湖北省部分重点中学2023届高三上学期11月第一次联考数学试卷（PDF版含答案）

湖北省部分重点中学2023届高三第一次联考
高三数学试卷
考试时间：2023年11月16日下午14: 00-16: 00 试...满分：150分
本试卷共4页， 22趟． 考试用时120分钟．
命祝考试顺利禽
注意事项$
I.答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核
准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的警题区域内作窑，写在试卷、草稿纸和答题卡的非
答题区域均无效．
3.选择题用28铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题
卡上作答：字体工整，笔迹清楚．
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一 井上交．
一、选择题 z 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 A= {xlx2 -2x -3 < O}, B = {YIY = ln(x2 + 1）｝，则A nB = ( )
A. ( - 1,3) B. [0,3) C. ( -1, + oo) D. (0,3)
2 设 z ＝ 芒，则在复平面内z的精复数陋的点位于（
A. 第一象限 B. 第二象限 c. 第三象限 D. 第四象限
3.记Sn为数列｛12n｝的前n项和，给出以下条件，其中 一定可以推出｛12n｝为等比数列的条
件是（ 〉
A. Sn = 2an -1 B. Sn = 2" +1 C. an+l = 2龟， D. {Sn｝是等比数列
食品消费支th总额
4.恩格尔系数 n= 销”在州总翻 ×100%，国际上常用恩格尔系数n来衡量一个地区家
庭的富梅程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕．某地区家庭2021年底恩格尔系数
n为50%，刚达到小康，预计从2022年起该地区家庭每年消费支出总额增加30%，食
品消费支出总额增加20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数π满足30% <
l
’
n‘二40%达到富裕水平，至少经过（ 〉年（参考数据z lg 0.6 :.:::- 0.22, lg 0.8 －臼 0.10,
lg 12 臼 1.08, lg 13 坦 1.11)
A. 8年 8. 7年 c. 4年 D. 3年
5.某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，
要求每个社团至少安排两人，其中 A, B两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案
数是〈 〉
A. 56 B. 28 c. 24 D. 12
6.设 1a1 = 2. 1;;1 = .；言，若对"Ix ε R, ja + x 副主 la＋码，则司与5的夹角等于（ ）
A. 30 B. 60" c. 120· o. 1so·
7. 设 a> b > 0, x ＝旦旦旦1, y ＝ 呜盟， m=7《 n=7矶则（
A. x > y,m > n B. x > y,m < n C. x < y,m > n D. x8. 己知P为椭圆三＋丢＝ l(a 一> b > 0）上 动点， Fi 、F2分别为该椭圆的左、右焦点，
B为短轴一端点，如果 IPBI长度的最大值为泊，则使APF1 F2为直角三角形的点P共有
（ ）个
A. 8个 8. 4个或6个 c. 6个或8个 D. 4个或8个
二、选择题z本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分施对的得2分，有选错的得0分．
9.下列结论中，正确的有〈
A.若随机变量与～N(2，σ巧， P（与 s S) = 0.81，则 P（号 S-1) = 0.19
B.将 一组样本中的每个数据都加上同一个非零常数后，均值与方差都变化
c. 己知经验回归方程为y = 5x+ 2.8，且王＝4，罗＝ 30， 则f, = 6.8
D.在线性回归分析中相关指数 2R 用来刻画拟合的效果，若R2值越小，则模型的拟合
效果越好
10.过直线 x=2 上的动点P作圆x2+ y2 = 1的两条切线，切点分别为 A, B，则（ 〉
A.原点在以 AB 为直径的圆内
B线段 AB 的长度可以为子
c °. 圆上存在不同两点 M, N，使LMPN = 60
2
D.四边形 OAPB 面积的最小值为d言
1 l 正方体 ABCD-A1 B1 C1D1 的棱长为2, N为底面 ABCD 的中心，P为线段A1D1上的
动点（不包括两个端点）， M 为线段 AP的中点，则（ 〉
A.CM 与 PN 是异面直线
8.平面 PAN .1平面 B'DD1B1
c. 存在P点使得 PN .1 AN
D.当P为线段A1D1 中点时，过 A, M, N 三点的平面截此正
方体所得截面的面积为；
12.己知函数 f(x) = xix - al ，αεR，下列判断中，正确的有（ 〉
A.存在kεR，函数 y = f(x)-k 有4个零点
B. 存在常数α，使 f(x）为奇函数
c.若f(x）在区间［01, ］上最大值为f(l），则α的取值范围为α三2.../2 - 2或α兰2
D. 存在常数α，使 f(x）在［1,3）上单调递减
三、填空题z本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.己知（2- x)n 展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，则展开式中不含沪的各项
系数之和为
14. 若函数 f(x) = sinx + acosx 满足 t (i- x) = f ( - + x），则实数α＝
15.若双曲线三－兰＝1的右支上存在两点 A, B，使!>.ABM为正三角形〈其中M为 双
a- o-
曲线右顶点），则离心率e的取值范围为
16.平面四边形ABCD 中，AB= AD ＝..／言，BC=1. CD= 2..／言，BD = 3，沿 BD 将l>.ABD
向上翻折，进而得到四面体 A-BCD，①四面体 A-BCD 体积的最大值为
②若二面角 A-BD-C的大小为120。 ，则IACl 2 =
四、解答题z本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (10分） MBC 中， AB= 2, AC= 1. BD = Mic, A ε （0,1).
(1）若LBAC ＝ ”。。，λ＝1，求 AD 的长度；
(2）若AD为角平分钱，旦 AD=1，求tlABC a'1面积．
3
18. ( 12分）如图，在四棱锥 S-ABCD 中，己知四边形 ABCD 是边长为.fl的正方形，
点S在底面 ABCD 上的射影为底面 ABCD的中心0，点P在棱 SD 上， 且t:.SAC的面积
为1. s
(1 ）若点P是 SD的中点，证明：平面 SCD i平面 PAC:
(2）在棱 SD 上是否存 在一点p，使得直线 SA 与平面
附所成的角的正弦值为孚？若存在，求出点P的位
B
置：若不存在，说明理由．
19. (1 2分〉袋中有大小相同的6个球，其中1个自球，2个红球 ，3个黑球，今从中逐
一取出一个球．
(1 ）若每次取球后放固 ， 记三次取球中取出红球的次数为X， 求X的分布列、期望
和方差：
(2） 若每次取球后不放回，直至取出3种颜色的球即停止取球，求取球次数恰好为
4忱的概率．
20. (1 2分〉记Sn为数列｛αn｝的前n项和，己知α1 = 1，α2 = f，且数列｛4nSn + (2n + 3）也｝
是等差数列．
(1 ）证明：倒是等比数列，并求｛an｝的通项公式：
( n-1. 月为奇数
(2）设 bn = l -,.- ’ 求数列｛bnJ的前2η项和Tzn·止 ,n 为偶数
21. 02分〉己知M(l，的，动点P满足以 PM 为直径的圆与 y 轴相切，记动点P的轨迹
为 c.
(1 ）求C的方程：
(2）设过点 N(3,0）的直线与C交于 A, B 两点，若 tanL.AOB =- 8，求直线 AB的
方程．
22. (1 2分） 己知函数 f(x) = xln(x +1 ).
(1 ）求 f(x）的极值点：
(2）设函数 G(x) = af(x) - ir + x -1，αεR， 若G(O）为 G(x）的极小值，求α的
取值范围．
湖北省部分重点中学 2023 届高三第－次联考数学试卷参考答案及评分标准：
埠挥题：
题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A c B 。 c B AC ACD BO BC
Jj'{空题：
13. 161 14. 2＋、J王 15. ( 1. 子） 16. ①子 ②3号
解答题：
I 7. CI O分〉解：
－ － － 『
(I） 而＝.:l百.:l=i A un A 古M ＋ TA FL
又 ·：(EMBC 中， AB= 2, AC= L LBAC 。= 120 ，
:. （ 2 2 五百） 2 = ；（五百＋ A°c)2 = ;( （五百） + (AC) + 2AB · AC · cosA ) = ;
:. AD2 ＝；，即： AD … ·5＝ 子 分
(2）在！！ABC中， S11Aec = i be sinA = sinA.
又 ·： s = o -I . A 1 = c. . sm- + -b. D. sm. -A = -3 sm. -A .l!.ABC sl!.ABD + Sl!.Ac AD A2 2 2 2 2 2
3
.·. sinA ＝ …· si. n-A . :.cos A 3 . A ,fl 3 . A 3 抒 J,/'i－ －＝ ，二 sm－ ＝一 ， λ s1nA =-sm-=-x 一 ＝－－2 2 2 l’ 2 4 2 2 2 4 8
:. S =-be· sinA 3..J宇= - X 1 × 2 × －－ ＝ －－3,/7－ 10l!.ABC 分
8 8
18. (12 分〉解：
(l)itf.1叨：
·．·四边形ABCD是边长为d的正方形， λ AC= 2,
飞. SflSAC = 1. j × 2 × so= 1 ，肌 so= l.
:. SC ＝ 刃， 又 ·： CD = ,ti.. 点P是SD的中点，
:. CP .l. SD. 同理可得： AP.l.SD.
又 ·： AP n CP = P ， 且AP. CP c 半丽PAC,
:. SD i平面PAC, 又 ·： SD le f！.面SCD.
平而SCD i半丽PAC. … ·5 分
(2）解： 如阁，连接OB. 易知OB, oc. OS两间互相垂直，
1
分别以OB, OC. OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O -xyz,
则A(0, -1,0). C(0,1,0), S(0,0,1), D(-1,0,0).
假设存在点P使得直线SA 与孚面PAC所 nx1 1角的正强值为豆豆，
·．·点P在梭SD ι 不姊设'sP = ASD, o ：：：； λ三1.
又so= C一1.0.-1),
:. 'sP = (-A,0，－λ）， :. P（→，0，卜λ） ，
＝
i量平面PAC的法向世所＝(x,y,z） ， 。rnf日军 O
tη ·AC= 0
.'(
·:AP=(-)., 1,1 －λ）， AC= (0,2,0),
{-).x + y + (1 －λ）z = 0
令z = ）. ， 则x=l － λ ， ．·．百＝(1 -A,O,A).
又忘 ＝ （阳）·设在线SA 与平面附所成的角为θ，贝1Jsin8 ＝ 手，
－－
ICOS <
『η＞I， . , ＝ －l一亘古一刑· AS 一－ 厅 IA一『I ＝－－－－＝
.ffo
＝ 一一
I IASIXl il ＝ ,/z,m-写可万 s
即3).2 - 8λ＋4=0，解得：λ＝：或λ＝ 2（不合恩惠，舍去），
.-.{f. (i：点P符合睡意．点P为梭SD上靠近端J点D的三等分点． … 12分
19. ( 12分）解：
(l） IX～8(3,i）.且X的可能取值为o. 1. 2. 3,
P(X = 0) = Cf× Gf ＝去，
， l 鸣，‘
－a 1 2 4Dg ，，，、 －VA ＝．．．．、‘，， fux．句S
‘，
－ － ＝－
、 、‘－E’’ x，，EE飞、 3 、‘，，，， 0，
－ 3
句，也 ×．，．．
句，‘ －，‘ 1× －zPr· － －VA －吨4、 、，，， －fu 咽s
－
，，，，‘、 ，‘， 、l，J ，，E，‘、 喝、“ 、、，a’’ －9
P(X = 3) = cf x (D 3 ＝去
:. x的分布列为： x 。 1 2 3
一8 4 －2 p 一1
27 9 9 27
E(X) = 3 ×i = 1, D(X) = 3 xix i = i …7 分
(2）设取球次数恰好为4次是IJH牛A,
2
:. = Cj x A x CJ x A + C] x C；× A x ci x Al＝ 三P(A) A 10
3
P’，，‘、AA、‘，，，＝一
…· 12分
ω
20. ( 12分）解：
(I) ...α1 = 1,
2
a2 = 3' :. S1 = 1. S2 = i
设Cn = 4nSn + (2n + 3）鸟， 贝fjc1 ::= 9, Cz = 18,
又·．·数JtJ{cn｝为等差数列， ·飞 Cn = 9n,
:. 4nS 一n + (2n + 3)an = 9n,
(2”品3)a
:. 4Sn ＋ 一 一旦＝－；；－ 9
当n兰2时，4S _, ＋旦旦 ＝ 9.
…,, －
n-1
(2n + 3〕α” （2n + l)an-i
：. 归”＋ 一 二－ _ ·· = O(n >2 )n 1
“”品，、n二 『？”“、n二 i
:. －－－；；－」－ τf二＝O(n>2), 又 ·： 2n + 1 * 0,
：. －告＝ 仰＞ 2), 旦旦MHUFI l．＝ .! .但二
3 n-1
（n> 2).
又干＝ 1 求 o.
:. ｛守）是以1为首项．：为公比的等比数列，
－守＝ G)"-', …即： an ＝ 击 ·7分
(3”－ 1 .α”， n为奇数 _ n (n n 为奇数
( 2) ·: bn = （ 且ι ＝一’＿.＿.. τ :.. n bn = l击 11为偶数
3 l 3n- 1 ,n为偶敬
：. 凡n = [1 + 3 ＋…＋ (2n - 1)) + (31 + 33 ＋…＋ 32n-l)
(1 + (2n - l)]n 3(1 - 9")
－
2 1-9
q3’’ 、飞 可 n － ’‘－ d A ，惜，．＝ n ＋ － － － －－
8
sqZ n川 －E qsn唱，‘＝ ＋－－ － － －
no

32＂令’－3
…
. · T 1in =n '+-. 2分 8
21. (12 分〉解：
( I ）设P(x,y). 又 ·： M(l ，时， J线段PM的中点坐标 h（午，f).
又·．·以PM 为自径的困与y轴相切， 二｜宁 I= .／（ 一x 1)2 +y2 ,
3
:.1七简得：y2 = 4x.
:.qJ点P(t,J轨边C的方程为y2 = 4x. …5分
(2 ）设A(x1 ,Y1) B(x2,Y2)
易知AB斜率不为0，不妨设AB的方程为： x= ty + 3.
联立 2fY = 4x 得：y2 一仰－ 12 0lx =
，如1lY + Y ＝衍 ， Y =
= Yty 3 1 2 1 2 -1
2.
+
si”J OB
·: tanLAOB = ：：..：一－一＝ -8,. :. sinιAOB + 8cosLAOB = O.
COSU.08
ι IOAIIOBlsinLAOB + BIOAIIOBlcosLAOB = O.
:. 2S40AB + 8百五·百百＝ 0, 即： S40AB + 4δ五·百百＝ 0,
IABI = ..ff.τt21Y - Y I = Ifτt2..f( y + Y2)2 γ 1 2 1 - 4-Y1 Y2 = ..ffτF占百ττ48,
f.ldo-AB ＝布
:. S110AB = i do-AB IAB I = 6....f't2+言，
又 ·： DA·百百＝ X X
1 2 + Y1 Y2
= (tY1 + 3)(tY2 + 3) + Y1Y2
= (t2 + 1)Y1Y2 + 3t(y1 + Y2) + 9
= -12(t2 + 1) + 12t2 + 9
=-3
:. St10AB + 4百万 ·δB= 6-lt2τ3-12=0,
人 -lt2τ王＝ 2,
λ t ＝ 士1,
λ 宦线AB(f]Ji程为： x ＝ 士y+3, l'tfl: y=x-3或y == -x + 3. …………........…· 12分
22. C 12分〉解：
(I) ·: f(x) = xln(x + l)(x > -1),
:. f'(x) = ln(x + 1) ＋击 （x > ’-1）， 队（x) = f （x).
贝1Jh ’（x) = .2.....＋－ι＝」工！.... > 0,
(x+ 1 )2 (x+ 1)2
λ h(x） 伍（－1,+oo）上 f-调滥用．又 ·： h(O) = 0,
;. x ε（－1,0）肘， h(x) < h(O) = 0, x ε（O,+oo）时， h(x) > h(O) = 0,
:. f(x在） （－1,0) I：单调递减，在（O.+oo）七单调地增．
人 f(x）有极小值点x = o. 无极大值点． ….. 5分
4
(2) ·: G(x) x = af(x)-e +x - 1 = axln(x+ 1)- e x +x- l(x > -1),
C’ （x) ＝α ［ 1n(x + 1) ＋对 －ex + l(x > -1），设g(x) ’= G （x).
帅’（x) ＝ α ［；±－；＋芮芦） － ex(x > -1),
当 aSO时，g’（x)< O. g(x）在（－1, +oo）七单调递减．
又 ·： g(O) = O.
·飞 xε（－1,0）时， g(x) > 0, xε（O,+ oo）时， g(x)< 0,
:. G(x）在（－1,0）上单调边I笆，在（O, +oo）上单调j革减．
:. x = 0是G(x）的极大值点．与题意矛盾 ．
当α＞0时，9’（x) =a ［；±－；＋ 芮r1 －叫（－1,+oo) t单调递减，
且 ’9 （O) = 2α － 1,
①当O·飞C’（x）在（0, +oo) I二单调递减．又 G’·： （O) = 0λxε（0,+ oo）时，C’（x)< 0 .
:. G(x）在（0, +oo）上单调递减．与题意矛盾 ．
②当α＞1时，者xε（－1,0），则 ’g'(x） 汀 （0) = 2a - 1 > 0,
:. G’（x) = g(xr伍（－1,0）上单调边用．又 ·： G’（O) 0 E (-1,0）时. ’= :. x G （x)< O.
:. G(x）在（－1.0）上单调递减．若xε（0， 时，易iEi : a e ＞α＋1.
则 ＇g （α）＝ α ［击＋前F卜 e4< a ［ ＋ ） － α － 1 ＝ － 丐知己＜ o.
又 ’ ’·： g （O) = 2α － 1 > o. ：. 存在Xoε（O， 的使得9 （x0 ) = 0,
且当x ’ε （O,x0）时， 9 （x) > 0,
’
·飞C （x) = g（均在（O,x ’：.0）上单调 J曾， G （x) > ’G （O) = O.
人 G(x）在（O,x0）上单调递增．又 ·： G(x）在（－1.0）上单调递减．
·飞 x = O G(x） 的微小值点，符合题怠 ．
综上，实数α的取缸范围为G,+oo). …· 12分
s