人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 3.2《双曲线》课时3 教学设计

《双曲线》教学设计
课时3双曲线的简单几何性质(2)
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
双曲线及其标准方程 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 【考查内容】 1.根据几何条件求出双曲线的方程. 2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用. 3.运用双曲线的方程与性质解决综合问题. 【考查题型】 填空题、选择题、解答题
双曲线的简单几何性质 (1) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
双曲线的简单几何性质 (2) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种,传统的处理方法是先学习椭圆,再学习双曲线,这充分考虑了紧密联系知识体系和由易到难的教学要求,符合学生的学习,在新课程教材中继续保留,前面有椭圆知识及学习方法的铺垫,后面有抛物线学习的综合加强,有利于学生掌握和巩固.双曲线的定义与椭圆的定义很相似,但不容易掌握而又非常重要,学习时要注意和椭圆的联系与区别,为深刻体会圆锥曲线的统一定义做好充分准备,又可对学生进行运动、变化、联系、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.双曲线及其标准方程 2.双曲线的简单几何性质(1) 3.双曲线的简单几何性质(2) 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些双曲线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.通过椭圆的学习,学生已经对圆锥曲线有所了解,对探索圆锥曲线的方法基本掌握.通过类比的方法探究双曲线及其标准方程,学生比较熟悉.通过探究、操作,归纳得出双曲线的定义,以及根据条件列出等式并化简整理得到双曲线的标准方程,学生皆可以类比椭圆的学习过程来完成.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.双曲线及其标准方程
2.双曲线的简单几何性质(1)
3.双曲线的简单几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其几何性质.
2.理解直线与双曲线的位置关系.
3.运用标准方程解决相关问题.
【教学策略设计】
本节对双曲线的教学,是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉的基础上进行的,学生基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法,而双曲线问题,它与椭圆问题有类似性,知识的正迁移作用可在本节课中充分显示,所以讲解时应采用类比的方法让学生以自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程,最后反思应用.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.
2.掌握双曲线的简单几何性质.
难点:
1.推导双曲线的标准方程.
2.双曲线方程的简单应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:什么是双曲线
生:一般地,我们把与平面内两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
师:双曲线的性质都有哪些 请同学们填表回顾.
【学生填表,教师补充】
生:
焦点 位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
范围 或 ,或
对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:坐标原点
顶点 坐标
轴 线段叫做双曲线的实轴,它的长|, 线段叫做双曲线的虚轴,它的长
渐近线
离心率 ,其中
【以学定教】
通过填表进行对比总结,不仅使学生加深了对双曲线定义和标准方程的理解,有助于本节教学目标的实现,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后边抛物线及其他知识的学习打下基础.
师:本节课我们将继续利用双曲线的几何性质解决双曲线有关的问题.
教学精讲
探究1 双曲线的实际应用
【典型例题】
双曲线的实际应用
例1 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图(1)).它的最小半径为,上口半径为,下口半径为,高为.试建立适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到).
【求此双曲线的方程,应从何处着手 分析题目条件,正确理解题意】
师:双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面是我们学过的哪种曲面
生:旋转面.
师:回忆一下立体几何中的相关概念:一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.“此双曲线”与“双曲线型冷却塔的外形”之间是什么关系
【实际问题抽象成为数学问题】
生:先将双曲线型冷却塔的外形抽象成一个曲面,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.
反之,“双曲线型冷却塔的外形”与经过它的轴的平面的交线,就是“此双曲线”的一部分.
师:题目中的“半径”是什么意思
生:垂直于轴的平面与“双曲线型冷却塔的外形”相交,所得到的圆的半径.
师:“最小半径”与该双曲线有什么联系
生:“最小半径”等于该双曲线实轴长的一半.
师:如何恰当地建立坐标系
生:根据前面的分析,应在冷却塔的轴截面所在平面建立直角坐标系.具体来说,以最小半径所在的直线为轴,双曲线的虚轴所在的直线作为轴,建立平面直角坐标系.
师:如何求双曲线的方程
生:根据前面的分析,设出双曲线的标准方程,利用已知条件列出方程组求解.
【师生共同研究,学生讲解题思路,教师板书】
师解:根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图(2)所示的直角坐标系,使小圆的直径在轴上,圆心与原点重合.
这时,上、下口的直径、都平行于轴,且.
设双曲线的方程为,点的坐标为,则点的坐标为.
得
因为直径是实轴,所以,又因为点和点都在双曲线上,所以(负值舍去),代入方程①,得.
化简得.③
解方程③,得(负值舍去),因此所求双曲线的方程为.
【以学定教】
从生活中的实例出发,类比求椭圆的标准方程的坐标法,从而利用双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,培养学生应用数学的能力.
【活动学习】
利用坐标法解决实际问题,让学生先回顾坐标法的步骤,然后学生通过动手实践体会利用坐标法求双曲线方程的应用,感受数学来源于生活的本质.
【分析计算能力】
通过典例解析,归纳基本题型,帮助学生形成基本解题思路,进一步体会数形结合的思想方法和双曲线解决实际问题的基本步骤.发展学生分析计算能力,数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
师:我们总结一下利用双曲线解决实际问题的基本步骤.
【要点知识】
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
1.建立适当的坐标系.
2.求出双曲线的标准方程.
3.根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.
探究2 坐标法求双曲线的轨迹问题
师:我们接下来看一道求双曲线的轨迹的问题.
【典型例题】
坐标法求双曲线的轨迹问题
例2 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求动点的轨迹.
师:如何求点的轨迹 点的轨迹是什么呢
生:点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.
师:如何用集合表示点的轨迹
生:设是点到直线的距离,根据题意,动点的轨迹就是集合.
师:上面集合中的等式,如何用坐标表示
【师生交流,教师板书,学生动手实践】
生:由两点间距离公式和点到直线距离公式,可得.
师:如何化简上述方程 点的轨迹是什么呢
生:上述方程可化为,
两边平方,并化简,得,即.
则点的轨迹是焦点在轴上,实轴长为6,虚轴长为的双曲线.
师:此前我们学习椭圆时,做过这样一道类似的题目:
动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求动点的轨迹.比较这两题,你有什么发现
生:平面内到定点的距离与到定直线(直线不经过点)的距离的比是常数的点的轨迹可能是椭圆,也可能是双曲线.
【以学定教】
利用坐标法解决实际问题,让学生先回顾坐标法的步骤,然后学生通过动手实践体会利用坐标法求双曲线方程的应用,感受数学来源于生活的本质.
【推测解释能力】
通过典型例题,掌握双曲线的基本几何性质及其简单运用,掌握利用双曲线的几何性质求标准方程的思路,提升学生数学建模、数形结合、方程思想及推测解释能力.
【师生共同总结坐标法解决平面几何问题的方法步骤,教师展示多媒体】
【归纳总结】
用坐标法解决平面几何问题的三步曲
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
探究3 直线与双曲线的位置关系
师:判断直线与椭圆位置关系的方法有什么
生:(1)联立方程,借助一元二次方程的判别式来判断;
(2)借助直线和椭圆的几何性质判断.
师:直线与椭圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与双曲线的位置关系中呢 我们继续研究下面的例题.
【典型例题】
直线与双曲线的位置关系
例3 过双曲线的右焦点,倾斜角为30度的直线交双曲线于、两点,求.
【教师提示】求弦长问题有两种方法:
方法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长.
方法二:有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.
【教师引导学生思考,学生独立做题,教师巡视给予个别指导,并展示多媒体】
【典例解析】
直线与双曲线的位置关系
解:如图,由双曲线的方程得,两焦点分别为.因为直线的倾斜角是,且直线经过右焦点,所以,直线的方程为.(1)
由消去,得.
解这个方程,得.将、的值代入(1),得.
于是,、两点的坐标分别为.
所以.
【意义学习】
通过典例解析,理解直线与双曲线位置关系的判断方法,及求弦长问题的基本解题思路,进一步体会数形结合的思想方法.发展学生分析计算能力以及数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
【自主学习】
学生思考,独立做题,对直线与双曲线的位置关系有了更深度地理解,提升学生的自主学习能力.
师:我们根据例题总结一下直线与双曲线位置关系的判断方法.
【方法策略】
直线与双曲线位置关系的判断方法
1.方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为的形式,在的情况下考察方程的判别式.
(1)时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)时,直线与双曲线只有一个公共点.
(3)时,直线与双曲线没有公共点.
当时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.
2.数形结合思想的应用
(1)直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
(2)直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
提示:利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.
【深度学习】
学生通过观察具体的图形,类比直线与椭圆位置关系得到的方法,寻找直线与双曲线的位置关系的判断方法,培养学生发现规律、寻求方法、总结结论的思维路线,经历知识形成的全过程,使学生真正理解自己总结出来的知识,从而达到形成技能的目的.
师:学习了直线与双曲线位置关系的判断方法,请大家巩固练习一下.
【巩固练习】
直线与双曲线的位置关系
已知双曲线及直线,
(1)若直线与双曲线有两个不同的交点,求实数的取值范围;
(2)若直线与双曲线交于、两点,是坐标原点,且的面积为,求实数的值.
【学生分析】直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与“0”的关系直线与双曲线的位置关系.
【巩固练习】
直线与双曲线的位置关系
解:(1)联立方程组
消去并整理得.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
则,
解得,且.
∴若与有两个不同交点,实数的取值范围为.
(2)设,
对于(1)中的方程,
由根与系数的关系,得,,
∴.
又∵点到直线的距离,
∴,
即,解得或实数的值为或0.
【综合问题解决能力】
通过练习巩固直线与双曲线的位置关系的判断方法,通过学生分析解答,培养学生发现问题、解决综合问题的能力.将直线与双曲线的位置关系转化为方程组的解,体现从量变到质变的哲学思想.提升综合问题解决能力.
探究4 双曲线方程的一般式
师:求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出、的值.若焦点位置不确定,可按焦点在轴和轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为,通过解方程组即可确定、,避免了讨论,从而简化求解过程.
【要点知识】
双曲线方程的一般式
.
师:下面请看一道求双曲线的标准方程的例题.
【典型例题】
双曲线方程的一般式的应用
例4 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)焦点在轴上,经过点和点;
(2)过点且焦点在坐标轴上.
师解:(1)因为焦点在轴上,可设双曲线方程为,
将点和代入方程得
解得,所以双曲线的标准方程为.
(2)设双曲线的方程为.
因为点、在双曲线上,则解得
故双曲线的标准方程为.
【简单问题解决能力】
通过典例解析加深对双曲线的一般式的理解,帮助学生形成求解双曲线标准方程的通用的解题思路,让学生体会数形结合的思想方法的同时.发展学生简单问题解决能力.
【整体学习】
利用方程的思想判断直线与双曲线的位置关系,就是双曲线的简单几何性质的综合应用,让学生体会解题的本质,降低思维难度,提高自我获取知识的能力.
师:我们来总结一下本节课所学知识.
【课堂小结】
双曲线的简单几何性质(2)
1.双曲线的简单几何性质及其简单应用.
2.直线与双曲线的位置关系.
3.双曲线方程的一般式.
4.体会双曲线方程的实际应用.
【设计意图】
通过双曲线的简单几何性质知识练习巩固,学生自主解决问题,发展数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
教学评价
本节通过双曲线的方程研究双曲线的简单几何性质,使学生经历知识产生与形成的过程,以及利用直线和双曲线的位置关系解决综合问题.
【设计意图】
学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质.使学生灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题,更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法,培养学生的解析几何观念,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
(2)以椭圆长轴的端点为焦点,且经过点;
(3),经过点.
思路:本题主要考查用待定系数法求双曲线标准方程,根据条件判断双曲线的焦点的位置.根据条件判断设定方程后寻找、的关系并求解.
解析:(1)由双曲线的定义知,,所以,又知焦点在轴上,且,所以,所以双曲线的标准方程为.
(2)由题意得,双曲线的焦点在轴上,且.
设双曲线的标准方程为,
则有,解得.
故所求双曲线的标准方程为.
(3)当焦点在轴上时,可设双曲线方程为,将点代入,得,所以.因此,所求的双曲线的标准方程为.当焦点在轴上时,可设双曲线方程为,将点代入,得,不可能,所以焦点不可能在轴上.
【分析计算能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的两种形式、各个量之间的关系,掌握求双曲线标准方程的方法.
2.一块面积为12公顷的三角形形状的农场如图所示,中,已知,试建立适当的直角坐标系,求出分别以为左、右焦点且过点的双曲线方程.
思路:本题用坐标法解决双曲线的轨迹方程问题.联立三角函数的定义综合解题.
解析:以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系,如图.设以、为焦点且过点的双曲线方程为,
焦点为.由,
设,则,
得直线和直线的方程分别为和.
联立两方程,解得,即点坐标为.
∵在中,上的高为点的纵坐标,
∴,即点坐标为.
由两点间的距离公式
,
∴.又,故所求双曲线的方程为.
【简单问题解决能力】
通过双曲线的几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有的相关知识和方法,链接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律.
【简单问题解决能力】
通过典型坐标法的例题,使学生进一步熟练掌握双曲线标准方程的求解及其定义,强化坐标法解决双曲线的轨迹方程问题的步骤,提升学生数学建模、数形结合及方程思想,发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
3.求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
思路:本题考查对双曲线性质的掌握.
解析:把方程,
化为标准方程,
由此可知,实半轴长,
虚半轴长,
焦点坐标为,
离心率,
顶点坐标为,
所以渐近线方程为,即.
【分析计算能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解双曲线标准方程的基本形式、各个量之间的关系,掌握求双曲线几何性质的方法.
4.根据以下条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点,离心率为;
(2)与椭圆有公共焦点,且离心率;
(3)与双曲线有共同渐近线,且过点.
思路:与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为.
解析:(1)若双曲线的焦点在轴上,设其方程为,
∵,即.①
又双曲线过,②
由①②得,故双曲线方程为.
若双曲线的焦点在轴上,
设其方程为,同理有,③
,④
由③④得(舍去).综上,双曲线的标准方程为.
(2)由椭圆方程,知半焦距为,
∴焦点是.
因此双曲线的焦点为.
设双曲线方程为,
由已知条件,有解得
∴所求双曲线的标准方程为.
(3)设所求双曲线方程为,将点代入得,
∴双曲线方程为,即双曲线的标准方程为.
【分析计算能力】
通过例题巩固双曲线的几何性质的应用,提高解决问题的能力和计算能力.
【简单问题解决能力】
通过例题及时进行总结和检测,同时检查学生本节课的学习效果,主要是为了让学生查漏补缺,巩固提升.
5.已知双曲线,求过点且被点平分的弦所在直线的方程.
解析:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题,解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.
解法一:由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为,
即,由消去,
整理得.
设,
∴为的中点,
∴,即,解得.
当时,满足,符合题意,
∴所求直线的方程为,即.
解法二:设,
∵、均在双曲线上,∴
两式相减,得.
∵点平分弦.
经验证,该直线存在.
∴所求直线的方程为,即.
【综合问题解决能力】
设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.通过讨论,让学生互相交流,互相学习,培养他们的合作意识和谦虚好学的品质,在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的综合问题解决能力得到训练.
【以学定教】
启发并引导学生理解双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫,具有承上启下的地位.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.
教学反思
本节教学内容,紧扣新教材,以“问题引导,探究交流”为主,兼容讲解、演示、合作等多种方式,力求灵活运用.在教学目标上,突出了解析思想为主,内容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体,力求多元价值取向.在多媒体应用上,力求灵活实用,不跟着课件走,使得多媒体真正做到为课堂有效服务.增强运用坐标法解决几何问题的能力,不足之处是学生的动手实践能力较差,需要教师引导和点拨.
【以学论教】
为使学生更好地掌握双曲线的标准方程及其简单几何性质,需要在课堂教学时引导学生探究推导过程,多做例题巩固.
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