人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2《双曲线》课时1 教学设计

《双曲线》教学设计
课时1双曲线及其标准方程
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
双曲线及其标准方程 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 【考查内容】 1.根据几何条件求出双曲线的方程. 2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用. 3.运用双曲线的方程与性质解决综合问题. 【考查题型】 填空题、选择题、解答题
双曲线的简单几何性质 (1) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
双曲线的简单几何性质 (2) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种,传统的处理方法是先学习椭圆,再学习双曲线,这充分考虑了紧密联系知识体系和由易到难的教学要求,符合学生的学习,在新课程教材中继续保留,前面有椭圆知识及学习方法的铺垫,后面有抛物线学习的综合加强,有利于学生掌握和巩固.双曲线的定义与椭圆的定义很相似,但不容易掌握而又非常重要,学习时要注意和椭圆的联系与区别,为深刻体会圆锥曲线的统一定义做好充分准备,又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.双曲线及其标准方程 2.双曲线的简单几何性质(1) 3.双曲线的简单几何性质(2) 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些双曲线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.通过椭圆的学习,学生已经对圆锥曲线有所了解,对探索圆锥曲线的方法基本掌握.通过类比的方法探究双曲线及其标准方程,学生比较熟悉.通过探究、操作,归纳得出双曲线的定义,以及根据条件列出等式并化简整理得到双曲线的标准方程,学生皆可以类比椭圆的学习过程来完成.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.双曲线及其标准方程
2.双曲线的简单几何性质(1)
3.双曲线的简单几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其几何性质.
2.理解直线与双曲线的位置关系.
3.运用标准方程解决相关问题.
【教学策略设计】
本节对双曲线的教学,是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉的基础上进行的,学生基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法,而双曲线问题,它与椭圆问题有类似性,知识的正迁移作用可在本节课中充分显示,所以讲解时应采用类比的方法让学生以自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程,最后反思应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.
2.掌握双曲线的简单几何性质.
难点:
1.推导双曲线的标准方程.
2.双曲线方程的简单应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线,如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.【展示课题】
【情境设置】
双曲线的引入
双曲线型自然通风冷却塔 台灯
【设计意图】
通过实际问题,引导学生类比思考,引出双曲线的定义让学生从感性上认识双曲线.激发学生的学习兴趣,培养爱国思想.
教学精讲
探究1 双曲线的定义
师:我们知道,平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹是椭圆,一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么
师:下面我们先用信息技术研究一下.
【情境设置】
探究双曲线的定义
如图,在直线上取两个定点是直线上的动点.
在平面内,取定点,以点为圆心、线段为半径作圆,再以为圆心、线段为半径作圆.
我们知道,当点在线段上运动时,如果,那么两圆相交,其交点的轨迹是椭圆;如果,两圆不相交,不存在交点轨迹.
如图,在的条件下,让点在线段外运动,这时动点满足什么几何条件 两圆的交点的轨迹是什么形状
【以学定教】
设置问题情境引起同学们对旧知识的联想,有助于类比.多媒体展示能形象直观地展示轨迹形成过程,帮助学生顺利理解双曲线上点的特点,同时节省了时间.
师:我们发现,在的条件下,点在线段外运动时,当点靠近定点时,;当点靠近定点时,.总之,点与两个定点、的距离的差的绝对值是一个常数.这时,点的轨迹是不同于椭圆的曲线,它分左右两支.
左边那条曲线:为常数.
右边那条曲线:为常数.
这两条曲线合在一起称为双曲线,每一条叫作双曲线的一支.
师:你能自己归纳双曲线的定义吗
【学生观察分析、归纳定义,老师补充概括】
生:与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹为双曲线(常数小于两定点间距离).
【概括理解能力】
通过问题思考,从几何方面探究确定双曲线的条件,归纳双曲线的定义,通过动手实践和数据的变化,使学生体会到确定双曲线成立的两个条件,锻炼学生的概括理解能力.
【要点知识】
双曲线的定义
我们把平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
师:当常数等于时,轨迹是什么 当常数大于时,轨迹是什么
【教师提问,学生通过讨论得出结论】
生:当常数小于时,轨迹是双曲线;
当常数等于时,轨迹是两条射线;
当常数大于时,轨迹不存在.
【情境学习】
在问题情境中,思考常数与关系的三种情况,掌握条件改变时,轨迹的变化情况,同时强调双曲线定义的严谨性.
探究2 双曲线的标准方程
师:通过类比椭圆标准方程的研究过程与方法,如何建立适当的平面直角坐标系推导双曲线的标准方程
【观察发现双曲线具有对称性,与求椭圆方程的建系过程完全类似,建立以点和所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴的平面直角坐标系】
【教学中应再次强调,把握所研究的几何对象的基本特征(如对称性、特殊点等),对于合理建立坐标系、简化代数运算、得出特征明显的代数方程等都是非常重要的】
师:如何写出曲线上的点所满足条件的集合
生:求曲线方程的实质是要找到曲线上的点所满足的条件.一般情况下,可以由确定曲线的几何条件得到.根据双曲线的定义,双曲线上的点满足条件的集合是.
【教师让学生类比椭圆标准方程的建立过程,认识到把两个定点之间的距离设为,可以为运算带来方便,并且使标准方程的表达式简洁.教学时还应让学生认识它的几何意义,以及它与椭圆长轴长的区别】
师:如何根据点的坐标满足的条件的集合写出方程
【将中的等式解析化,也就是用坐标表示集合中的等式,可以得到关于的方程,记为】
【猜想探究能力】
对于推导双曲线的方程,在讲椭圆的时候已经学过了,方法很相似,和椭圆列式比较,发现异同点,回忆椭圆方程的化简思路,学生完全可以通过模仿,自己算出标准方程,这样做可以培养学生类比的思想和动手能力.
师:坐标法的基础是建立平面直角坐标系,然后由集合得到方程,把几何条件代数化,从而获得方程.
师:如何化简方程
师:为了利用方程研究曲线的性质,需要化简方程.将等价变形为,然后类比椭圆标准方程的化简过程:
,
,
令代入化简得:
师:从上述过程可以看到,双曲线上的任意一点的坐标都是上述方程的解,反过来,以上述方程的解为坐标的点与双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为,即以上述方程的解为坐标的点都在双曲线上,所以上述方程是双曲线的标准方程.
【概括理解能力】
通过类比,将双曲线的标准方程与椭圆标准方程建立联系,学生能够更顺利地学习新知识,同时建立清晰的知识网络关系.深化学生对曲线与方程的关系的理解.
师:焦点在轴上的双曲线标准方程是什么
【学生得到焦点在轴上的双曲线的标准方程后,让学生类比回答焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么.学生类比焦点在轴上的椭圆的标准方程后,能够自主答出.】
生:.
师:通过对比双曲线方程,我们从下面两方面进行比较:一是两个焦点的位置(在轴上还是在轴上)与负号的位置,二是方程中、与、的对应位置,如何通过双曲线的方程判断焦点的位置
生:若项的系数是正数,则双曲线的焦点在轴上;若项的系数是正数,则双曲线的焦点在轴上.对于双曲线,不一定大于,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小判断焦点在哪一条坐标轴上.
【推测解释能力】
学生对知识理解后才能自主建构为自己的知识.设计的这个思考问题能帮助学生理解双曲线定义中常数的条件.对于条件限制,由学生类比学习,观察比较标准方程如何判断焦点位置,培养学生严谨的数学思维和推测解释能力.
【教师对学生的回答给予肯定,并出示双曲线的标准方程的多媒体】
【要点知识】
双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
焦点
的关系
【先学后教】
通过研究焦点在x轴的双曲线的标准方程类比研究焦点在y轴的双曲线的标准方程,化解难点,突出重点,强化推理方法.
【概括理解能力】
通过列表总结双曲线的标准方程,让学生接受新知识清楚直接,有助于学生理解,提升概括理解能力.
师:我们根据双曲线的标准方程,总结一下双曲线方程特征.
【师生共同总结,教师展示多媒体】
【要点知识】
双曲线方程的特征
1.双曲线标准方程形式:左边是两个分式的平方差,右边是1.
不可少,体会的几何意义.
3.双曲线焦点的位置与标准方程中正项有关.
4.双曲线标准方程中三个参数的关系:最大,的大小不确定.
师:我们将双曲线和椭圆进行比较,填表.
生.
圆锥曲线 椭圆 双曲线
定义
的关系
焦点在轴上
焦点在轴上
【以学定教】
通过对椭圆的标准方程的特征观察可以让学生自己总结出来双曲线方程特征,根据所学引出新知,简单易懂.
师:下面我们根据所学巩固练习.
【典型例题】
求双曲线的标准方程
例1 已知双曲线的两个焦点分别为,双曲线上一点与、的距离差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.
【学生思考、交流后独立做题】
生:因为双曲线的焦点在轴上,所以设它的标准方程为.
由,得,
因此,.
所以,双曲线的标准方程为.
【分析计算能力】
通过典型例题,掌握根据双曲线的定义求出其方程的基本方法,即待定系数法,提升学生数学建模、数形结合及方程思想.
师:总结一下求双曲线的标准方程的方法.
【要点知识】
双曲线的标准方程的两种求法
1.定义法:根据双曲线的定义得到相应的、、,再写出双曲线的标准方程.
2.待定系数法:先设出双曲线的标准方程或、均为正数),然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.
师:下面我们来看下一道例题.
【典型例题】
求点的轨迹方程
例2 已知、两地相距,在地听到炮弹爆炸声比在地晚,且声速为,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
【师生共同分析解题思路,学生独立做题,教师评价,展示多媒体】
【典例解析】
求点的轨迹方程
解:建立平面直角坐标系,使、两点在轴上,并且原点与线段的中点重合.
设炮弹爆炸点的坐标为,则即.
又,所以.
因为,所以点的轨迹是双曲线的右支,因此.
所以,炮弹爆炸点的轨迹方程为
师:利用两个不同的观测点、测得同一点发出信号的时间差,可以确定点所在双曲线的方程.如果再增设一个观测点,利用、(或、两处测得的点发出信号的时间差,就可以确定点所在另一双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就能确定点的准确位置,这是双曲线的一个重要应用.
师:点、的坐标分别是,直线、相交于点,且它们的斜率之积是,点的轨迹方程是什么
生:设,则,由题意知,即.化简,整理得.
∴点的轨迹方程为,轨迹是以原点为中心,焦点在轴上的双曲线(除去实轴两个端点).
师:由点的轨迹方程判断轨迹的形状,与例3比较,你有什么发现
生:发现直线、相交于点,它们的斜率乘积大于0,则点的轨迹为双曲线;它们的斜率乘积小于0,则点的轨迹为椭圆.
【概括理解能力】
强化对求双曲线标准方程的求法步骤的理解.通过总结,进行对比,使学生加深了对双曲线定义和标准方程的理解,有助于教学目标的实现.提升概括理解能力.
【整体学习】
通过双曲线的教学,加强对学生学习方法的指导,让学生进一步巩固所学知识,与前面的学习目标呼应,同时应加强对学生在数学知识与思想方法上的指导.
师:同学们,本节课我们学习了双曲线的哪些知识 请大家思考一下.
【师生共同总结,教师展示多媒体】
【课堂小结】
双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义(与椭圆的区别)
2.标准方程及推导(两种形式)
3.焦点位置的判断和、、的关系(与椭圆的区别)
【设计意图】
通过双曲线标准方程的推导过程和本节所学知识与练习巩固,培养学生解决问题的能力,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
教学评价
本节通过双曲线的方程研究双曲线的简单几何性质,使学生经历知识产生与形成的过程,以及利用直线和双曲线的位置关系解决综合问题.
【设计意图】
学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质.使学生灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题,更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法,培养学生的解析几何观念,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
(2)以椭圆长轴的端点为焦点,且经过点;
(3),经过点.
思路:本题主要考查用待定系数法求双曲线标准方程,根据条件判断双曲线的焦点的位置.根据条件判断设定方程后寻找、的关系并求解.
解析:(1)由双曲线的定义知,,所以,又知焦点在轴上,且,所以,所以双曲线的标准方程为.
(2)由题意得,双曲线的焦点在轴上,且.
设双曲线的标准方程为,
则有,解得.
故所求双曲线的标准方程为.
(3)当焦点在轴上时,可设双曲线方程为,将点代入,得,所以.因此,所求的双曲线的标准方程为.当焦点在轴上时,可设双曲线方程为,将点代入,得,不可能,所以焦点不可能在轴上.
【分析计算能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的两种形式、各个量之间的关系,掌握求双曲线标准方程的方法.
2.一块面积为12公顷的三角形形状的农场如图所示,中,已知,试建立适当的直角坐标系,求出分别以为左、右焦点且过点的双曲线方程.
思路:本题用坐标法解决双曲线的轨迹方程问题.联立三角函数的定义综合解题.
解析:以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系,如图.设以、为焦点且过点的双曲线方程为,
焦点为.由,
设,则,
得直线和直线的方程分别为和.
联立两方程,解得,即点坐标为.
∵在中,上的高为点的纵坐标,
∴,即点坐标为.
由两点间的距离公式
,
∴.又,故所求双曲线的方程为.
【简单问题解决能力】
通过双曲线的几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有的相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.
【简单问题解决能力】
通过典型坐标法的例题,使学生进一步熟练掌握双曲线标准方程的求解及其定义,强化坐标法解决双曲线的轨迹方程问题的步骤,提升学生数学建模、数形结合及方程思想,发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
3.求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
思路:本题考查对双曲线性质的掌握.
解析:把方程,
化为标准方程,
由此可知,实半轴长,
虚半轴长,
焦点坐标为,
离心率,
顶点坐标为,
所以渐近线方程为,即.
【分析计算能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的基本形式、各个量之间的关系,掌握求双曲线几何性质的方法.
4.根据以下条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点,离心率为;
(2)与椭圆有公共焦点,且离心率;
(3)与双曲线有共同渐近线,且过点.
思路:与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为.
解析:(1)若双曲线的焦点在轴上,设其方程为,
∵,即.①
又双曲线过,②
由①②得,故双曲线方程为.
若双曲线的焦点在轴上,
设其方程为,同理有,③
,④
由③④得(舍去).综上,双曲线的标准方程为.
(2)由椭圆方程,知半焦距为,
∴焦点是.
因此双曲线的焦点为.
设双曲线方程为,
由已知条件,有解得
∴所求双曲线的标准方程为.
(3)设所求双曲线方程为,将点代入得,
∴双曲线方程为,即双曲线的标准方程为.
【分析计算能力】
通过例题巩固双曲线的几何性质的应用,提高解决问题的能力和计算能力.
【简单问题解决能力】
通过例题及时进行总结和检测,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.
5.已知双曲线,求过点且被点平分的弦所在直线的方程.
解析:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.
解法一:由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为,
即,由消去,
整理得.
设,
∴为的中点,
∴,即,解得.
当时,满足,符合题意,
∴所求直线的方程为,即.
解法二:设,
∵、均在双曲线上,∴
两式相减,得.
∵点平分弦.
经验证,该直线存在.
∴所求直线的方程为,即.
【综合问题解决能力】
设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.通过讨论,让学生互相交流,互相学习,培养他们的合作意识和谦虚好学的品质,在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的综合问题解决能力得到训练.
【以学定教】
启发并引导学生理解双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的地位.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.
教学反思
本节教学内容,紧扣新教材,以“问题引导,探究交流”为主,兼容讲解、演示、合作等多种方式,力求灵活运用.在教学目标上,突出了解析思想为主,内容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体,力求多元价值取向.在多媒体应用上,力求灵活实用,不跟着课件走,使得多媒体真正做到为课堂有效服务.增强运用坐标法解决几何问题的能力,不足之处是学生的动手实践能力较差,需要教师引导和点拨.
【以学论教】
为使学生更好地掌握双曲线的标准方程及其简单几何性质,需要在课堂教学时引导学生探究推导过程,多做例题巩固.
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