高中数学：第二章 直线和圆的方程重点（含解析）

直线和圆的方程（重点）
一、单选题
1．在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知直线，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知直线 ，以下结论不正确的是（ ）
A．不论a为何值时， 与 都互相垂直
B．当a变化时，与分别经过定点 和
C．不论a为何值，与都关于直线对称
D．如果 与交于点为坐标原点，则 的最大值是
4．若过点的直线截圆的弦长为8，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．已知两点，，直线l过点且与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若直线与圆相切，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
7．对于直线：（），现有下列说法：
①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变；
②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限；
③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；
④当取不同数值时，可得到一组平行直线．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知两点，从点射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MN的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题正确的是（ ）
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
11．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是　　
A． B． C． D．
12．设集合①存在直线l，使得集合中不存在点在l上，而存在点在l两侧；②存在直线l，使得集合中存在无数点在l上：（ ）
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
二、多选题
13．已知直线：与：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线可能重合
B．直线与直线可能垂直
C．直线与直线可能平行
D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合
14．下列说法正确的是（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．过、两点的直线方程为
C．直线与直线相互垂直．
D．直线在轴上的截距为
15．已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆
B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为
D．当时，表示的圆与轴相切
16．已知圆和圆的交点为、，则（ ）
A．两圆的圆心距
B．圆上存点，圆上存在点，使得
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
17．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点
18．如图所示，M，N是圆O：上的两个动点，线段MO的延长线与直线l：交于点P，若，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．
D．的最大值为
三、填空题
19．经过两点的直线的一个方向向量为，则__________．
20．在平面直角坐标系中，已知两点，为坐标原点，则的平分线所在直线的方程为___________.
21．已知圆C1：与圆C2：，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.
22．如图1，等腰直角三角形，， 为中点，为平面内过 点的一条动直线，沿直线作如图2的翻折，点在翻折过程中记为点，在直线上的射影为，在平面上的射影落在直线上，则当取得最小值时，到直线的距离为________．
四、解答题
23．在平面直角坐标系xOy中，设直线（）．
(1)求证：直线l经过第一象限；
(2)当原点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
24．已知顶点，边上的高为且垂足为E.
(1)求边上中线所在的直线方程；
(2)求点E的坐标．
25．已知圆，直线．
(1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于A、两点，若直线的倾斜角为120°，求弦的长．
26．已知圆，动直线
（1）判断直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点；
（2）动直线l与圆C所成的弦中，求以最长弦和最短弦为对角线的四边形ABCD的面积.
27．已知点，圆：．
(1)判断点与圆的位置关系，并加以证明；
(2)当时，经过点的直线与圆相切，求直线的方程；
(3)若经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，求点横坐标的取值范围．
28．已知点及圆：.
（1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程；
（2）设过P直线与圆交于M、N两点，当时，求以为直径的圆的方程；
（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值.
29．在直线l上任取不同的两点A，B，称为直线l的方向向量与直线l的方向向量垂直的非零向量称为l的法向量，在平面直角坐标系中，已知直线是函数的图象，直线是函数的图象.
（1）求直线和直线所夹成的锐角的余弦值；
（2）已知直线平分直线与直线所夹成的锐角，求直线的一个方向向量的坐标；
（3）已知点，A是与y轴的交点，是的法向量.求在上的投影向量的坐标(求出一个即可)，并求点P到直线的距离.
30．已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4.
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，点，M为线段AB上一点且满足，记点的轨迹为曲线.
①求曲线的方程，并说明曲线的形状；
②在直线上是否存在异于原点的定点，使得对于上任意一点，为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.
参考答案：
一、单选题
1．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，将表示成a的函数，求出函数的值域的作答.
【解析】依题意，，直线l的方向向量，则有，
解得，因此，，
因当时，取最小值，则有，
所以的取值范围是.
故选：D
2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.
【解析】如图所示，
设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
3．直线l：y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x＋10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l有
A．6条 B．7条 C．8条 D．无数条
【答案】B
【解析】试题分析：，所以 值有7个，直线有7条
故选：B
考点：直线交点
4．已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：
①；
②当时，有最小值，无最大值；
③；
④当且时，的取值范围是.
正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由与的位置关系有，数形结合法判断位置，结合的几何意义判断、的范围，应用点线距离公式有判断③.
【解析】将代入有，
而与在的两侧，则，①错误；
由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分，
所以，故无最值，②错误；
由上图知：在直线左上方，则，③正确；
由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分，
而表示与连线的斜率，由图知：，④正确.
故选：B
5．已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得直线（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【解析】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线与x轴的交点为M，
由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有．
③若点M在点A的左侧，
则，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，
即，化简可得 ．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 1，∴，化简可得，
故有1．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选：B．
6．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解.
【解析】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，
由得点，由得点，而，，
于是得，
而表示动点到定点与的距离的和，
显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，
当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得取最小值，
所以，当直线l3方程为：时，取最小值.
故选：C
7．若曲线：与曲线：有三个不同的公共点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】表示的是圆，表示的两条直线，结合三个不同的交点，从而确定只需直线y mx m=0与圆相交，根据圆心到直线距离小于半径，求出的范围，再去掉不合要求的值，从而确定实数的取值范围.
【解析】由题意可知曲线：表示一个圆，
化为标准方程得：(x 1)2+y2=1，
所以圆心坐标为(1,0)，半径r=1；
：表示两条直线x=0和y mx m=0，
由直线y mx m=0可知：此直线过定点( 1,0)，
其中直线x=0与圆有1个交点为，要想，有3个不同的交点，
只需直线y mx m=0与圆有2个交点，即直线与圆相交，
在平面直角坐标系中画出图象如图所示：
圆心到直线的距离，
化简得：
所以
当时，直线y mx m=0化简为，此时直线与圆的交点为，
综上：当时，与交点个数为2个，不合要求，
所以m∈，
故选：D.
8．已知圆．动直线于圆C交于A，B两点，线段的中点为P，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得C(4，0)和直线l过定点，设，利用平面向量的坐标表示得出P的轨迹方程，进而
根据，计算即可.
【解析】由题意知，圆C：，得圆心C(4，0)，半径为4，
，得直线l过定点，
设，则，
根据题意，得，所以，有，
即，
所以中点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以，
所以，，
所以的取值范围为，
故选：B
9．已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题设，为等腰△底边中线长度的2倍，为底边长度，而是直线在坐标轴上的截距，由已知条件并结合数形结合思想及圆的性质，求的范围.
【解析】
设AB中点为C，则OC⊥AB，∵，
∴，∴，∵，
∴，∵直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，
∴，∴4＞，
∴4＞，∵k＞0，∴.
故选：C．
10．已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等边的边长为2，以边的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，通过向量的坐标运算，将、用表示出来，然后利用辅助角公可求出的最大值
【解析】解：设的边长为2，不妨以线段的中点为坐标原点，
建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、，
以线段直径的圆的方程为，
设点，
则，，
，
由于，
则，
解得，
所以，，
因此，的最大值为，
故选:C.
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，涉及圆的参数方程、辅助角公式，关键在于引入合适的变量来表示问题涉及的参数．
11．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，由两点距离公式计算可得根据题意可得，进而利用点到直线的距离公式即可求解．
【解析】设，
，
，即．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线上存在点Q使得，
则PQ为圆的切线时最大，如图，
，即．
圆心到直线的距离，
或．
故选：B．
12．太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线.给出以下命题：
①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分的面积分别记为，，则；
②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；
③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.
其中所有正确命题的序号是（ ）.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系，逐项分析判断即可得解．
【解析】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，
所以大圆的面积为，小圆的面积为．
对于①，当时，直线的方程为．
此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，
，，
所以，故①正确．
对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为
当时，直线的方程为，
即，小圆圆心到直线的距离，
所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，
所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．
对于③，当时，如图3所示，
直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，
当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．
综上所述，①②正确．
故选：A．
二、多选题
13．设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的为（ ）
A．存在实数，使得点在直线上；
B．若，则过的直线与直线平行；
C．若，则直线经过的中点；
D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；
【答案】BCD
【分析】对于A，点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而可判断A不正确．
对于B，当时，若，则，整理得，再结合不在直线上科判断，当时，若，可判断故，进而得到，再综合得答案．
对于C，若，即可得到，即可判断C．
对于D，若，则，或，根据点与直线的位置关系即可判定D．
【解析】解：对于A选项，若点在直线上则，
不存在实数，使点在直线上，故A不正确；
对于B选项，当时，若，则，整理得，此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上，故过、两点的直线与直线平行；当时，若，则，整理得，此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾，故，所以， 即，所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确；
对于C选项，若，则
即，，
直线经过线段的中点，即C正确；
对于D选项，若，则，或，
所以，且，
所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等，所以直线与线段不平行．故D正确．
故选：BCD．
14．如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为（　　）
A．若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个
B．若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个
C．若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个
D．若，则点M在一条过点O的直线上
【答案】ABC
【分析】根据点M的“距离坐标”的定义逐一判断即可.
【解析】A. 若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确.
B. 若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确.
C. 若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个，如图，故正确.
D. 若，则点M在的轨迹是两条过O的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确.
故选：ABC.
15．已知圆M：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（ ）
A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1
C．四边形AMBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点
【答案】BD
【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形AMBP面积为，可判断C，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可判断D.
【解析】由圆M：，可知圆心，半径，
∴圆心到直线l：的距离为，圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；
由圆的性质可得切线长，
∴当最小时，有最小值，又，
∴，故B正确；
∵四边形AMBP面积为，
∴四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；
设，由题可知点A，B，在以为直径的圆上，又，
所以，即，
又圆M：，即，
∴直线AB的方程为：，即，
由，得，即直线AB恒过定点，故D正确.
故选：BD.
16．（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到直线的最小距离为
B．圆上的点到直线的最大距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】求出线段的中垂线的方程，由圆心到中垂线的距离等于半径求出的值，可得圆的方程，求出圆心到的距离，则、分别为圆上的点到直线的最小距离和最大距离可判断选项A、B；令，令圆心到该直线的距离等于半径列方程求出的值可判断C；计算圆心距小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，解不等式求出的取值范围可判断D，进而可得正确选项.
【解析】因为，所以是等腰三角形，可得的外心、重心、垂心都位于的垂直平分线上，由点，点可得线段的中点为，且直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为，即.又圆的圆心为，直线与圆相切，所以点到直线的距离为，所以圆.
对于选项A、B：圆的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故选项A正确，选项 B错误；
对于C，令，即，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故选项C正确；
对于D，圆的圆心为，半径为，若该圆与圆有公共点，则，即，解得，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
17．已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．
【答案】
【分析】由题意求出的轨迹方程，与直线方程联立，再由面积关系求解
【解析】设，则，
整理得．
设，．联立
整理得，
故①，②．
又，故③．
联立①②③，解得．
故答案为：
18．定义点到直线的有向距离.已知点到直线l的有向距离分别是，给出以下命题：①若，则直线与直线l平行；②若，则直线与直线l平行；③若，则直线与直线l垂直；④若，则直线与直线l相交.其中正确命题的个数是_______.
【答案】1
【分析】设点的坐标分别为，求出，可知当时，命题①②③均不正确，当时，在直线的两边，可以判断命题④正确.
【解析】设点的坐标分别为，则，，
若，则，即，
所以，若，
即，则点都在直线l上，
此时直线与直线l重合，故命题①②③均不正确，
当时，在直线的两边，则直线与直线l相交，故命题④正确.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键，综合性较强.
19．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为______．
【答案】##
【分析】建立直角坐标系，利用列式化简，可得点的轨迹方程，再代入，从而可得答案.
【解析】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
则，设，由，
所以，两边平方并整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以，
则有，
所以的最大值为.
故答案为：.
20．已知点A为圆和在第一象限内的公共点，过点A的直线分别交圆，于C，D两点（C，D异于点A），且，则直线CD的斜率是___________.
【答案】1或5
【分析】先求出.设直线CD为：.过作于F，过作于E. 由垂径定理表示出，
.根据列方程，解出k的值.
【解析】因为点A为圆和在第一象限内的公共点，
所以由解得：（y=-1舍去）故.
由题意可知，直线CD的斜率存在，设其为k，则直线CD为：.
过作于F，过作于E.
则，
由垂径定理得：，.
因为，所以，
解得：或.
故答案为：1或5.
四、解答题
21．已知直线，.
(1)若直线l与直线垂直，求实数的值
(2)若直线l在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，求直线l的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据直线垂直的充要条件列方程求解即可；
（2）求出在坐标轴上的截距，由条件求出，即可得出直线方程.
（1）
因为直线l与直线垂直，
所以，解得或.
（2）
令，得，令，，
由题意知，解得或，
所以直线l的方程为或.
22．已知直线：．
（1）求经过的定点坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点．
①的面积为，求的最小值和此时直线的方程；
②当取最小值时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）①的最小值为，；②.
【分析】（1）整理已知方程，使得的系数等于即可求解；
（2）①求出点，的坐标，利用表示的面积为，利用基本不等式求最值，由等号成立的条件可得的值，进而可得直线的方程；②设直线的倾斜角为，则，可得，，再利用三角函数的性质计算 的最小值，以及此时的值，进而可得的值以及直线的方程.
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以经过的定点坐标；
（2）直线：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面积
，
当且仅当即时等号成立，的最小值为，
此时直线的方程为：即；
②设直线的倾斜角为，则，可得，，
所以，
令，
因为，可得，，
，
将两边平方可得：，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以
，所以，此时，
可得，所以，
所以直线的方程为.
23．已知圆：，
(1)若过定点的直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若过定点且倾斜角为30°的直线与圆相交于，两点，求线段的中点的坐标；
(3)问是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)或
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）首先设直线的方程为：，与圆的方程联立，令，即可求解的值；
（2）设直线的方程为：，与圆的方程联立，利用韦达定理表示中点坐标；
（3）方法一，设直线：，与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解；方法二，设圆系方程，利用圆心在直线，以及圆经过原点，即可求解参数.
(1)
根据题意，设直线的方程为：
联立直线与圆的方程并整理得：
所以，，
从而，直线的方程为：或；
(2)
根据题意，设直线的方程为：
代入圆方程得：，显然，
设，，则，
所以点的坐标为
(3)
假设存在这样的直线：
联立圆的方程并整理得：
当
设，，则，
所以
因为以为直径的圆经过原点，所以，，
∴，即
均满足.
∴，
所以直线的方程为：或.
（3）法二：可以设圆系方程
则圆心坐标，圆心在直线上，
得 ①
且该圆过原点，得 ②
由①②，求得或
所以直线的方程为：或.
24．如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数
（1）设，求面积的最小值；
（2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在；
【分析】(1)利用直线的点斜式方程直线l的方程，再利用两条直线的交点坐标得和，再结合题目条件得，当时，得直线OA的方程为，
和，以及，再利用点到直线的距离公式得点M和N到直线OA的距离，从而得面积，令，则，从而得S
，再利用基本不等式求最值，计算得结论；
(2)利用(1)的结论，结合两点间的距离公式得和，计算，由得结论．
【解析】(1)因为直线l过点，且斜率为k，
所以直线l的方程为
因为直线l与，分别交于点M，N，所以，
因此由得，即，
由得，即
又因为M，N的纵坐标均为正数，
所以，即
而，因此
又因为当时，直线OA的方程为，
，，且，
所以点M到直线OA的距离为，
点N到直线OA的距离为，
因此面积
令，则且，
因此
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以S的最小值为，即面积的最小值为
(2)存在实数，使得的值与k无关．
由(1)知：，，且
因此，，
所以
又因为，所以当时，为定值，
因此存在实数，使得的值与k无关．
25．已知圆，直线 .
（1）求直线所过定点A的坐标；
（2）求直线被圆C所截得的弦长最短时的值及最短弦长；
（3）已知点，在直线上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数.
【答案】（1）；（2）；；（3），常数.
【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线过定点的坐标．
（2）当时，所截得弦长最短，由题知，，求出的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．
（3）由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，
则设，，得，且，求出，然后求解比值．
【解析】解：（1）依题意得，，
令且，得，直线过定点，
（2）当时，所截得弦长最短，由题知，，
，得，由得，
圆心到直线的距离为，
最短弦长为．
（3）由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，
则设，，得，且
整理得，
上式对任意，恒成立，
且
解得或，（舍去，与重合）
综上可知，在直线上存在定点，使得为常数
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
26．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作.
(1)求点到线段l：的距离；
(2)设l是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积；
(3)写出到两条线段 距离相等的点的集合，其中，，，，，.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出过点与直线垂直的直线，求出垂足，根据，判断出线段l：的端点使得最小；（2）不妨设线段为l，且，，画出满足的图象，求出面积；（3）根据ABCD四个点的位置，得到四边形ABCD为等腰梯形，故BC的垂直平分线即为所求.
(1)
设过点与直线垂直的直线为，代入点，解得：，所以，两直线垂直，联立得：，解得：，故垂足为，显然，设线段l：的端点，则为求点到线段l：的距离.
(2)
不妨设线段为l，且，，此时点集D由如下曲线围成，其中由两个半圆和两条线段组成，其中两半圆圆心分别为和，半径为1，两线段分别是（ ），（），故图形面积为.
(3)
，，故，且，，所以，故四边形ABCD为等腰梯形，故到两条线段 距离相等的点的集合为线段AD或BC的垂直平分线，其中AD中点坐标为，BC的中点为，故直线GF：.
所以
27．在平面直角坐标系中，圆，直线，直线.
（1）已知为直线上一点，
①若点在第一象限，且，求过点圆的切线方程；
②若存在过点的直线交圆于点，且B恰为线段的中点，求点横坐标的取值范围；
（2）设直线与轴交于点，线段的中点为，为圆上一点，且，直线与圆交于另一点，求线段长的最小值.
【答案】（1）①或；②；（2）.
【分析】（1）①设，根据 ，求得点P的坐标，再利用圆的切线求法求解.②设，，根据B恰为线段的中点，求得点B的坐标，再根据点A，B都在圆上，得到两圆有公共点求解.
（2）设，根据R在圆上，且，求得R的坐标，得到RM的方程，进而与圆联立，求得N的坐标，再利用两点间距离公式结合二次函数求解.
【解析】（1）①设，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
因为点P在第一象限，
所以 ，则 ，
当切线斜率存在时，设直线方程为 ，
即 ，
由圆心到直线的距离相等得，
解得 ，
所以切线方程是 ，
当斜率不存在时，，
综上：过点圆的切线方程为或；
②设，，
因为B恰为线段的中点，
则，
所以，
因为点A，B都在圆上，
所以即 ，
所以两圆有公共点，
所以，
解得 ，
所以点P的横坐标的取值范围是
（2）设，
因为点R在圆上，且，
所以。
解得，
所以RM的方程为，
由 ，解得 ，
又，
所以 ，
当，即时，.
【点睛】方法点睛：过一点求圆的切线的方法：
（1）过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：
先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.
（2）过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：
当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．
28．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．
（1）求a的值；
（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；
（3）问：满足条件的点P有几个？请说明理由．
【答案】（1）a＝3；（2）3x+4y+15＝0；（3）2个，理由见解析．
【分析】(1)依题意计算 ，可得结果；
(2)解法1(代数法)：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d的最大值即可得结果；
解法2(几何法)：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，当且仅当O1，O，P三点共线时，d取得最大值，从而得解；
(3)采用分类讨论，O1，O 在直线 AB 同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得 d2+(2t)2＝100，并得t2＝|MP|2＝25﹣(d﹣3)2 或 t2＝|MP|2＝25﹣(d+3)2计算即可判断．
【解析】解：(1)当直线l过圆心点O1时，
，
解得a＝3(负值舍去)．
(2)解法1(代数法)：因为OP与圆O相切，所以直线l的方程为 x0x+y0y＝9，
且 ，
所以圆心O1到直线l的距离
，
记z＝3x0+4y0，则直线3x0+4y0﹣z＝0 与圆 有公共点，
所以圆心(0，0)到直线 3x+4y﹣z＝0 的距离
，所以﹣15 z 15，
所以当z＝﹣15 时，dmax＝8，此时弦长 最短，
由，解得，
所以直线l 的方程为 3x+4y+15＝0．
解法2(几何法)：如图，过 O1 作 O1M⊥AB，则 M 为弦 AB 的中点，设 d＝|O1M|，
当|O1M|最长时，弦长|AB|最短，
因为 d |O1P| |OO1|+|OP|＝8，
当且仅当O1，O，P三点共线时，取得最大值，
此时 OO1⊥AB，
因为 ，
所以直线 OO1 的方程为 ，
由，
解得(P点在第 3 象限)
所以直线l的方程为3 x+4y+15＝0．
(3)因为，
所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t(t＞0)，
所以|AB|＝4t，
所以 d2+(2t)2＝100 ①，
(i)如图，当O1，O 在直线 AB 同侧时，
t2＝|MP|2＝25﹣(d﹣3)2②，
由①②得d＝6 或 d＝2，
当d＝6 时，直线 AB 可看作是圆 x2+y2＝9 与圆(x﹣3)2+(y﹣4)2＝36 的公切线，
此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，
d＝2 时，直线 AB 可看作是圆 x2+y2＝9 与圆(x﹣3)2+(y﹣4)2＝4 的公切线，
此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，
(ii)如图，当O1，O 在直线 AB 异侧时，
t2＝|MP|2＝25﹣(d+3)2，③
由①③可得d＝﹣6 或 d＝﹣2(舍)，满足条件的P点不存在，
综上，满足条件的点P共有4个．
附：当d＝6 时 ，
即|3x0+4y0﹣9|＝18，
由
解得P(﹣3，0)或 ，
当d＝2 时 ，
即|3x0+4y0﹣9|＝6，
由，
解得或 或 ( 舍去 )．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及其判定，涉及两圆的公切线问题，与圆有关的最值问题，要注意考虑到各种不同的情况，避免遗漏，又要注意检验取舍，仔细认真计算.