湖北省高中名校联盟2023届高三11月第二次联合测评数学试卷（PDF版含答案）

湖北省高中名校联盟 2023 届高三第二次联合测评
，数学试卷
本试题共4页，22题。满分150分。考试用时120分钟。 考试时间 ： 2022王军11月15日下午15：。。一17:00
．食抗合试顺利，tf'
注意事项 ：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 、 准考证号填写在 $.题专上．
2.回答选择是革时，选出每小题答案后 ， 用ZB铅笔把答起卡上对应题目的答案标号涂黑．如 'Ii; 改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他，答案标号．回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答延卡上．写在
本试卷上无效 ．
3.考试结束后 ， 将本试卷和答题卡一并交回 ．
第 I 卷（选择题）
－、选择题 ： 本题共8 ,j、题 ，每小题5分，共40分 ，在每小题绘出的四个选项中 只有一， 项是符合题目要求的．
1.设集合A = {xlx'-3xf2豆。），集合B={xlZx-3髦的，则A nB. =
A.（一∞，二） U( Z, +oo) B.（一oo, 1) C.(-oo主］ D叶3
l+i
2.设复数 z ＝ 一一I宁4气i ，则
11 3
A.z的虚部为－ i B.z ＝ 一 －－i65 65 65 C.z的实部为－立65
D.lzl＝立65
3.已知 x,y 是任意实数，则卢：x+y二：：：8是 q,x二：：：1且y注7的
A.充要条件 B.充分不必要条件
飞
c.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x) =ln(x' -3x-4）在（a, +oo）上单调递增，则a的取值范围为
A.［二 ， ＋∞〉 B.[4,+oo) C.（一oo,-I] D.（ 一∞主］
5.已知IIE ＜王，生）,sin(8＋主｝＝立，则tan8=
2 4 4 5
A.－丰 B.一 7 C.7 D.+
6.已知 a = (l，幻 ， b=(-1,3），则α － b 在 a+b 方向上的投影向髦的坐标为
A. (0, 1) B.(-1,0) C.(O， 一 1) D.(1,0)
“
7.2022年10月16日中国共产党二十大报告中指出 我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千
年梦想，打藏人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了
重大贡献” ， 为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到 A,B,C 三个乡镇进行调研
活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有
A.1176 B.2352 C.1722 D.1302
2023届新高三第二次联合测评数学试卷 第1页（共4页〉
8.在A、 B、C三个地区爆发了流感，这三个地区A、 B、C分别有6% 、 5% 、 4%的人患了流感 ，假设这三个
地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中 任意选取一个人 ． 则下列叙述正确的是
A.这个人怠流感的概率为0.15
B.此人选自A地区且怠流感的概率为0.0375
30
c. 如果此人想流感，此人选自A地区的概率为9一7
D.如果从这三个地区共任意选取100人，则平均怠流感的人数为4人
二 、 多项选择题（每小题有多于一个的正确选项，全答对得5分，部分答对得2分 ， 有错误选项的得0分）
9.下列叙述正确的是
.y = sin 2x＋－：－τ王一－sm' + 的 最小值为2./2x 2 …
-2
B.命题户：'v'xE[o，＋叫，x 2 +x泣。的否定为： 3xE〔0, +co) ,x＇ 十xC.8个数据148、 148、 154、 154、 146、 142、 156、 158的中位数为151
D.设随机变量X Hll从正态分布N(2,a2 ）且P(X<4)=0.9，则P(O10.如图，楼长为2的正方体ABCD-A,B,C, D，中，P为线段 B,D ， 上动点｛包括端点〉 ． 则下列结论正确
的是
D, C,
·e
A.当点P在 线段 B,D ， 上运动时，三棱锥 P-A,BD 的体积为定值
B.记过点P平行于平面 A,BD 的平面为α，α截正方体ABCD-A,B,C,D ，截得多边形的周长为3./2
C当点P为B,D ， 中点时，异面宣线 A,P 与BD 所成角为f
D.当点P为B,D ， 中点时，三棱锥 P-A,BD 的外接球表面积为11π
11.已知抛物线 C,y 2 =2px 过点（2，心，焦点为F，准线与z输交子点T，豆线 t过焦点 F 且 与抛物线C
交子 P,Q 两点，过 P,Q 分别作抛物线C的切线，两切线相交子点H，则下列主吉论正确的是
A.PH QH=O
B.抛物线C的 准线过点H
C.tanL乙PTQ=2./2
PF
D.当－－取最小值时，4三PTF=.::...
"
PT 4
12.己知函数 f(x)=er 气x-m(xER) ,g(x) =sinx-cosx(x泣。〉，则下列说法正确的是
A.若 f(x ）有两个零点 ，则m>l
B. 若 x ， 笋X2 旦 f(x,)=f(x，） ， 则 x,+x2<0
C画数 y =g(x） 在区！可［O，于］有两个极值点
D过原点的动直线t与曲线y =g(x）相切，切点的横坐标从小到大依次为x, ,x2 ,· d圳Z产阳队 －j)
20·23届新离三第二次联合理串j i!平数学试卷 第2页〈共4页3
三、填 题（每小题5分 ， 共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上．｝
13. (1十x')Cl+2x）＇ 的展开式中 x3 的系数为
14设双曲线C：王－乒l(a＞吵州左、右焦点分别为川2 ， 若过点 F， 且斜率为存的直线l与
双曲线的右支交子 A,B 两点，则该双幽线的离心率的取值范围为
15.已知数列｛a.｝满足 a1 = 1,a, =2,au+i ＝兰L且 au+2 = 2a －川 a，. ， 则a 100 =
a,._,
16.若不等式？》l内x-a)+ln'a 对任意x>l恒成立，则a的取值范围是
四、解答题：本题共6小题，共70分 ， 解答应写出文字说明、证明过程或演第步骤．
17.(10分〉
已知等差数列｛a.｝中，首项a, =4，公差d笋0，向，句， a,o 成等比数列．
(1）求数列｛a”｝的通项公式；
20 2022
(2）着b”＝ ：：，设数列｛b.｝的前n项和为乱， s.< ，求正整数”的最大值．；；：；： 2023
18.(12分）
6.ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知（a-c)sinA=asin(B-C),b=2../3.
(1）求角B;
(2归C边上的点D满足击＝2页 ， BD ＝ 竿，也ABC 的面积
19.(12分〉
°
如 i到 1，在宣角梯形 P1P,P,A 中，P,A//P,P ， ，ζAP,P,= 90 ,P,A =4,P,P, =6，沿 AB、 AC、 BC
将6.P,AB,6.P,BC, 6.P,AC 折起，使得P 1、 凡 、 P ， 三点重合在一起，得到图2所示三棱锥 P
ABC.
(1）求三棱锥 P-ABC 的体积3
(2）求平面 PBC 与平面 ABC 的央角的余弦值．
P‘
Bf:: /
＼、 ，／ 、
P,' P, p 〈：
c
图l 阁2
2023届新商三第二次联合测评数学试卷第3页〈共4页〉
20.(12分〉
茵庆节绑间某商场开展了一项促销活动 ， 凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费铀奖一次’ 抽奖
“
的规则如下 2 箱子内装有10张大小 、 形状 、 材质完全相向的卡片，其中写有 喜”“迎”“ 国 川庆，，的卡片
各两张，另两张是没有写汉字的空白卡片；顾客抽奖时 一， 次性拍取4张卡片， 抽完后卡片放回’记拍
出的四张卡片上的汉字的个数为n（若出现两个相同的汉字’则只算一 个，虫日 出“迎川迎”“ 国 川庆”t由
贝u n = 3） ，幸E n=4则中一等奖，n=3则中二等奖，n串2则中三等奖，n《1时没有奖励． 商场规定：一
等奖奖励20元购物券， 二等奖奖励10元购物券，三等奖奖励5元购物券．
(1）求某位顾客中一等奖的概率s
(2）着某位顾客可以抽奖2次，记2次抽奖所获购物券的总金额为X，求X的数学期望 ．
21.( 12分〉
./2
己知椭圆 r ：歹＋ =l(a>b>O） 的离心率为τ ，？的长轴的左 、 右端点分别为 A ， 、A,,A ， 与困b'
(x-2)'+y' =1上点的距离的最大值为../6+3.
(1）求椭圆 r 的方程；
(2）一条不垂直坐标轴的直线CD交 r 子C 、D两点cc 、D位于z轴两侧〉，设直线A,C 、A,C 、A,D 、
A2D 的斜率分别为kl ,k,-k， 、叫足 3k,-k， 寸 （3k,-k ，） ， 问直线CD 是否经过定点，若过定
点，求出该定点，否则说明理由 ．
22.(12分）
已知函数 f(x)=e＇曲－ （x+1 ) ,g (x) =asi 一n.x ln(x+l)
(l)a =l时 ，求函数 y=g(x）在（－1,0］上的单调区间；
(2)a>l时 ， 试讨论 y=f(x）在区间［－ n，π］上的零点个数．
2023届新高三第二次联合测评数学试卷 第4页〈共4页〉
湖北省高中名校联盟2023届高三第二次联合测评
数学试题参考答案与评分细则
－、选择题：
1 2 3 4 泊 6 7 8 9 10 I 11 I 12
日 c I主 日 c A c BC ACDIABDIABD
二填空题：
13. 40 14.( I , 2) 15.2550 16.(0,e]
8.[i举解】记事件 D 选拟的这个人患了流感．记事件 E 此人来向 A 地区．记事件 F ：此人来自 B 地区，记
事件G：此人来自C地区．
则。＝DUEUF.且0 、E 、F彼此互斥．
由题1主可得P(E）＝立 ＝0.25 P(F ）＝工’ ＝0.35,P(G）＝立＝0.4.20 20 20
PCDIE) = O川，P(D I F) = 0.05,P(D IG) = 0.04,
A由全狱里在公式可得PCOl=P(E) P(D IEl+P(F) P0.06+0.35 × 0.05+0.4 × 0.04 =0.0485; A错误；
B.P20
_P(DE)_P(D) · PC.m 条件概率公式可得？（ I1 D） 一一一一一一 一 －一一一一一＝一.c 正
’ PD.从这三个地区巾任意选取一个人患流感的概东为0.0485，任意选取100个人，患流感的人数设为 x.
则X～β000,0.0485). fill ECX) = lOO×0.0485 = 4.85; D错误 ．
’
12. i【 单解】A.f(:,:)=e·'-:t 一 肘，则f （.d＝♂－ l，令 f'(:,, ) = 0，解得.r = O，当 ·＜O,.f' (.r) ’
(-oo.O）单调递减．当 r>O,J （x)>O,f(:i:）在（O.＋＝）单调递增，所以. r=O是 J(.r) 的极小值点同
时也是最小值点．即 J C.r） ＝f(0)= }-11 .当川＞1时，1-111<0，即 m>l 时，因为 J(-m)=e－”’阳’”
>o 所以J(.1-·）在（ － oo,O）只有 一个零点．又囱；'1-Jf(m)=e”’一， 2川．只需证明 J "'＜ 川｝＝e -2m＞。但
成立，illl可得到l J<:x ） 在＜o.+oo）内只有一个零点，所以J ＜川在R上有两个零点，A正确；
B. ·: JC.1·, ) = f(;·,)
．·．矿’ － e'2=x,-x2
’叫。川＿，，，，
:.e----i-品 ＜＝－一一斗一＝l l![l ,;· 1 +x,x,-x2
C结合网像划于为端点不是极筒 ，点；
D. ·: g (..r) = sin.:r -cosx ,x E [O. +oo), Y!IJ g' Cr) = cosx + sinx，设切点坐标为（..r . g （乱，）〉．则切线斜
,’ srn:r,,-cosx －，， υ
率为 k = g （.r.) = cos1· =，』 ＋sun.r盼 ．则 ，、 cos.t· ” ＋sin1·2；”－－ 川
x =5111.T ” －cosr “ ＂“ ＝ tan.r … － 'Ir 一一 1 ι＿＿＿：.＝ tan<.x 一 ι〉 ， 。正确．
cosx. ＋剖nx,. 1+ tanx,.
16.【详 ffi!f 】 ·： e·
－
＇ ＇＂＇ 》 Ina 十ln{.:r 一 l)+ln3 a ＇阪成立
数字试Im参考答案与评分细则 第 l 页（共5 页｝
:.x 一 Ina十l注l阳十lnCx-n+In'a
二.r+J 一 ln(.;r-1）二三2lna + In与
·．·函数 y=x十1 一 ln(x-1)在（1 .2）正在调递减．在（2，十∞）正在漓地 ．
:. 3二月lna+ln与 ：.Ina《I 即o17.［详解】(1）由题意可1知 ： “十2d)'=4 (4十9d) .d 笋O自引导d=5
..' a.=4+5(11一 I) .'.a. =5n 一 ｜………………………………………………………………………4分
20 1 1
(2）由题意可知 b.”=’ 芒 1, =4（一一一－一一一〉……………………………………… 6分l'r: _l_ 川 5 11 一1 5 11十4
1111 1 I l I
·.s,. =4C一 一一＋一 一 一十…＋一一一 一 一一一） 4（一 一 一一一〉 ………………… ……........ 8分4 9 9 14 5η －1 511+4 = ,1 511+4
2022
:s ＜ 一一
冽 2023 解得511<8088
．··川的最大将数为1617 ……..........................…………....... ...........………………………· 10分
l8.[i单解】（］）在l::,.／＼βC中．由正弦定理可得 ：
(sinA-sinC) sinA=sinA sin(B-C).' 'AE(O.π） ..' sinA手。
:. si阳.c\-sinC=sin(B-C） …………………………………………………………………………… 2兰〉
·:A+B+C＝π：. sinA =sin(B +C)
化简可得 ·： ． ·δinC=2cosBsinC ·: CE (0 ,,r) ..' sinC手0 …………………………………………. 4分
:.cosB＝ 土 ：.B＝ 立．．． ．．．．．．．．．．……………………·············…… ..... ............... .............. 分2 3 5
备注：过程中未交代角度的范围扣1分 ．
→ →
(2) ·: CD=2 DA B
－→ 1 －→ 2 一→
'.BD=-BC+-BA
3 3
两边平方得 80 2： = 2-;:- (a 十4c 2十
28
2ac) =
，.， -;:-δ A c n
:.a 2 +在6ABC巾 ， 件l余弦定理 b2： = a 2 +c 2 -Zac cosB
化简得 ： 12＝ 川十J 一 αc④ ， ........………………..................…………………….........………. 8分
｜扣③④可得 2： c -3削＋2ι ＇＝O
.'.c ＝ α统 c =2a ……………………………………………………………………………………… 10分
c = a 时，α ＝ c =2J3 . . S 叫＝ 子×（2/3)
2=3/3;
当 c = 2a 时，α ＝2,c =4, .'.5.!>AH<· ＝ 言· ×2×4Xsi π咛＝2/3； ….. 12分
19.【详解】 Cl)P,A#P 。=2 P ，， ζAP,P 2 90 ．由翻折问题的性质可得 ：
PB上PA ,PBJ_PC .PA nPC= P ,PA ,PCC 商 PAC
二.p[lj_而 PAC ＇ ＇. 矶，I勺，h交于一点
．·．凡 C=P:iC=3.P, B=P2 B=J3 .P :1A =P,A =4，根据余弦定理可得LAPC=60°
1 l
. v "p '" ' ' ＝叭" ，,. w ＝一×一×4×3sin60°×/3=3 …...............…………………………... ..…. 5分3 2
数字试题参考答案与评分细则 第2页〈共5页）
备注：此处朱证明线商垂亘豆接计算结果正确如 2 分
(2）过点P在平l面 PAC 内作 PC 的垂线 ， ·： PBl_ 出i PAC. ：.以P为原点 ，垂线为I 粉l,PA为y轴，
PB 为z轿｜建立如因所示坐标系 2
A （呻－2./3 ,2，的 ， B(0,0,./3） ， 以0,3 ，的，BA= <-2.ff ,2, -.ff ＞ ，百＝（0.3，一 点〉 .. 7分
斗 1 ·BA = -2点、飞十2ν －.ffz =.. O
设平面HAC法向盘为m =C.r,y,z ），／」
！♂ BC = 3y-./3z = O
『
取；：＝(l ， 一 2./3 ， 一 6),I&平面 PBC 的法向最 n ＝ 门 ，0,0）……… ................................…. 11分
→－ 1 1
所以cos＜川，II ） ＝一一气＝ ＝一，所以－一 函角 P-BC-A 的余弦值为一 12 t
l× Jrn 7
‘
20.解 ： （1）由题；吉、ii获一等奖的概率为P，则 (Cl) 8 P ＝ 一一一＝一－…………………………105 ………………3分c:o
(2）设一次抽奖所获奖励为y ， 则Y的可能取值为20.10.s.o
',P(Y=20)= P(11 =4)＝ 1土05 ，
) n 3 Cl×2' +c ：×c ×2' P(Y lO 56 = = P( = ） ＝」一一 “ 舌。 105
C.＼×Cl×2＇ 十C；×22 +C; 3
P(Y= 5) =P(n
9
= 2）＝ 唱 “ C＇’ ’ 105 ’
P(Y=O)=P(n《1) ＝ c: ＝甲一2 ……………………………………………………………………9分
c 1,, 10s
所以Y 的分布列为：
y 20 10 5 。
8 56 39 2
p 105 105 105 105
',E(Y)=20× 只τ＋10× 56 ＋5 39 × 2
61
」 一－ 一一 一
10;) 105 －＝10;) ＋O×105 ＝ 7 " ll分
因为两次抽奖相互独立，所以E(X)=2E(Y)＝ 122τ－ .. 12分
21.解．设A ,(-a.O） .由II@ 辈知：a +2+ l ="6 +3. a ="6
又 ，＿. 一＿ ..f[ .－
一 -F J3一八
。 2 -
·．椭惊｜方程为．王：＋丘＝1. … ·········································…···············…….........………. 4分: 6 3
(2）设启线 CD 的方秘为： x = my十n i联立方程得 ：
(111 2 +2)y2 +2川，，y ＋川 －6=0.设C(.l: 1 .y, ） 、 Dfa, ,y,).
. 211111 ” ＇－6 ..y ,-t-y，＝－ －－.－；－τ，y I ·y，＝ .. 6 分
Ill 寸－ {. 可丐
1
, V, V,2 l-7.x1'
. '
'."k,k， ＝＿＿＿..：：...ι一 . ＿＿＿..：：...ι一 ＝ 一二←－＝3 一一→一一－＝－－＝－
' ' .1·,+"6 x,-.)6 .1:, '-6 .r, '-6 2
数字试II@参考答案与评分细则 第 3 页（共5 页｝
1 1 1 1
".k ＝－一一， ，｜司现：ι 一
2k, ,,
＝－ －
2k3
3k1 -k., ＝ ÷队 － k,)
． J 1 3 l I.
． 挝 、 十一·一 ＝－／：，' 2 。十
一·一
fl, 2 4 k,
1线 ' －k,) （一3 一1 1， ., －一一 ＝2 ＋ 4 ）k,k O,
·．·衍 ， － k a亨止。
k1ka = -+· 8分
·． 」」．」L一 ＝一 与II （、飞 l +./6) C.12 -./6）十6y,;2=0
:x ,+./6 :r:z-./6 6
．·． （川’， + 11 +./6Hmy2 +u 十./6)+6y,y, =0
．·． （川十6)y,y2十川（11+./6) (y ， 十Yi）十｛，，＋布
2
> =o
:. (m ＇ ＋ 以，1 2-6)-2×111 2 11 2 (11 +./6) + (11 +J6)' (m + 2) = O
:.211 2 ＋品， －6 =0
” ＝子或 一n ＝ 点 l 分
显然直线CD不过点｛ 一点，0)
所以直线CD过定点（子 ，0) 12分
22.解 ： （l)a=I 时 ，g(x)=sin.:r一ln(:r;十1),.." g'(x)=co x一 一土－…………………………………l分
I 十1
而 肖 ’（.r； )在（一 J.O］上单，调递增．而 z’（0)=0
一
人 xE（ 1.0),g (.:r）《g (O) =O.
:. g (2）当。＞1 at,
①r E［一 π． 一 I］时 ， e 叫＞O,.:r+lO .".f(x ）在区间［一 疗，一 l]J气无零点 ……… 6分
②x>-1 时．方程f(x)=O的解等价子方程g(.:r) =O的解．
.rE[-1,0］时，立" Cr） ＝αco-s.r
一
.＿＿！＿＿＿
一 ＝ 一
:r +l 役， ［ 1,0］正在 i品i递均，"K (0） 。 1
而 g （÷ 一 ）） ＝…个l)-a＜。 一。 ＝O
·. :l 晚－.1·.， ε ［ 一 LO］使得 g (.:i:o) = O且g(x）在（- ] , .. r. . JJ'在i周边减.［x0,0］单调i单增
而 z← l) = a(si什－1)+1)>0,g(O) =O
:.g （ 川在（－ 1,0］上有两个零点…………………….....................……………………............ 8分
③.r E (0 ， 立］时 ， g'(.r) ＝α cosx _ －:_J__r+I , g’（0）＝α 1>0,
令I Ct ）坷’（x)=acosx一 x＿！＿＿+I ’ ff、10 t' (x）
一 －as 上－← in.x＋÷ τ在［O ’ ..::.. ］上且在调递减(.1 + I J 2
数字试题参考答案与评分细则 第4页〈共5页）
t’（O)=l,1, （主）＝一」一－－－，；－ － a3唯一:1,E:.K'(x）在（0,x ， ）单附
们（0）＝α － 1,g （号〉＝。 一」－－ ＜o
“ 1 ＋言
:. 3 1 ? － :l'2 刊号〉制g (:r2 ) =O
.".K(r）在（0,.x.，）单调脯，Cr，，号｝上单削减
们（O)=O,g' :.g(x ） 在队？］上元零点 … · 刊
④:i·E抓;r）在（号，山单调递减
而g(f）＝α － In(f+l ) >O.g (ir) = -Ir巾十l):. :. 3唯一川 ε 〈亏 π〉使得g(1·,)=0 . . …… 11分
综上所述 ： α ＞ 1时· f( x）在区间［一π，π］有三个零点 ….......……………………….............. 12分
数字试Im参考答案与评分细则 第5 页（共5页｝