第四章《图形的认识》单元测试卷（困难）（含解析）

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湘教版初中数学七年级上册第四章《图形的认识》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，图是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥图，把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中个面涂色的小三棱锥叫中心块，个面涂色的叫棱块，个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“棱块数角块数中心块数”得( )
A. B. C. D.
有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图，测得其底面半径为，高为，其内装蓝色液体若干．若如图放置时，测得液面高为；若如图放置时，测得液面高为则该玻璃密封容器的容积圆柱体容积底面积高是( )
A. B. C. D.
下面说法中，正确的个数为( )
柱体的两个底面一样大
圆柱、圆锥的底面都是圆
棱柱的底面是四边形
用一个平面去截正方体，其截面可能是三角形
面和面相交的地方形成直线
长方体的面不可能是正方形
A. B. C. D.
如图，已知矩形的面积等于矩形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道( )
A. 矩形与矩形的面积之差
B. 矩形与矩形的面积之差
C. 矩形与矩形的面积之和
D. 矩形与矩形的面积之和
如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是( )
A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短 D. 以上都不是
如图，工作流程线上，，，处各有一名工人，且，为的中点，若在工作流程线上安放一个工具箱，使个人到工具箱的距离之和最短，则工具箱安放的位置为( )
A. 线段上的任意一点处 B. 只能是或处
C. 只能是处 D. 线段或内的任意一点处
如图，，为射线上一点，比的倍少，，两点分别从，两点同时出发．分别以单位秒和单位秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为秒，为的中点，为的中点，以下结论：；运动过程中，的长度保持不变；；当时，，其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
如图，点是线段的中点，点是线段的中点，下列等式不正确的是( )
A. B.
C. D.
如图点是内任意一点且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；；；其中正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，某边防战士驾驶摩托艇外出巡逻，先从港口点沿北偏东的方向行驶海里到点，再从点沿北偏西方向行驶海里到点，要想从点直接回到港口，行驶的方向应是( )
A. 南偏西方向 B. 南偏西方向 C. 南偏西方向 D. 南偏西方向
下列说法中，正确的是( )
射线和射线是同一条射线；
若，则点为线段的中点；
同角的补角相等；
点在线段上，，分别是线段，的中点．若，则线段．
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
九章算术中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”白话译文：如图，有圆柱形木棍直立地面，高尺，圆柱底面周长尺，葛藤生于圆柱底部点，等距离缠绕圆柱周，恰好长到圆柱上底面的点．那么葛藤的长度是________尺．
点在直线上，，，点、分别是、的中点，线段长为________．
两根木条，一根长，一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为______．
已知和是共顶点的两个角，的边始终在的内部，并且的边把分为：的两个角，若，，则的度数是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
一张正方形纸的内部被针扎了个孔，这些孔和正方形的顶点之中的任何点都不共线．作若干条互不相交的线段，它们的端点都是这些孔或正方形的顶点，这些线段将正方形分割成一些三角形，并且在这些三角形的内部和边上都不再有小孔．请问一共作了多少条线段？共得到了多少个三角形？
如图所示，爱心农场的一个长、宽、高分别为分米、分米、分米的长方体鱼池内装有高度为分米的水．某项目化学习小组需要将一长方体基座足够高放置在鱼池内．若基座竖直放置在鱼池底部，如图所示，则池内水面上升分米．
求基座的底面积；
在安装过程中，先将基座吊起，使得基座的底部与水面齐平，如图所示，然后将基座以每分钟分米的速度下降，设下降的时间为分钟．求当时，水面上升的高度；
在的条件下，求下降过程中，基座的底面把池中水深分成：的两部分时的值．
实验室里有一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的棱长为，容器内的水深为现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块铁块一面平放在容器底面，过顶点的三条棱的长分别，，．
容器内水的体积为 ．
当铁块的顶部高出水面时，的值为 ．
如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为．
数轴上点表示的数为______；
将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为．
当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数；
设正方形的移动速度为每秒个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且经过秒后，点，所表示的数互为相反数，直接写出的值．
如图，点、在线段上，．
若点是线段的中点，求的值；
若，求的值；
若线段上有一点不与点重合，，求的长．
如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上位于点左侧一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
写出数轴上点表示的数______；点表示的数______用含的代数式表示
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好等于？
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速到家动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好又等于？
若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请他画出图形，并求出线段的长．
已知，是锐角，平分，平分．
如图若，求的度数？
若射线绕着点运动到的内部如图，在的条件下求的度数；
若，，请用含有，的式子直接表示上述两种情况的度数．
设、的度数分别为和，且、都是的补角
求的值；
与能否互余，请说明理由．
如图，和都是直角，和互为补角吗？并说明理由；
在图中，当绕点旋转到如图所示的位置时，上述结论还成立吗？并说明理由；
如图，当时，请你直接写出和之间的数量关系．不用说明理由
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了大三棱锥的面数，关键是理解怎么由若干个小三棱锥堆成的大三棱锥，其中个面涂色的小三棱锥是四个顶点处的三棱锥，个面涂色的小棱锥为每两个面的连接处，个面涂色的小棱锥为每个面上不与其他面接触的部分，通过分析确定棱块数、角块数、中心块数，从而得到答案．
【解答】
解：如图所示：
三个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共个，则角块数为；
个面涂色的小棱锥为每两个面的连接处，共个，则棱块数为；
个面涂色的小棱锥为每个面上不与其他面接触的部分，即图中所示阴影部分，每一面上有个，共个，则中心块数为；
所以棱块数角块数中心块数．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思想解答．
根据圆柱体的体积公式和图和图中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以得出结论．
【解答】
解：设该玻璃密封容器的容积为，
，
解得，
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
考查了认识立体图形，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形．
根据柱体，锥体的定义及组成作答．
【解答】
解：柱体的两个底面一样大，正确；
圆柱、圆锥的底面都是圆，正确；
棱柱的底面不一定是四边形，错误；
用一个平面去截正方体，其截面可能是三角形，正确；
面和面相交的地方形成直线或曲线，错误；
长方体的面可能是正方形，错误；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为矩形的面积等于矩形的面积，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即为矩形与矩形的面积之差，
故选：．
由矩形的面积等于矩形的面积得到，转化为比例式，从而发现两个角相等，进而转化为平行来解决问题．
本题考查三角形的面积和矩形的性质、平行线的性质与判定等知识，是一道综合性比较高的题目．
5.【答案】
【解析】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：．
根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力．
6.【答案】
【解析】设为线段上任意一点，则点到，，，的距离之和为：．
设为线段上任意一点，则点到，，，的距离之和为：．
设为线段上任意一点，同理可得点到，，，的距离之和为，
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间的距离，解题的关键是求出到达点时的时间，以及点与重合时的时间，涉及分类讨论的思想．根据题意求出与的长度，然后分别求出当与重合时，此时，当到达时，此时，最后分情况讨论点与的位置．
【解答】
解： ，为射线上一点，比的倍少，，
，，
，故成立，
，，当时，此时点在线段上，
，
是的中点，
，
，
，
为的中点，
，
，当时，此时点在线段外，且点在的左侧，
，，
，
是的中点，
，
为的中点，
，
，当时，此时点在的右侧，
，，
，
是的中点
，故正确，
为的中点，
，
，
综上所述，，故正确，
当，时，此时点在线段上，
，
，
，
，
当，时，此时点在线段外，且点在的左侧，
，，
，
，，当时，此时点在的右侧，
，，
，
，，不符合，
综上所述，当时，或，
当时，不会等于，故错误；
故选C．
8.【答案】
【解析】解：点是线段的中点，
，
点是线段的中点，
．
，
选项A正确；

，
选项B正确；

，
选项C正确；

，
选项D不正确．
故选：．
根据点是线段的中点，可得，根据点是线段的中点，可得，据此逐项判断即可．
此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的含义和应用，要熟练掌握．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰中是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
分别作点关于、的对称点、，连接，交于，交于，由对称性与两点之间线段最短可知此时的周长的最小值为，根据对称性求出，在中先求出，再求出．
【解答】
解：分别作点关于、的对称点、，连接，交于，交于．
根据轴对称的性质，可得，，则的周长为，
由对称性与两点之间线段最短可知此时的周长的最小值为，
由对称性可知：，，， ，
所以， ，
因为，，
所以，
同理可得：，
在中，因为，
所以．
故选B．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键．
根据角平分线的定义可设，，利用平角等于得出，再得出，则，，然后分别判断即可．
【解答】
解：平分，平分，
可设，，
为直线上一点，
，
，
，．
，
，
．
平分，
．
，，
，
故本选项结论正确；
，，
，
故本选项结论正确；
，，
，
故本选项结论正确；
，
当时，，
但是题目没有的条件，
故本选项结论错误．
综上所述，正确的有：共个．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：如图，由题可得，，，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
从点直接回到港口，行驶的方向应是南偏西方向，
故选：．
依据，，，可得，进而得出是等腰直角三角形，依据，，即可得到．
此题主要考查了学生对方向角的理解及等腰直角三角形的判定等知识点的掌握情况．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
12.【答案】
【解析】解：射线和射线不是同一条射线，故错误；
若，仅当点在线段上时，则点才为线段的中点，故错误；
同角的补角相等，故正确；
点在线段上，，分别是线段，的中点．若，则线段，故正确．
故选：．
根据射线及线段的定义及特点可判断各项，从而得出答案．
本题考查射线及线段的知识，注意基本概念的掌握是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了学生对圆柱的计算及勾股定理的实际应用能力，理解清楚题意对解题也很重要．根据题意画出平面图，则可得到大矩形的对角线的长就是葛藤的实长，根据勾股定理即可求得的长．
【解答】
解：由于枯木上下粗细相差不大，不妨设此枯木为一圆柱体，因为葛藤绕枯木七周而达顶，这样需将枯木滚动七周，表面展开成个并排的矩形，如下图：
每个矩形底边都等于尺，高都等于尺，大矩形的对角线的长就是葛藤的实长，
尺．
故答案为．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查了线段的计算，关键是熟练掌握线段的中点定义，作出草图，分点在线段上与点不在线段上两种情况进行讨论求解．
【解答】
解：点在线段上，如图，
，，点，分别是，的中点，
，，
，
点在射线上时，如图，
，，点，分别是，的中点，
，，
．
故答案为或．
15.【答案】或
【解析】
【分析】
此题考查了线段的中点，两点间的距离，分类讨论的思想，分两种情况讨论分析：将两根木条重叠摆放，那么两根木条的中点之间的距离为两根木条长度的一半的差将两根木条相接摆放，那么两根木条的中点之间的距离为两根木条长度的一半的和．
【解答】
解：如果将两根木条重叠摆放，
则两根木条的中点之间的距离为：
，
如果将两根木条相接摆放，
则两根木条的中点之间的距离为：
，
故答案为或．
16.【答案】或或
【解析】
【分析】
本题考查了角的计算，熟练掌握角的和、差、倍分关系是解题的关键．
根据角的和差和角的倍分关系即可得到结论．
【解答】
解：如图，
，，把分为：的两个角，
，
；
如图，
，，把分为：的两个角，
，
；
如图，
，，把分为：的两个角，
，
；
如图，
，，把分为：的两个角，
，
；
综上所述，的度数是或或．
故答案为或或．
17.【答案】解：把个小孔和正方形的个顶点所组成的集合称之为，显然，中的点都是一些三角形的公共顶点，
下面我们从两个方面来计算所有三角形的内角和，
设共分成了个三角形，于是它们的内角和为，
另一方面，这些三角形的内角的顶点都是中的点，也即它们的内角都是由中的点提供的，正方形的每个顶点都提供的角，每个孔点则提供的角，
所以得到的个三角形的内角和又应为：，
综合两个方面可得，则，即有个三角形．
这个三角形共有条边，
其中有条边是原正方形的条边，不用另行作出，其他各边都是作出的线段，每条线段恰为两个三角形的公共边，故作出的线段总数为．
综上所述可得一共作了条线段，共得到个三角形．
【解析】利用三角形的内角和解决问题，根据题意可得出正方形的每个顶点都提供的角，每个孔点则提供的角，从而可得出所有三角形的内角和表达式，从而设共分成了个三角形，于是它们的内角和为，联立可得出的值，也可得出所作的线段数．
此题考查了立体图形的知识，解答本题的关键是得出在组成三角形的过程中，正方形的每个顶点都提供的角，每个孔点则提供的角，从而根据三角形的内角和得出方程，难度较大．
18.【答案】解：设底面积为平方分米，
，
解得，
答：底面积为平方分米；
设水面上升分米，
，
解得，
答：水面上升分米；
水面上升高度分米，基座底面到池底：分米，
基座底面到水面：分米，
或，
解得或，
答：的值为或．
【解析】此题考查的是立体图形、列代数式、求代数式的值，掌握有关体积公式是解决此题关键．
设底面积为平方分米，根据体积公式计算即可；
设水面上升分米，根据公式可列方程，求解可得答案；
利用代数式分别表示出水面上升高度、基座底面到池底、基座底面到水面，根据题意列出方程，求解答案．
19.【答案】 ；或
【解析】解：根据已知容器内水的体积为，
故答案为：；
当长方体实心铁块的棱长为和的那一面平放在长方体的容器底面时，
则铁块浸在水中的高度为，此时水位上升了，铁块浸在水中的体积为，
，
解得，
当长方体实心铁块的棱长为和的那一面平放在长方体的容器底面时，
同理可得：，
解得，
故答案为：或．
利用长方体体积公式即可得到答案；
分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．
20.【答案】解：；
正方形的面积为，
边长为，
当时，分两种情况：
若正方形向左平移，如图，
，
，
点表示的数为；
若正方形向右平移，如图，
，
，
点表示的数为；
综上所述，点表示的数为或；
的值为．
理由如下：
当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；
当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，如图，
，点表示，
点表示的数为，
，点表示，
点表示的数为，
点，所表示的数互为相反数，
，
解得．
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴以及两点间的距离公式的运用，解决问题的关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解．
利用正方形的面积为，可得长，再根据，进而可得点表示的数；
先根据正方形的面积为，可得边长为，当时，分两种情况：正方形向左平移，正方形向右平移，分别求出数轴上点表示的数；
当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，再根据点，所表示的数互为相反数，列出方程即可求得的值．
【解答】
解：正方形的面积为，
，
点表示的数为，
，
，
数轴上点表示的数为，
故答案为：．
见答案．
21.【答案】解：设，，则．
是中点，
，
，即．
，即，
，
，即．
设，，
，
，即．
【解析】设，，则．
根据构建方程即可解决问题；
根据，构建方程即可解决问题；
设，根据，构建方程即可解决问题；
本题考查两点间距离，线段的中点、线段的和差定义等知识，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键，学会利用参数构建方程解决问题．
22.【答案】
【解析】解：数轴上点表示的数为；点表示的数为；
若点、同时出发，设秒时、之间的距离恰好等于分两种情况：
点、相遇之前，
由题意得，解得；
点、相遇之后，
由题意得，解得．
答：若点、同时出发，或秒时、之间的距离恰好等于；
设点运动秒时，、之间的距离恰好等于分两种情况：
点、相遇之前，
则，
解得：；
点、相遇之后，
则
解得：．
答：若点、同时出发，或秒时、之间的距离恰好又等于；
线段的长度不发生变化，都等于；理由如下：
当点在点、两点之间运动时：
，
当点运动到点的左侧时：
，
则线段的长度不发生变化，其值为．
故答案为：；．
根据已知可得点表示的数为；点表示的数为；
设秒时、之间的距离恰好等于分两种情况：点、相遇之前，点、相遇之后，列出方程求解即可；
设点运动秒时，、之间的距离恰好等于分两种情况：点、相遇之前，点、相遇之后，列出方程求解即可；
分当点在点、两点之间运动时，当点运动到点的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可．
本题考查了数轴、一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
23.【答案】解：因为平分，平分，
所以，，
因为，，
所以，，
所以；
由可知，，，
所以；
因为平分，平分，
所以，，
因为，，
所以，
如果射线在的外部，那么；
如果射线在的内部，那么．
【解析】本题考查了角的计算：利用几何图形计算几个角的和或差．也考查了角平分线的定义．
根据角平分线定义和已知条件，分别求出和的度数，然后相加即可得出答案；
由可知，，，代入即可得出答案；
根据角平分线定义和已知条件，可得，分射线在的外部与射线在的内部两种情况分别求出的度数即可．
24.【答案】解：由、都是的补角，得
，即．
解得；
与互余，理由如下：
，，
，
与互为余角．
【解析】根据补角的性质，可得、，根据解方程，可得答案；
根据余角的定义，可得答案．
本题考查了余角和补角，利用了补角的性质，余角的定义．
25.【答案】解：与互补．
理由：因为，都是直角，
所以，
所以，，
所以，
所以，
所以与互补．
成立．
理由：因为，都是直角，
所以．
因为，
所以，
所以与互补．
．
【解析】
【分析】
本题考查余角和补角的定义，比较简单，用两种方法表示出是解题的关键．
根据直角的定义可得，然后利用和表示出，列出方程整理即可得解；
根据周角等于列式整理即可得解；
根据角的和差关系即可求解．
【解答】
解：，见答案
因为，
所以
．
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