a2c2+16a4=0,
即3e4-16e2+16=0,
解得e2=4或e2=,
因为b>a>0,所以>1,
e2==1+>2,
故e2=4,所以e=2.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
【解析】选C.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,故有=,所以=,解得=.
故双曲线C的渐近线方程为y=±x.
2.(5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.+1
【解析】选B.由已知得=2,
所以e====.
3.(5分)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为 .
【解析】因为e==,
不妨设a=4,c=1,
则b=,
所以对应双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
答案:y=±x
4.(5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率是,左右焦点分别是F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,则其渐近线方程是 ,∠AF1F2= .
【解析】由题意知,=,得==3,即=.
则双曲线的渐近线方程为y=±x;
如图,不妨设A在第一象限,
则|F2A|=,|F1F2|=2c,
所以tan∠AF1F2====·=×2=.所以∠AF1F2=.
答案:y=±x
5.(10分)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程.
【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
则点F2到渐近线距离为=b(其中c是双曲线的半焦距),
所以由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,解得b=a,
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.
(2)因为∠F1PF2=60°,
由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2 ①.
又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,
平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2 ②,
①②相减得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.
根据三角形的面积公式得S=|PF1|·|PF2|sin 60°=·4b2=b2=48,
得b2=48.再由(1)得a2=b2=27,
故所求双曲线方程是-=1.
1.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 ( )
A.2 B. C.2 D.4
【解析】选B.因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,
所以渐近线方程为y=±x,
所以a=b.
因为顶点到一条渐近线的距离为1,
所以a=1,
所以a=b=,
所以双曲线C的方程为-=1,
焦点坐标为(-2,0),(2,0),
所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d==.
2.已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,当取最小值时,求双曲线的离心率e的取值范围.
【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,
所以|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|,
所以==+4a+|PF2|≥8a,当且仅当=|PF2|,
即|PF2|=2a时取等号,所以|PF1|=2a+|PF2|=4a,
因为|PF1|-|PF2|=2a<2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c e=<3,
所以e∈(1,3).
PAGE
4 / 11
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ( )
A.2 B.2 C.4 D.4
2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y+2x=0,则双曲线C的离心率为 ( )
A.3 B. C.2 D.9
3.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且C经过点A(2,),则双曲线C的方程为 ( )
A.x2-y2=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
4.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.与双曲线x2-=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 .
6.已知双曲线-=1的离心率是,则n= .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是,求此双曲线的标准方程.
8.设双曲线-=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
2.(5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.+1
3.(5分)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为 .
4.(5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率是,左右焦点分别是F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,则其渐近线方程是 ,∠AF1F2= .
5.(10分)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程.
1.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 ( )
A.2 B. C.2 D.4
2.已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,当取最小值时,求双曲线的离心率e的取值范围.
二十四 双曲线的简单几何性质答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【解析】选C.将双曲线化成标准形式为-=1,得2a=4.
2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y+2x=0,则双曲线C的离心率为 ( )
A.3 B. C.2 D.9
【解析】选A.由双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y+2x=0,得=2,所以 b2=8a2.所以c2-a2=8a2.
所以e==3.
3.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且C经过点A(2,),则双曲线C的方程为 ( )
A.x2-y2=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选A.由双曲线C的一条渐近线方程为y=x,则双曲线为等轴双曲线,即a=b,
双曲线C:x2-y2=a2,
将A(2,)代入双曲线方程,解得a=1,
所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.
4.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.不妨设|PF1|>|PF2|,
则|PF1|-|PF2|=2a.
又|PF1|+|PF2|=6a,
解得|PF1|=4a,|PF2|=2a,
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角,为30°,
所以|PF2|2=|PF1|2+|F2F1|2-2|PF1||F2F1|cos 30°,
所以(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c×,
化为e2-2e+3=0,解得e=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.与双曲线x2-=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是 .
【解析】依题意设双曲线的方程为x2-=λ(λ≠0),
将点(2,2)代入求得λ=3,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
答案:-=1
6.已知双曲线-=1的离心率是,则n= .
【解析】由题意知双曲线-=1的离心率是.
若双曲线的焦点坐标在y轴上,可得:=,
解得n=12,若双曲线的焦点坐标在x轴上,
可得:=,n=-6.
答案:-6或12
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.焦点在x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是,求此双曲线的标准方程.
【解析】设双曲线方程为x2-y2=a2(a>0),
则它的渐近线方程为y=±x,
焦点坐标为(a,0),(-a,0).
所以=,a=.
所以双曲线的标准方程为-=1.
8.设双曲线-=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.
【解析】直线l的方程为+=1,
即bx+ay-ab=0,
于是有=c,
即4ab=c2,
两边平方得,16a2b2=3c4,
所以16a2(c2-a2)=3c4,3c4-16a2c2+16a4=0,
即3e4-16e2+16=0,
解得e2=4或e2=,
因为b>a>0,所以>1,
e2==1+>2,
故e2=4,所以e=2.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为 ( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
【解析】选C.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,故有=,所以=,解得=.
故双曲线C的渐近线方程为y=±x.
2.(5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.+1
【解析】选B.由已知得=2,
所以e====.
3.(5分)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的渐近线方程为 .
【解析】因为e==,
不妨设a=4,c=1,
则b=,
所以对应双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
答案:y=±x
4.(5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率是,左右焦点分别是F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,则其渐近线方程是 ,∠AF1F2= .
【解析】由题意知,=,得==3,即=.
则双曲线的渐近线方程为y=±x;
如图,不妨设A在第一象限,
则|F2A|=,|F1F2|=2c,
所以tan∠AF1F2====·=×2=.所以∠AF1F2=.
答案:y=±x
5.(10分)已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48,求此双曲线的方程.
【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
则点F2到渐近线距离为=b(其中c是双曲线的半焦距),
所以由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,解得b=a,
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.
(2)因为∠F1PF2=60°,
由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2 ①.
又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,
平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2 ②,
①②相减得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.
根据三角形的面积公式得S=|PF1|·|PF2|sin 60°=·4b2=b2=48,
得b2=48.再由(1)得a2=b2=27,
故所求双曲线方程是-=1.
1.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,顶点到一条渐近线的距离为1,则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为 ( )
A.2 B. C.2 D.4
【解析】选B.因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,
所以渐近线方程为y=±x,
所以a=b.
因为顶点到一条渐近线的距离为1,
所以a=1,
所以a=b=,
所以双曲线C的方程为-=1,
焦点坐标为(-2,0),(2,0),
所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d==.
2.已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,当取最小值时,求双曲线的离心率e的取值范围.
【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,
所以|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|,
所以==+4a+|PF2|≥8a,当且仅当=|PF2|,
即|PF2|=2a时取等号,所以|PF1|=2a+|PF2|=4a,
因为|PF1|-|PF2|=2a<2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c e=<3,
所以e∈(1,3).
PAGE
4 / 11