人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 课后提升训练：3.2.2双曲线的简单几何性质（含解析）

第三章圆锥曲线的方程
3.2　双曲线
3.2.2　双曲线的简单几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2019北京,文5)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=(　　)
A. B.4 C.2 D.
2.(多选题)下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的是 (　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.若双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4.(多选题)已知双曲线的方程为=1,则下列说法正确的是(　　)
A.焦点在y轴上
B.渐近线方程为2x±y=0
C.虚轴长为4
D.离心率为
5.若实数k满足0A.焦距相同 B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等 D.离心率相等
6.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
7.双曲线=1的焦点到渐近线的距离为　　　　.
8.已知双曲线=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为　　　　　.
9.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于　　　　　.
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;
(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.
能力提升练
1.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为(　　)
A.-y2=1
B.=1
C.=1
D.=1
2.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于(　　)
A.-1 B.
C.+1 D.+2
3.已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为 (　　)
A.+1 B.+1 C.2 D.
4.已知l为双曲线C:=1的一条渐近线,其倾斜角为,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为　　　　　;C的方程为　　　　　.
5.直线y=b与双曲线=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,若OB⊥OC,O为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为　　　　　.
6.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D、E两点,求线段DE的长.
素养培优练
　已知椭圆C1:=1(a1>b1>0)与双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)有相同的左、右焦点F1,F2,若点P是C1与C2在第一象限内的交点,且|F1F2|=4|PF2|,设C1与C2的离心率分别为e1,e2,则e2-e1的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
第三章圆锥曲线的方程
3.2　双曲线
3.2.2　双曲线的简单几何性质
课后篇巩固提升答案
基础达标练
1.(2019北京,文5)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=(　　)
A. B.4 C.2 D.
解析∵双曲线的离心率e=,c=,
∴,解得a=,故选D.
答案D
2.(多选题)下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的是 (　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.
答案ABD
3.若双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析由题意知,则e2=1+,
所以e=.
答案D
4.(多选题)已知双曲线的方程为=1,则下列说法正确的是(　　)
A.焦点在y轴上
B.渐近线方程为2x±y=0
C.虚轴长为4
D.离心率为
解析双曲线的方程为=1,则双曲线焦点在y轴上;渐近线方程为2x±y=0;
虚轴长为2;离心率为,判断知AB正确.
答案AB
5.若实数k满足0A.焦距相同 B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等 D.离心率相等
解析由于00,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0),
故两曲线的焦距相同,故答案为A.
答案A
6.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为(　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析由椭圆=1的焦点为(±3,0),可得双曲线的c=3,即a2+b2=9,
由双曲线的渐近线方程为y=±x,可得,解得a2=6,b2=3,
则双曲线的方程为=1.故选D.
答案D
7.双曲线=1的焦点到渐近线的距离为　　　　.
解析双曲线=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=±x,故焦点(4,0)到渐近线y=x的距离d==2.
答案2
8.已知双曲线=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为　　　　　.
解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.
因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=b,于是双曲线渐近线方程为y=±x=±x.
答案y=±x
9.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于　　　　　.
解析令x=-c,得y2=,则|MN|=.
由题意得a+c=,即a2+ac=c2-a2,
∴-2=0,
∴=2或=-1(舍去),即离心率为2.
答案2
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;
(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.
解(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
则2b=8,e=,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.
(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,
解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.
能力提升练
1.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为(　　)
A.-y2=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知ABD均可能.
答案ABD
2.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于(　　)
A.-1 B.
C.+1 D.+2
解析不妨设双曲线标准方程为=1(a>0,b>0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=.
因为∠PF1Q=,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=+1(e=1-舍去),故选C.
答案C
3.已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为 (　　)
A.+1 B.+1 C.2 D.
解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=,故x1+x2=0,x1·x2=,y1·y2=3x1·x2=,设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4,得-6-3=0,解得=3+2.故c=+1,故选B.
答案B
4.已知l为双曲线C:=1的一条渐近线,其倾斜角为,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为　　　　　;C的方程为　　　　　.
解析由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k==tan=1,
解得a=b=,则双曲线的右顶点为(,0),C的方程为=1.
答案(,0)　=1
5.直线y=b与双曲线=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,若OB⊥OC,O为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为　　　　　.
解析直线y=b与双曲线=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,联立
可得B(-a,b),C(a,b).因为OB⊥OC,
∴=-2a2+b2=0,
即2a2=b2,b=±a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
答案y=±x
6.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D、E两点,求线段DE的长.
解(1)∵点A(-,0)和B(,0),
动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2.
|AB|=2>2,
∴点C的轨迹方程是以A(-,0)和B(,0)为焦点的双曲线,
且a=1,c=,
∴点C的轨迹方程是x2-=1.
(2)∵点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2.
∴联立得x2+4x-6=0,
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,
∴|DE|==4.
故线段DE的长为4.
素养培优练
　已知椭圆C1:=1(a1>b1>0)与双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)有相同的左、右焦点F1,F2,若点P是C1与C2在第一象限内的交点,且|F1F2|=4|PF2|,设C1与C2的离心率分别为e1,e2,则e2-e1的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a1,由双曲线的定义可得m-n=2a2,
解得m=a1+a2,n=a1-a2,由|F1F2|=4|PF2|,可得n=c,即a1-a2=c,
由e1=,e2=,可得,
由01,
可得,即1则e2-e1=e2-,
可设2+e2=t(3由于函数f(t)=t+-4在3所以f(t)∈,即e2-e1∈.
答案B
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