人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价：3.2.3双曲线方程及性质的应用（含解析）

二十五　双曲线方程及性质的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知m<1且m≠0,则二次曲线-=1与+=1必有 (　　)
A.不同的顶点 B.不同的焦距
C.相同的离心率 D.相同的焦点
2.已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为 (　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
3.设F是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右支均相交,则双曲线离心率的取值范围为 (　　)
A.(1,) B.(1,)
C.(,+∞) D.(,+∞)
4.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为 (　　)
A. B. C.2 D.3
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若m是2和8的等比中项,则m=　　　　,圆锥曲线x2+=1的离心率是　　　　.
6.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是　　　　.
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,且过点(-3,4).
(1)求双曲线的方程.
(2)若直线4x-y-6=0与双曲线相交于A,B两点,求|AB|的值.
8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,虚轴长为4.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)过点(0,1),倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线C右支上一点,若|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=30°,则双曲线C的离心率为 (　　)
A.+1 B.
C.+1 D.
2.(5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F1(2,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF1周长的最小值为8,则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.2
3.(5分)如果双曲线-=1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点,则双曲线离心率的取值范围是　　　　　.
4.(5分)已知双曲线C的方程为-=1(a>0),过原点O的直线l与双曲线C相交于A,B两点,点F为双曲线C的左焦点,且AF⊥BF,则△ABF的面积为　　　　　.
5.(10分)已知双曲线C:-=1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程.
(2)P为双曲线C右支上一动点,点A的坐标是(4,0),求|PA|的最小值.
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为　　　　　.
2.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)求双曲线C2的方程.
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2,求k的取值范围.
二十五　双曲线方程及性质的应用答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知m<1且m≠0,则二次曲线-=1与+=1必有 (　　)
A.不同的顶点 B.不同的焦距
C.相同的离心率 D.相同的焦点
【解析】选D.若m<0,则1-m>-m>0,则二次曲线-=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时c2=a2-b2=1-m-(-m)=1,故焦点坐标为(±1,0),
因此与椭圆+=1具有相同的焦点.
当02.已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为 (　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,
设双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1①,
-=1②,
x1+x2=-24,y1+y2=-30,
由①②得=,从而=1,
又因为a2+b2=c2=9,
故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.
3.设F是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作斜率为3的直线l与双曲线左、右支均相交,则双曲线离心率的取值范围为 (　　)
A.(1,) B.(1,)
C.(,+∞) D.(,+∞)
【解析】选C.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,
由斜率为3的直线l过双曲线的右焦点,
且与双曲线左、右支各有一个交点,
则>3,即b2>9a2,c2>10a2,可得e>.
4.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为 (　　)
A. B. C.2 D.3
【解析】选A.由双曲线的方程-=1可得一条渐近线方程为y=x;
在△PFO中|PO|=|PF|,过点P作PH⊥OF.
因为tan∠POF=,OF=,OH=OF,所以PH=;
所以S△PFO=××=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若m是2和8的等比中项,则m=　　　　,圆锥曲线x2+=1的离心率是　　　　.
【解析】因为m是2和8的等比中项,
所以m2=2×8=16,
解得m=±4.
当m=4时,曲线x2+=1,
即x2+=1,
表示焦点在y轴上的椭圆,
因为=4且=1,
所以a1=2,c1==,
椭圆的离心率e1==;
当m=-4时,曲线x2+=1,即x2-=1,
表示焦点在x轴上的双曲线,
同理可得a2=1,c2==,
双曲线的离心率e2==.
综上所述,m的值为±4;圆锥曲线x2+=1的离心率是或.
答案:±4　或
6.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是　　　　.
【解析】由
消去y得x2-2mx-m2-2=0.
Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).
则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,
所以线段AB的中点坐标为(m,2m),
又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,
所以5m2=5,所以m=±1.
答案:±1
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,且过点(-3,4).
(1)求双曲线的方程.
(2)若直线4x-y-6=0与双曲线相交于A,B两点,求|AB|的值.
【解析】(1)由双曲线的渐近线方程为y=±2x,则设所求双曲线的方程为x2-=λ(λ≠0),
把(-3,4)代入方程,整理得:9-=λ,
解得:λ=1,即双曲线的方程为:x2-=1.
(2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),
由整理得:3x2-12x+10=0,
所以x1+x2=4,x1x2=,
由弦长公式可知:|AB|=
==,
所以|AB|的值为.
8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,虚轴长为4.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)过点(0,1),倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.
【解析】(1)依题意可得
解得a=1,b=2,c=,
所以双曲线的标准方程为x2-=1.
(2)直线l的方程为y=x+1,联立
消去y得3x2-2x-5=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=-,
则|AB|=|x1-x2|=
=×=,
原点到直线l的距离为d=,
所以S△OAB=·|AB|·d=××=.
所以△OAB的面积为.
(15分钟·30分)
1.(5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线C右支上一点,若|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=30°,则双曲线C的离心率为 (　　)
A.+1 B.
C.+1 D.
【解析】选B.在等腰三角形PF1F2中,|F1F2|=|PF2|=2c,∠PF1F2=30°,
可得|PF1|==2c,
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2c-2c=2a,
即有e===.
2.(5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F1(2,0),点A的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF1周长的最小值为8,则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.2
【解析】选D.由右焦点为F1(2,0),点A的坐标为(0,1),|AF1|==3,三角形APF1的周长的最小值为8,
可得|PA|+|PF1|的最小值为5,
设F2为双曲线的左焦点,可得|PF1|=|PF2|+2a,
当A,P,F2三点共线时,|PA|+|PF1|取得最小值,且为|AF2|=3,即有3+2a=5,即a=1,c=2,可得e==2.
3.(5分)如果双曲线-=1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点,则双曲线离心率的取值范围是　　　　　.
【解析】如图,
因为OA=AF,F(c,0),
所以xA=,因为A在右支上且不在顶点处,
所以>a,所以e=>2.
答案:(2,+∞)
4.(5分)已知双曲线C的方程为-=1(a>0),过原点O的直线l与双曲线C相交于A,B两点,点F为双曲线C的左焦点,且AF⊥BF,则△ABF的面积为　　　　　.
【解析】双曲线C的方程为-=1(a>0),过原点O的直线l与双曲线C相交于A,B两点,
点F为双曲线C的左焦点,且AF⊥BF,
设AF=m,BF=n,可得m-n=2a,m2+n2=4c2,
可得:m2+n2-2mn=4a2,可得:mn=c2-a2=b2=9.
答案:9
5.(10分)已知双曲线C:-=1.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程.
(2)P为双曲线C右支上一动点,点A的坐标是(4,0),求|PA|的最小值.
【解析】(1)由题可设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0),
①当λ>0时,方程为-=1,
令4λ=得λ=,即双曲线方程为-=1,
②当λ<0时,方程为-=1,
令-3λ=得λ=-3,
即双曲线方程为-=1,
所以双曲线的标准方程为-=1或-=1.
(2)设P(x0,y0)(x0≥2),满足-=1,
|PA|====.
则当x0=时,|PA|有最小值,为.
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为　　　　　.
【解析】由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,又已知
|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a,
在△PF1F2中,由余弦定理得
cos∠F1PF2==-e2,要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,
因为cos∠F1PF2≥-1,
所以cos∠F1PF2=-e2≥-1,
解得e≤,即e的最大值为.
答案:
2.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)求双曲线C2的方程.
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2,求k的取值范围.
【解析】(1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),则a2=4-1=3,c2=4,
再由a2+b2=c2,得b2=1,
故双曲线C2的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,
得
所以k2<1且k2≠.①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.
又因为·>2,即x1x2+y1y2>2,
所以>2,即>0,
解得由①②得故k的取值范围为∪.
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