高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1 函数的单调性（教案）

第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.1 函数的单调性
教学设计
一、教学目标
1.理解可导函数的单调性与其导数的关系.
2.能根据导数判断函数的单调性以及求解函数的单调区间.
3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
二、教学重难点
1、教学重点
根据导数判断函数的单调性以及求解函数的单调区间.
2、教学难点
利用函数的单调性解决有关问题.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，最值等性质，在本章的学习中，我们学习了导数的概念及其运算，那么导数与函数的单调性之间有什么关系呢，能否用导数更加精准地研究函数的单调性呢？
我们带着问题开始本节课的学习.
（二）探索新知
探究一：函数的单调性与导数的关系
一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减.
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（1）；（2），；（3）.
解：（1）因为，所以.
所以，函数在R上单调递增，如图（1）所示.
（2）因为，，所以.
所以，函数在上单调递减，如图（2）所示.
（3）因为，，所以.
所以，函数在区间和上单调递增，如图（3）所示.
探究二：三次函数的单调性
下面用导数来研究形如的函数的单调性.
例2 求函数的单调区间.
解：函数的定义域为R.
对求导数，得.
令，解得或.
和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表所示.
2
0 0
单调递增 单调递减 单调递增
所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图所示.
总结：判断函数的单调性的步骤：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数的零点；
第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.
探究三：函数的变化快慢与导数的关系
下面来研究对数函数与幂函数在区间上增长快慢的情况.
对数函数的导数为（），所以在区间上单调递增.当越来越大时，越来越小，所以函数递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”，如图（1）.
幂函数的导数为（），所以在区间上单调递增. 当越来越大时，越来越大，函数递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”，如图（2）.
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
例3 设，，，两个函数的图象如图所示.判断，的图象与，之间的对应关系.
解：因为，，所以，.
当时，；
当时，；
当时，.
所以，，在上都是增函数.在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”.
所以，，的图象依次是图中的，.
（三）课堂练习
1.已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意，得在区间上恒成立，则，所以.故选A.
2.下列函数中,在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：B中，在上恒成立，在上为增函数.对于选项A,C,D，都存在，使的情况.故选B.
3.函数在上的单调性是( )
A.单调递增
B.单调递减
C.在上单调递减,在上单调递增
D.在上单调递增，在上单调递减
答案：C
解析：由已知得函数的定义域为.
，令，得；令，得.
函数在上单调递减,在上单调递增.故选C.
4.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：函数的定义域为R，其导数为.
令,得.因为，所以.当时,单调递减；当时，单调递增.又，所以的解集为，故选D.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容？
1.函数的单调性与导数的关系.
2.三次函数的单调性.
3.函数的变化快慢与导数的关系.
四、板书设计
5.3.1 函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系.
2.三次函数的单调性.
3.函数的变化快慢与导数的关系.
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