人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2《双曲线》课时2 教学设计

《双曲线》教学设计
课时2双曲线的简单几何性质(1)
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
双曲线及其标准方程 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 【考查内容】 1.根据几何条件求出双曲线的方程. 2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用. 3.运用双曲线的方程与性质解决综合问题. 【考查题型】 填空题、选择题、解答题
双曲线的简单几何性质 (1) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
双曲线的简单几何性质 (2) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种,传统的处理方法是先学习椭圆,再学习双曲线,这充分考虑了紧密联系知识体系和由易到难的教学要求,符合学生的学习,在新课程教材中继续保留,前面有椭圆知识及学习方法的铺垫,后面有抛物线学习的综合加强,有利于学生掌握和巩固.双曲线的定义与椭圆的定义很相似,但不容易掌握而又非常重要,学习时要注意和椭圆的联系与区别,为深刻体会圆锥曲线的统一定义做好充分准备,又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.双曲线及其标准方程 2.双曲线的简单几何性质(1) 3.双曲线的简单几何性质(2) 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些双曲线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.通过椭圆的学习,学生已经对圆锥曲线有所了解,对探索圆锥曲线的方法基本掌握.通过类比的方法探究双曲线及其标准方程,学生比较熟悉.通过探究、操作,归纳得出双曲线的定义,以及根据条件列出等式并化简整理得到双曲线的标准方程,学生皆可以类比椭圆的学习过程来完成.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.双曲线及其标准方程
2.双曲线的简单几何性质(1)
3.双曲线的简单几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其几何性质.
2.理解直线与双曲线的位置关系.
3.运用标准方程解决相关问题.
【教学策略设计】
本节对双曲线的教学,是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉的基础上进行的,学生基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法,而双曲线问题,它与椭圆问题有类似性,知识的正迁移作用可在本节课中充分显示,所以讲解时应采用类比的方法让学生以自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程,最后反思应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.
2.掌握双曲线的简单几何性质.
难点:
1.推导双曲线的标准方程.
2.双曲线方程的简单应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:双曲线及其标准方程是什么
生:(1)焦点在轴上:.
(2)焦点在轴上:.
师:类比椭圆几何性质的研究,从双曲线方程中,你可以独立发现哪些几何性质 有没有双曲线所特有的性质
师:类比椭圆几何性质的研究,你认为应该研究双曲线的哪些几何性质,如何研究这些性质
【分别从“形”的角度和“数”的角度分析,学生分组、交流,教师点拨】
【以学定教】
本节内容类比于椭圆的简单几何性质学习双曲线的简单几何性质,与其类比讲解,让学生自己进行探究,得到类似的结论,回顾这些知识点,对学习的旧知识加以复习巩固,同时为新知识的学习做准备.
教学精讲
1.范围的探究
师:“形”的角度:观察双曲线,可以直观发现双曲线上的点的横坐标的范围是或,纵坐标的范围是.
“数”的角度:根据方程得到,
∴或.
生:由的范围,可以发现双曲线不是封闭的曲线.双曲线位于直线及其左侧,以及直线及其右侧的区域,并且两支都向外无限延伸.
【以学论教】
依据学生思维的形象直观性和认知的情境依存性,在问题的指引下,学生从数与形的角度沿着一定的目标去自主探究,深入思考,感知数学,教师及时点评.突出重点,化解难点.
2.对称性的探究
师:“形”的角度:双曲线既关于坐标轴对称,又关于原点对称.
“数”的角度:用代代分别代,方程的形式不变,所以双曲线关于坐标轴、原点对称.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
生:双曲线关于轴、轴都是对称的.坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
3.顶点的探究
师:“形”的角度:从图形直观上可以发现双曲线与轴有两个交点和,与轴没有公共点.这与椭圆不同.
“数”的角度:
令,得到或,所以和,
令,没有实数解.
能否类比椭圆把两点画在轴上 线段有何几何意义
【引导学生画图,学习线段称为双曲线的虚轴,是直角三角形,且,线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长;线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长,并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它】
【要点知识】
双曲线的实轴、虚轴
线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长;线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长.
【观察记忆能力】
通过观察类比,形成知识的迁移,明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法,进而培养学生观察问题、解决问题的能力.提升观察记忆能力.
【自主学习】
让学生自主比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区别,这样可以加强新旧知识的联系,借助于类比方法,引起学生学习的兴趣,激发求知欲.
4.渐近线的探究
师:在双曲线位于第一象限的曲线上画一点,测量点的横坐标以及它到直线的距离,向右拖动点,观察与的大小关系,你发现了什么
【教师通过多媒体软件作图,再向右拖动点,学生观察图形的变化,相互交流】
师:通过多媒体软件作图,在向右拖动点时,点的横坐标越来越大,越来越小,但是始终不等于0.经过两点、作轴的平行线,经过两点、作轴的平行线,四条直线围成一个矩形,矩形的两条对角线所在直线的方程是.可以发现,双曲线的两支向外延伸时,与两条直线逐渐接近,但永远不相交.
【要点知识】
双曲线的渐近线
一般地,双曲线的两支向外延伸时,与两条直线逐渐接近,我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上,双曲线与它的渐近线无限接近,但永远不相交.
师:对圆锥曲线来说,渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便,只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线,就能较为精确地画出它的图形.
师:已知双曲线方程如何求渐进线方程
生:对于双曲线,
若.
师:在双曲线方程中,如果,渐近线是什么
师:此时方程变为,双曲线的实轴和虚轴的长都等于.这时,四条直线围成正方形,渐近线方程为,它们互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
【要点知识】
等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
【观察记忆能力】
通过诱导、分析,巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程,并借助多媒体用几何画板给学生动态演示了双曲线上点的移动过程,让学生直观感受了渐近线,学生也易接受.提升观察记忆能力.
【概括理解能力】
教师提问学生如何求渐近线方程,学习过程中引出等轴双曲线的核心概念,提升学生的概括理解能力.
【意义学习】
类比椭圆的离心率的学习,教师适时引导,培养了学生的问题意识,调动学生参与问题讨论的积极性.
5.离心率的探究
师:双曲线的离心率是什么
生:因为,所以双曲线的离心率.
【要点知识】
双曲线的离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率.
师:椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征
师:类比椭圆的离心率,我们猜想双曲线的离心率刻画的也是某种“扁平程度”.由可知,当逐渐增大时,逐渐增大,即双曲线的渐近线的斜率逐渐增大,此时双曲线的“张口”逐渐增大,反之也成立.此时的“扁平程度”描述的是双曲线的“张口大小”.因此,双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
师:你能整理出双曲线的简单几何性质吗
【类比焦点在轴上的双曲线的简单几何性质,学生根据上述研究方式动手实践易于整理出双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率,教师补充后展示多媒体】
【要点知识】
双曲线的几何性质
标准 方程
焦点 位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
性质 范围 或 或
对称性 对称轴:轴、轴;对称中心:坐标原点
顶点 坐标
轴 实轴:线段,长:; 虚轴:线段,长:; 实半轴长:,虚半轴长:
渐近线
离心率 ,其中
间的关系
【猜想探究能力】
按照椭圆的几何性质,归纳总结出双曲线的几何性质.一般学生能用类似于推导椭圆的几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率,对知识的理解不能浮于表面只会看图,也要会从方程的角度来解释,抓住方程的本质.用多媒体演示,加强学生对双曲线的简单几何性质——范围、对称性、顶点(实轴、虚轴)、离心率(不深入讲解)的巩固,提升学生的猜想探究能力.
师:我们来看一下例题.
【典型例题】
双曲线简单性质的应用
例1 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
【学生相互交流,教师给出解题过程】
师解:把双曲线的方程化为标准方程
由此可知,实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标是;离心率;渐近线方程为.
【分析计算能力】
通过双曲线的标准方程,运用方程与函数的思想解题,通过设计不同层次的习题,让学生能够理解并运用双曲线的几何性质,解决简单的双曲线问题；也让学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣和“减负”的目的.提升分析计算能力.
【典型例题】
双曲线简单性质的应用
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在轴上,实轴长是10,虚轴长是8;
(2)焦点在轴上,焦距是10,虚轴长是8.
【学生相互交流,教师给出解题过程】
师解:(1)设双曲线方程为
由题意可知,.所以双曲线方程为.
(2)设双曲线方程为
由题意可知,,所以,双曲线方程为.
师:从上面的例题我们总结由双曲线的方程研究其几何性质的注意点.
【要点知识】
由双曲线的方程研究其几何性质的注意点
1.把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
2.由标准方程确定焦点位置,确定、的值.
3.由求出的值,从而写出双曲线的几何性质.
【概括理解能力】
通过例题总结注意点,概括提炼进行归纳,突出重点,培养学生的概括理解能力和解题能力.
师:我们来总结一下本节课所学知识.
【课堂小结】
双曲线的简单几何性质
1.掌握双曲线的几何性质.
2.渐近线是双曲线特有的性质,其发现与给出过程蕴含了重要的数学方法,渗透了类比、数形结合等重要的数学思想.
【设计意图】
通过学习双曲线几何性质知识进行练习巩固,学生自主解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
教学评价
本节通过双曲线的方程研究双曲线的简单几何性质,使学生经历知识产生与形成的过程,以及利用直线和双曲线的位置关系解决综合问题.
【设计意图】
学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质.使学生灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题,更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法,培养学生的解析几何观念,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
(2)以椭圆长轴的端点为焦点,且经过点;
(3),经过点.
思路:本题主要考查用待定系数法求双曲线标准方程,根据条件判断双曲线的焦点的位置.根据条件判断设定方程后寻找、的关系并求解.
解析:(1)由双曲线的定义知,,所以,又知焦点在轴上,且,所以,所以双曲线的标准方程为.
(2)由题意得,双曲线的焦点在轴上,且.
设双曲线的标准方程为,
则有,解得.
故所求双曲线的标准方程为.
(3)当焦点在轴上时,可设双曲线方程为,将点代入,得,所以.因此,所求的双曲线的标准方程为.当焦点在轴上时,可设双曲线方程为,将点代入,得,不可能,所以焦点不可能在轴上.
【分析计算能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的两种形式、各个量之间的关系,掌握求双曲线标准方程的方法.
2.一块面积为12公顷的三角形形状的农场如图所示,中,已知,试建立适当的直角坐标系,求出分别以为左、右焦点且过点的双曲线方程.
思路:本题用坐标法解决双曲线的轨迹方程问题.联立三角函数的定义综合解题.
解析:以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系,如图.设以、为焦点且过点的双曲线方程为,
焦点为.由,
设,则,
得直线和直线的方程分别为和.
联立两方程,解得,即点坐标为.
∵在中,上的高为点的纵坐标,
∴,即点坐标为.
由两点间的距离公式
,
∴.又,故所求双曲线的方程为.
【简单问题解决能力】
通过双曲线的几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有的相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.
【简单问题解决能力】
通过典型坐标法的例题,使学生进一步熟练掌握双曲线标准方程的求解及其定义,强化坐标法解决双曲线的轨迹方程问题的步骤,提升学生数学建模、数形结合及方程思想,发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
3.求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
思路:本题考查对双曲线性质的掌握.
解析:把方程,
化为标准方程,
由此可知,实半轴长,
虚半轴长,
焦点坐标为,
离心率,
顶点坐标为,
所以渐近线方程为,即.
【分析计算能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的基本形式、各个量之间的关系,掌握求双曲线几何性质的方法.
4.根据以下条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点,离心率为;
(2)与椭圆有公共焦点,且离心率;
(3)与双曲线有共同渐近线,且过点.
思路:与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为.
解析:(1)若双曲线的焦点在轴上,设其方程为,
∵,即.①
又双曲线过,②
由①②得,故双曲线方程为.
若双曲线的焦点在轴上,
设其方程为,同理有,③
,④
由③④得(舍去).综上,双曲线的标准方程为.
(2)由椭圆方程,知半焦距为,
∴焦点是.
因此双曲线的焦点为.
设双曲线方程为,
由已知条件,有解得
∴所求双曲线的标准方程为.
(3)设所求双曲线方程为,将点代入得,
∴双曲线方程为,即双曲线的标准方程为.
【分析计算能力】
通过例题巩固双曲线的几何性质的应用,提高解决问题的能力和计算能力.
【简单问题解决能力】
通过例题及时进行总结和检测,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.
5.已知双曲线,求过点且被点平分的弦所在直线的方程.
解析:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.
解法一:由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为,
即,由消去,
整理得.
设,
∴为的中点,
∴,即,解得.
当时,满足,符合题意,
∴所求直线的方程为,即.
解法二:设,
∵、均在双曲线上,∴
两式相减,得.
∵点平分弦.
经验证,该直线存在.
∴所求直线的方程为,即.
【综合问题解决能力】
设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.通过讨论,让学生互相交流,互相学习,培养他们的合作意识和谦虚好学的品质,在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的综合问题解决能力得到训练.
【以学定教】
启发并引导学生理解双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的地位.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.
教学反思
本节教学内容,紧扣新教材,以“问题引导,探究交流”为主,兼容讲解、演示、合作等多种方式,力求灵活运用.在教学目标上,突出了解析思想为主,内容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体,力求多元价值取向.在多媒体应用上,力求灵活实用,不跟着课件走,使得多媒体真正做到为课堂有效服务.增强运用坐标法解决几何问题的能力,不足之处是学生的动手实践能力较差,需要教师引导和点拨.
【以学论教】
为使学生更好地掌握双曲线的标准方程及其简单几何性质,需要在课堂教学时引导学生探究推导过程,多做例题巩固.
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