第四章《锐角三角函数》单元测试卷（困难）（含解析）

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湘教版初中数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
点关于轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，动点从点出发沿射线运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的面积变化情况是( )
A. 先变大再变小 B. 先变小再变大 C. 逐渐变大 D. 不变
如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，绕点逆时针旋转，在此过程中、、的对应点依次为、、，连接，设旋转角为，，与之间的函数关系图象如图，当时，的值为( )
A. B. C. D.
如图，已知矩形中，点是边上的点，，，，，垂足为下列结论：≌；；平分；其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，中，，是中点，点在上，，则的值为( )
B.
C. D.
如图，正方形的对角线，相交于点，点是上一点，交于点，连接，交于点，连接则下列结论：；；；若：：，则；四边形的面积是正方形面积的其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
如图，在正方形中，，分别为、的中点，连接，交于点，将沿对折，得到，延长交延长线于点，下列结论：；；；；，其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，是正方形的边上一点，连接，，则的值可能是( )
A.
B.
C.
D.
数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树，的距离，他们设计了如图的测量方案：从树沿着垂直于的方向走到，再从沿着垂直于的方向走到，为上一点，其中位同学分别测得四组数据：，；，，；，，；，，其中能根据所测数据求得，两树距离的有( )
A. 组 B. 组 C. 组 D. 组
春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为：的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点齐平的处，起风后小明开始往下跑米至坡底处，并继续沿平地向前跑米到达处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方处．已知小明视线距地面高度为米，图中风筝、、、、五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离约为米．参考数据：，，( )
A. B. C. D.
一天，小明和朋友一起到小区测量小明所住楼房的高度，他们首先在测得楼房顶部的仰角为，然后沿着斜坡走了米到处，再测得楼房顶部的仰角为，身高忽略不计已知斜坡的坡度，楼房所离高度为米，则请问楼房自身高度大约为米．参考数据：，，( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在由个完全相同的等边三角形构成的图形中，、如图所示，则 ．
如图，，，，四点均在边长为的正方形网格的格点上，线段，相交于点，则的正切值为 ．
如图，在等边中，点是边上一点，且，点是边上一点，联结、交于点如果的面积是的面积的倍，那么的值为______．
如图，直尺垂直竖立在水平面上，将一个含角的直角三角板的斜边靠在直尺的一边上，使点与点重合，当点沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动．当点滑动到点时，点运动的路径长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
如图，等边三角形纸片中，，点在上，，过点折叠该纸片，得点和折痕点不与点、重合．
当点落在上时，依题意补全图，求证： ；
设的面积为，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
当，，三点共线时，的长为__________．
如图，在 中，，分别是，的中点．
求证：≌．
当，且的面积为，求证：四边形是菱形．
如图，是斜边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连结．
求证：四边形为菱形．
若，，求菱形的面积．
我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对如图在中，，顶角的正对记作，这时容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
______．
______．
如图，已知，其中为锐角，试求的值．
如图，已知四边形中，的延长线与的延长线交于点．注意：本题中的计算过程和结果均保留根号
若，求的长；
若，求的长．
如图，在中，，，点为边上的动点点不与点，重合以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
求证：∽；
当时如图，求的长；
点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
如图，某大楼的顶部树有一块广告牌，小李在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米是指坡面的铅直高度与水平宽度的比
求点距水平面的高度；
求广告牌的高度．
测角器的高度忽略不计，结果精确到米参考数据：，
小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图，已知，，，，．
连结，求线段的长．
求点，之间的距离．
结果精确到参考数据：，，，，，
如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正东方向，有一艘小船在点处，从测得小船在北偏西的方向，从测得小船在北偏东的方向．
求点到海岸线的距离结果保留根号；
小船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．结果精确到，，
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是对称中的坐标变换，熟练掌握关于轴对称的点的坐标的特征是解题的关键首先结合特殊角的三角函数值得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标的特征求得其对称点的坐标即可．
【解答】
解：点的坐标为
点关于轴对称的点的坐标是
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，解题关键是证明的边上高是定值解题时，作射线，垂足为点，作，垂足为点，先证明≌，得出，在中，求出，则，根据三角形面积公式即可求出的面积，由于在动点从点出发沿射线运动的过程中，即和始终保持不变，因此的面积也保持不变．
【解答】
解：作射线，垂足为点，作，垂足为点，则，
，，
，
由旋转可知：，
≌，
，
在中，
，
，
由于在动点从点出发沿射线运动的过程中，即和的长度始终保持不变，
因此的面积也保持不变．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．连接，过点作轴于点，过点作轴于点，通过角的计算找出，结合，可得出∽，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，可得出的值，进而得到的值．
【解答】
解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
由反比例函数的对称性可知、点关于点对称，
．
又，
．
，，
，
又，，
∽，
，
，
，．
又，
，
．
点在第二象限，
，
故选B．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查图像旋转问题，做题的关键要读懂题，看懂图形所给的信息，充分利用所给的信息解题，同时考查了勾股定理的应用和锐角三角函数的知识，基本三角形的边角关系．
首先由题知，当时，利用旋转性质和勾股定理，从而求出；然后当时，过点作于点，利用锐角三角函数知识和勾股定理求解即可．
【解答】：
解：由题知，
当，如下图，根据旋转性质知，，
根据图可知，此时，则，设，
在中，，
即：，
解得，舍去，
即，
则，
当时，过点作于点，如下图，
由题意，
，
，
，
在中，．
故选：
5.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
≌，
，，故正确，
不妨设平分，则是等腰直角三角形，这个显然不可能，故错误，
，，
，
，
，故错误，
正确的结论有共个．
故选：．
根据矩形的性质证明≌，，利用勾股定理求出，然后逐一进行判断即可解决问题．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识．证明∽是解题的关键．先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出，，再证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，求出，然后在中利用余弦函数定义求出的值．
【解答】
解：中，，，
，，
是中点，，
，
，
，
，
，
，
设，则，．
在与中，，，
∽，
，
即，
解得负值舍去，
，
在中，，
．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，．
，
，
．
．
在和中，
，
≌，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
．
．
的结论正确；
，，
点，，，四点共圆，
，
的结论正确；
过点作，交于点，如图，
，，
，
．
，
，
，
．
．
，，，，
．
在和中，
，
≌，
．
．
的结论正确；
：：，
设，则，
，
过点作于点，如图，
，
，
，
在中，
，
．
的结论不正确；
四边形是正方形，
，，
≌≌≌．
．
．
由知：≌，
，
．
即四边形的面积是正方形面积的．
的结论正确．
综上，的结论正确．
故选：．
利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：将沿对折，得到，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，故正确；
四边形是正方形，
，，
，分别为、的中点，
，
≌，
，
，
，
，
；故正确；
设正方形边长为，则，
，
，
，故正确；
，，在中，设，
，
，
，
，故错误；
，，
∽，
，
，
，
，即，故正确，
正确的结论有共个，
故选：．
根据将沿对折，得到，得，而，即可得，判断正确；证明≌，得，即可证，判断正确；设正方形边长为，则，可得，即可判断正确；在中，设，由勾股定理可得，可求得，判断错误；由∽，有，，可判断正确．
本题考查正方形中的翻折变换，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理应用等，解题的关键是掌握翻折的性质．
9.【答案】
【解析】解：点在正方形边上运动，
当与点或点重合时，最小，此时的值也最小，
此时；
当运动到中点时，最大，此时的值也最大，
如图，取中点，连接，，过点作于点，
设正方形的边长为，则，
，
同理，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
的值可能是，
故选B．
点在正方形边上运动，当与点或点重合时，最小，此时的值也最小，此时；当运动到中点时，最大，此时的值也最大，取中点，连接，，过点作于点，证明∽，然后得到，进而可以进行判断．
本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
10.【答案】
【解析】解：此题比较综合，要多方面考虑，
第组中，因为知道和的长，所以可利用的正切来求的长；
第组中可利用和的正切求出；
第组中设，，，；
因为已知，，，可求出，然后得出．
故选：．
根据三角形相似可知，要求出，只需求出即可．所以借助于，根据即可解答．
本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
11.【答案】
【解析】解：设小明在处视线的点为，延长交于点，
过点作平行于地面交于点，
坡度为：，，则，，，
，，
即：，解得：，
，则，
，
，
，
故选：．
，则，求出：，，则，，，，即可求解．
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于设，在中，根据构建方程解决问题即可．
【解答】解：如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于．
由题意四边形四边形是矩形，
米，，
在中，米，
，
米，米，
，，
，
设则米，米，
在中，
，
，
解得，
米，
故选：．

13.【答案】
【解析】如图所示，连接，
易知在中，，，
，同理得．
又，
．
设等边三角形的边长为，则，，
，
．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理、平行线的判定和性质性质、锐角三角函数的定义、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．
连接并延长到，连接，则，由平行线的性质得出，由勾股定理求出和，由三角函数的定义即可得出答案．
【解答】
解：连接并延长到，连接．
则，，，，
，
．
，
根据勾股定理可得：，，
，
．
15.【答案】
【解析】解：如图，取中点，连接，过点作于点，
设等边的边长为，则高为，
，
，
，，
，
的面积是的面积的倍，
，
，
，
，
，
点为中点，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
，
，
故答案为：．
取中点，连接，过点作于点，根据和的面积关系可得点为中点，从而可得为的中位线，设等边的边长为，可得高为，从而可得，，在中，利用勾股定理可得，从而可得，即可求解．
本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，得出各边之间的关系．
16.【答案】
【解析】解：当点沿方向下滑时，得，过点作于点，作于点．
，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
≌，
，
，，
平分，
点在射线上运动，
当时，的值最大，最大值为，
当点滑动到点时，点运动的路径长为．
故答案为：
当点沿方向下滑时，得，过点作于点，作于点证明，推出平分，推出点在射线上运动，当时，的值最大，最大值为，当点滑动到点时，点运动的路径长为．
本题考查点的运动轨迹，熟练掌握直角三角形、正方形的性质，能够根据点的运动确定点的运动轨迹是线段是解题的关键．
17.【答案】解：补全图形，如图
是等边三角形，
由折叠可知，，
；
存在最小值，
如图，过点作垂足为，
，，
由折叠可知，
点在以为圆心，为半径的圆上，
当点在上时，点到距离最小，最小，
中，，
；
．
【解析】
【分析】
本题考查等边三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积、平行线的判定等知识．
根据题意可补全图，利用等边三角形的性质和折叠的性质即可求证；
过点作垂足为，通过分析知点在以为圆心，为半径的圆上，当点在上时，点到距离最小，最小，利用相关知识求解即可；
过点作于点，过点作于点，首先求出，，从而求出，将、用表示出来；然后证明进行求解即可．
【解答】
见答案；
解：如图，过点作于点，过点作于点，
由折叠性质可知，，
，
，，
，
，，
，，
在和中，，，
，
，即，解得．
故答案为．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，分别是，中点，
，，
，
，，
≌．
解法一、过作于，
，且的面积为，
，，
，
，
，
，
，分别是，中点，
，
≌，
，
，
四边形是菱形．
解法二、过作于，
，且的面积为，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，分别是，中点，
，
≌，
，
，
四边形是菱形
【解析】根据平行四边形的性质得到，，，推出，根据即可推出答案；
过作于，根据三角形的面积求出，根据锐角三角函数求出，得出等边三角形，推出，推出即可．
本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
19.【答案】证明：，
，．
是的中点，
，
≌，
．
是边上的中线，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：，
设，，则，
，
，
，
，．
连，
由可知：，，
四边形是平行四边形，
，

【解析】此题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，掌握好相关知识是解题的关键．
先证明≌，得出，判定四边形是平行四边形，利用，即可得出结果；
设，，则，利用， 求出，进而求出和，然后证明出四边形是平行四边形，可得，利用，即可得出结果．
20.【答案】
【解析】解：；
；
设，，则，
在上取，作于点，如图所示：
则，，
，，
．
顶角为的等腰三角形是等边三角形，从而可得；
顶角为的等腰三角形是等腰直角三角形，从而可得；
在上取，作于点，分别表示出、，、，继而可求出的值．
本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，解答本题关键是理解“”的定义，难度一般．
21.【答案】解：，，，，
，，
又，，，，
，
；
，，，
设，则，得，
，得，
，，
，
解得，，
，
即的长是．
【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．
要求的长，只要求出和的长即可，由题意可以得到和的长，本题得以解决；
要求的长，只要求出和的长即可，根据题意可以得到、的长，本题得以解决．
22.【答案】证明：，
，
，，
，
∽．
解：如图中，作于．
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或舍弃，
，，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
．
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．
理由：作于，于，于则，
四边形为矩形，
，，
，，，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
，
，
，
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
解直角三角形求出，由∽，推出，可得，由，推出，求出即可．
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得作于，于，于则，由∽，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题．
23.【答案】解：过作于，
中，，
，
；
，，，
四边形是矩形．
由得：，，
，
中，，
．
中，，，
．
．
答：宣传牌高约米．
【解析】过作的垂线，设垂足为分别在中，通过解直角三角形求出、；
在解直角三角形求出的长，进而可求出即的长，在中，，则，由此可求出的长然后根据即可求出宣传牌的高度．
此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
24.【答案】解：如图，过点作于点，
，．
，
，
，
线段的长约为；
横截面是一个轴对称图形，
延长交、延长线于点，
连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
点，之间的距离．
【解析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数即可解决问题；
根据横截面是一个轴对称图形，延长交、延长线于点，连接，所以，根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
25.【答案】解：如图，过点作于点设．
在中，，，
．
在中，，，
．
，
，
，
点到海岸线的距离为；
如图，过点作于点．
根据题意得：，
在中，，，
．
在中，．
在中，，，
，
点与点之间的距离大约为．
【解析】过点作于点，设，先解，用含的代数式表示，再解，用含的代数式表示，然后根据，列出关于的方程，解方程即可；
过点作于点，先解，得出，再解，得出．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
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