《双曲线》竞赛培优
一、选择题
1.(2020·上海交通大学自主招生)将离心率为的双曲线的实半轴长a和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）
A.对任意的
B.当时，；当时，
C.对任意的
D.当时，；当时，
二、填空题
2.(2020·北约联盟自主招生)已知F是双曲线的右焦点，P是C的左支上一点，。当△APF周长最小时，该三角形的面积为______。
参考答案
一、选择题
1.
答案：D
解析：依题意，得
。
因为，
由于，所以当时，，
则，所以；当时，，
则，故。所以当时，；
当时，。
二、填空题
2.
答案：
解析：依题意，得双曲线的右焦点为，实半轴长，左焦点为，因为P在C的左支上，所以△APF的周长，当且仅当A，P，M三点共线且P在A，M中间时取等号，此时直线AM的方程为，与双曲线的方程联立得P的坐标为，此时，△APF的面积为。
1 / 2《双曲线》学考达标练
一、选择题
1.(2020·山东济南外国语学校高二月考)如图，双曲线的左焦点为，双曲线上的点与关于y轴对称，则的值是（ ）
A.3
B.4
C.6
D.8
2.(2020·黑龙江齐齐哈尔中学高二期末)若为三角形的一个内角，且，则曲线是（ ）
A.焦点在x轴上的双曲线
B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
3.(2020·山西大同二中高二月考)设，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.(2020·山东枣庄滕州三中高二期末)已知双曲线方程为，则过点且与该双曲线只有一个公共点的直线有（ ）条
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
5.(2020·四川龙泉一中月考)若双曲线的离心率，则k的取值范围是__________。
6.(2020·湖北黄冈统考)已知方程表示的曲线为C。给出以下四个判断：①当时，曲线C表示椭圆；②当或时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则。其中判断正确的是________（只填正确判断的序号）。
7.(2020·湖南长沙一中月考)设A，B为双曲线上的两点线段AB的中点为。求：（1）直线AB的方程；
（2）△OAB的面积（O为坐标原点）。
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析：设为双曲线的右焦点，连接，由双曲线的对称性，
知。
2.
答案：A
解析：。又为三角形的一个内角，
，故选A。
3.
答案：B
解析：。因为是减函数，所以当时，。所以，即。故选B。
4.
答案：C
解析：由双曲线的方程为，可知点为双曲线的右顶点，直线与双曲线只有一个公共点。又双曲线的渐近线方程为过点且斜率为和的两条直线都与双曲线只有一个公共点。共有3条过点且与双曲线只有一个公共点的直线。
二、填空题
5.
答案：
解析：双曲线方程可变为，则，，
故。
又因为，即，
所以。
6.
答案：②③④
解析：①错误，当时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，
则或；③正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
则；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，
则解得。
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：（1）设
则有，①，②
得。
因为，由点差法，得，即，
所以直线AB的方程为，联立
得，则
即直线符合题意，所以直线AB的方程为。
（2）由（1）知，运用弦长公式得。
点O到直线AB的距离为，
。
1 / 3《双曲线》高考通关练
一、选择题
1.(2020·四川成都诊断)已知点P在曲线上，点Q在曲线上，点R在曲线上，则的最大值是（ ）
A.6
B.8
C.10
D.12
2.(2020·南京模拟)已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）
A.
B.
C.2
D.
3.(2020·湖北襄阳模拟)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.(2020·广东五校协作体诊断考试)已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点B，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.(2020·湖北武汉调研)已知双曲线上有不共线的三点，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，若OD，OE，OF的斜率之和为，则（ ）
A.2
B.
C.
D.3
二、填空题
6.(2020·湖北团风中学月考)双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为，直线与其相交于M，N两点线段MN中点的横坐标为，则双曲线的方程为_______。
7.(2020·广西南宁摸底联考)已知双曲线，且，焦点为，点A在C上。若，则_________。
8.(2020·安徽池州联考)已知点P在双曲线的右支上，其左，右焦点分别为，直线与以坐标原点O为圆心，a为半径的圆相切于点A，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为_______。
9.(200·安徽合肥一中高二期末)已知分别为双曲线且的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点。给出下面四个命题。
①△的内切圆的圆心必在直线上
②△的内切圆的圆心必在直线上；
③△的内切圆的圆心必在直线OP上；
④△的内切圆必经过点。
其中真命题的序号是________。
三、解答题
10.(2020·河南洛阳尖子生第一次联考)已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离。
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若，求△AOB的面积的取值范围。
参考答案
一、选择题
1.
答案：C
解析：由双曲线的知识，得的两个焦点分别是与，且，而这两点正好是两圆和的圆心，且两圆和的半径分别是，
所以，
所以的最大值为。
故选C。
2.
答案：B
解析：因为，即，所，即，即，即。
3.
答案：A
解析：由题可知，椭圆，
。
双曲线，
又椭圆与双曲线有相同的焦点，
。
，
，即，
而，。
4.
答案：B
解析：过点B作x轴的垂线，垂足为C，如图所示。
，。
又，点B的坐标为。
点B在双曲线上，
，
化简得，解得。故选B。
5.
答案：C
解析：设，将A，B两点坐标代入双曲线方程，
作差并化简，得，即，
同理可得，
依题意有，
则。
二、填空题
6.
答案：
解析：由题意知MN中点的坐标为，
设双曲线的方程为，，
则，①。②
得，
即，
所以，解得，故双曲线的方程为。
7.
答案：
解析：由题意得解得，。
又由已知可得，所以，即，
所以。
8.
答案：
解析：如图，点A为直线与圆的切点，点B为的中点，因为，所以由中位线定理可得，又因为，所以，所以，又由线段的垂直平分线恰好过点，可得。根据双曲线的定义，有，所以，即，两边平方并化简得，所以，解得，所以。则渐近线的斜率为。
9.
答案：①④
解析：设△的内切圆分别与切于点，与切于点M，则。又点P在双曲线的右支上，所以|，故，而，设点M的坐标为
，可得，解得，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①④正确。
三、解答题
10.
答案：见解析
解析：（1）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线的距离
。
由解得
双曲线C的方程是。
（2）方法一：由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为。
设点。
由得点P的坐标为。
将点P的坐标代入中，化简，得。
令，则，所以，故。
又，。
记，则，
当且仅当时取等号。
又易得在上是减函数，在上是增函数，且，
当时，△AOB的面积取得最小值2；当时，△AOB的面积取得最大值，
△AOB的面积的取值范围是。
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