人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《抛物线》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《抛物线》教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 448.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-21 18:39:10 | ||
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文档简介
《抛物线》教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
抛物线的概念、标准方程及其简单应用.
2.内容解析
抛物线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，其中的定点、定直线（不经过定点）是确定抛物线的几何要素，这一概念反映了抛物线的几何特征.根据抛物线的概念类比椭圆、双曲线标准方程的获得过程，通过建立适当的平面直角坐标系，用坐标法推导抛物线的标准方程.由于焦点的位置不同，抛物线标准方程的形式也不同.此时，要根据抛物线的位置，充分运用坐标法，对方程的形式进行转化，获得焦点分别在x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半轴上的抛物线的标准方程.通过抛物线的标准方程，结合抛物线的概念，可以研究抛物线的几何性质及其简单应用，特别是过焦点的直线的有关性质.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般过程.
本节内容包含的核心思想方法还是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分展示，另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法；在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念；在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想；求解教科书中的两个例题时使用了待定系数法；对二次函数的图象为什么是抛物线的研究用到了化归与转化思想；等等.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：抛物线的概念和标准方程的建立目标和目标解析.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义，发展直观想象素养.
（2）能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养
2.目标解析
达成上述目标的标志是
（1）能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，形成抛物线的概念
（2）能认识建立抛物线标准方程的过程与建立椭圆、双曲线标准方程的过程是类似的.能通过建立适当的坐标系，根据抛物线上的点满足的几何条件列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简列出的方程，得到抛物线的标准方程；并能用它解决简单的问题，进一步认识获得曲线的方程的方法.
三、教学问题诊断分析
对抛物线的认知基础是对二次函数图象的直观感知，但是并不知道抛物线的几何特征线的几何要素是一个定点和一条定直线，这与确定椭圆与双曲线的几何要素不同.相比而言，椭圆与双曲线的几何特征在具体情境中较为明显，而抛物线的几何特征在具体情境中较为隐蔽，学生不容易发现.
本节课的教学难点是抛物线几何特征的发现.
四、教学支持条件分析
基于教学问题诊断分析，可使用信息技术工具获得抛物线，通过坐标以及距离的变化认识抛物线的几何特征，引导学生在操作中观察，在观察中分析曲线的几何特征.
五、教学过程设计
引导语:通过前面的学习可以发现,如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为,当时,点的轨迹为椭圆；当时,点的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当时,点的轨迹会是什么形状 下面我们就来研究这个问题.
1.抛物线概念的获得
问题1:利用信息技术作图.如图是定点,是不经过点的定直线.是直线上任意一点,过点作,线段的垂直平分线交于点.拖动点,观察点的轨迹,在你熟悉的图形中有与此类似的吗 你能发现点满足的几何条件吗
师生活动:教师出示问题1,引导学生分析问题中的几何元素及其相互关系,并利用信息技术工具进行操作,拖动点,观察点的轨迹及相关数据的变化规律.
追问：（1）动点是如何获得的
（2）线段和线段的几何意义分别是什么
（3）变化的量有哪些 变化顺序如何 变化中是否存在不变的关系
（4）当直线经过点时,线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线是什么位置关系
师生活动：四个追问是让学生在利用信息技术工具操作的过程中从思维层面对问题1进行分析.
对于追问（1）,学生分析与点相关的点与直线,发现点是定直线的垂线与线段的垂直平分线的交点,其中点在直线上运动,随之产生了动点.
对于追问（2）,学生分析出线段是点与定点间的距离,线段是点到定直线的距离.教师一定要让学生说出定点和定直线,而不仅仅是点和直线,只有这样,学生的思维活动才能聚焦到确定抛物线的几何特征上来.
对于追问（3),学生应在分析前两个追问的基础上梳理变化的量及其变化顺序,可以发现和的大小随点的变化而变化,但是始终有.
对于追问（4),学生发现线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线平行,即不能获得点,也就明白了为什么要求定直线不经过定点.
在上述基础上,给出抛物线的概念.
设计意图：通过对问题1的探究及其四个追问,引导学生发现确定抛物线的几何要素,认识抛物线的几何特征,抽象得出抛物线的概念,发展学生的数学抽象素养.
2.建立抛物线的标准方程
问题2:观察图1中的抛物线,如何选择坐标系可能使所求抛物线的方程形式简单
师生活动：学生观察抛物线形状,教师引导学生直观发现抛物线的对称性,建立平面直角坐标系,自主推导抛物线的方程.一般来说,会有以下三种情况（图）:
展示学生所求的三种不同形式的抛物线方程.
追问：（1）类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，每个方程的推导过程是否满足抛物线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系？
（2）三种不同形式的抛物线方程哪个更简单？为什么？
（3）三种不同形式的抛物线方程是否有联系？
师生活动：当学生思考问题2时，一般会出现将坐标系的原点选在定点F、线段FK的中点、定直线l上三种情况.无论是哪一种情况，追问（1）是必不可少的步骤，也容易被学生忽略.当学生分别得到自己推出的方程后，教师提出追问（2），要求学生对它们进行比较，以确定哪个方程更适合作为抛物线的标准方程.之后，教师再提出追问（3），从联系的角度让学生思考三种不同形式的抛物线方程怎样互相转换（平移变换）.
在学生充分思考与推导的基础上，对比分析三种不同形式的抛物线方程及其联系，由学生确定将作为抛物线的标准方程，同时写出其焦点坐标和准线方程.
设计意图：通过问题2及其三个追问，注重学生思维的发生点，让学生类比椭圆与双曲线标准方程的推导方法，自主推导抛物线的标准方程，体验类比方法，提升数学运算素养.
问题3：在平面直角坐标系中，类比椭圆、双曲线，怎样求不同开口方向的抛物线的标准方程？
师生活动：在已获得抛物线的方程的基础上，让学生类比椭圆、双曲线标准方程的不同形式，再分别获得开口向左、上、下的抛物线的标准方程，确定相应的焦点坐标和准线方程，并将结论填写在下面的表中.
追问：（1）只研究表中四种形式的抛物线标准方程基于怎样的思考
（2）你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗 指出它的焦点坐标、准线方程.
师生活动:对于追问（1）,学生类比椭圆、双曲线的标准方程,并根据抛物线只有一个焦点,按焦点所在坐标轴的位置能推断出表中其他三种情况;对于追问（2）,教师引导学生从抛物线的标准方程分析,选择将变形为求焦点坐标、准线方程.
设计意图：通过问题3及其两个追问,类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程,利用表格的
形式呈现抛物线不同形式（焦点位置的不同）的标准方程.
3.抛物线及其标准方程的 固与运用
例1 （1）已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程;
（2）已知抛物线的焦点是,求它的标准方程.
师生活动：学生根据抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，根据抛物线焦点坐标求其标准方程.
设计意图：无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，还是由抛物线焦点坐标或准线方程求其标准方程，正确认识抛物线的标准方程以及方程中p的意义都非常关键，p是抛物线的唯一特征量,决定抛物线的焦点坐标和准线方程.通过例1强化学生对抛物线标准方程、p、焦点坐标以及准线方程的认识.
例2 一种卫星接收天线如图左图所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射人形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,如图（1）.已知接收天线的口径(直径)为,深度为.试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.
师生活动：教师引领学生读懂题意,启发学生从给出的实物图中抽象出数学图形,建立如图（2）所示的坐标系,用待定系数法求解.
设计意图：让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历将实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的过程.
练习 教科书第133页练习.
4.小结
教师引导学生带着下列问题回顾本节课所学知识和学习过程:
（1）抛物线的几何特征是什么
（2）抛物线的标准方程是如何获得的
（3）抛物线的标准方程有哪些不同的形式
设计意图:让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法.
5.布置作业
教科书习题第题.
六、目标检测设计
1.已知抛物线的准线方程是,求它的标准方程.
设计意图:考查学生由已知条件求描物线的标准方程.
2.已知抛物线上的点与焦点的距离等于7,求点的坐标.
设计意图：考查学生灵活运用抛物线标准方程及其几何特征解决问题.
3.求抛物线的焦点坐标和准线方程.
设计意图:考查学生线方程 形为标准方程,然后运用标准方程获得焦点坐标、准线方程.
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一、内容和内容解析
1.内容
抛物线的概念、标准方程及其简单应用.
2.内容解析
抛物线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，其中的定点、定直线（不经过定点）是确定抛物线的几何要素，这一概念反映了抛物线的几何特征.根据抛物线的概念类比椭圆、双曲线标准方程的获得过程，通过建立适当的平面直角坐标系，用坐标法推导抛物线的标准方程.由于焦点的位置不同，抛物线标准方程的形式也不同.此时，要根据抛物线的位置，充分运用坐标法，对方程的形式进行转化，获得焦点分别在x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半轴上的抛物线的标准方程.通过抛物线的标准方程，结合抛物线的概念，可以研究抛物线的几何性质及其简单应用，特别是过焦点的直线的有关性质.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般过程.
本节内容包含的核心思想方法还是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分展示，另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法；在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念；在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想；求解教科书中的两个例题时使用了待定系数法；对二次函数的图象为什么是抛物线的研究用到了化归与转化思想；等等.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：抛物线的概念和标准方程的建立目标和目标解析.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义，发展直观想象素养.
（2）能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养
2.目标解析
达成上述目标的标志是
（1）能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，形成抛物线的概念
（2）能认识建立抛物线标准方程的过程与建立椭圆、双曲线标准方程的过程是类似的.能通过建立适当的坐标系，根据抛物线上的点满足的几何条件列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简列出的方程，得到抛物线的标准方程；并能用它解决简单的问题，进一步认识获得曲线的方程的方法.
三、教学问题诊断分析
对抛物线的认知基础是对二次函数图象的直观感知，但是并不知道抛物线的几何特征线的几何要素是一个定点和一条定直线，这与确定椭圆与双曲线的几何要素不同.相比而言，椭圆与双曲线的几何特征在具体情境中较为明显，而抛物线的几何特征在具体情境中较为隐蔽，学生不容易发现.
本节课的教学难点是抛物线几何特征的发现.
四、教学支持条件分析
基于教学问题诊断分析，可使用信息技术工具获得抛物线，通过坐标以及距离的变化认识抛物线的几何特征，引导学生在操作中观察，在观察中分析曲线的几何特征.
五、教学过程设计
引导语:通过前面的学习可以发现,如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为,当时,点的轨迹为椭圆；当时,点的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当时,点的轨迹会是什么形状 下面我们就来研究这个问题.
1.抛物线概念的获得
问题1:利用信息技术作图.如图是定点,是不经过点的定直线.是直线上任意一点,过点作,线段的垂直平分线交于点.拖动点,观察点的轨迹,在你熟悉的图形中有与此类似的吗 你能发现点满足的几何条件吗
师生活动:教师出示问题1,引导学生分析问题中的几何元素及其相互关系,并利用信息技术工具进行操作,拖动点,观察点的轨迹及相关数据的变化规律.
追问：（1）动点是如何获得的
（2）线段和线段的几何意义分别是什么
（3）变化的量有哪些 变化顺序如何 变化中是否存在不变的关系
（4）当直线经过点时,线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线是什么位置关系
师生活动：四个追问是让学生在利用信息技术工具操作的过程中从思维层面对问题1进行分析.
对于追问（1）,学生分析与点相关的点与直线,发现点是定直线的垂线与线段的垂直平分线的交点,其中点在直线上运动,随之产生了动点.
对于追问（2）,学生分析出线段是点与定点间的距离,线段是点到定直线的距离.教师一定要让学生说出定点和定直线,而不仅仅是点和直线,只有这样,学生的思维活动才能聚焦到确定抛物线的几何特征上来.
对于追问（3),学生应在分析前两个追问的基础上梳理变化的量及其变化顺序,可以发现和的大小随点的变化而变化,但是始终有.
对于追问（4),学生发现线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线平行,即不能获得点,也就明白了为什么要求定直线不经过定点.
在上述基础上,给出抛物线的概念.
设计意图：通过对问题1的探究及其四个追问,引导学生发现确定抛物线的几何要素,认识抛物线的几何特征,抽象得出抛物线的概念,发展学生的数学抽象素养.
2.建立抛物线的标准方程
问题2:观察图1中的抛物线,如何选择坐标系可能使所求抛物线的方程形式简单
师生活动：学生观察抛物线形状,教师引导学生直观发现抛物线的对称性,建立平面直角坐标系,自主推导抛物线的方程.一般来说,会有以下三种情况（图）:
展示学生所求的三种不同形式的抛物线方程.
追问：（1）类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，每个方程的推导过程是否满足抛物线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系？
（2）三种不同形式的抛物线方程哪个更简单？为什么？
（3）三种不同形式的抛物线方程是否有联系？
师生活动：当学生思考问题2时，一般会出现将坐标系的原点选在定点F、线段FK的中点、定直线l上三种情况.无论是哪一种情况，追问（1）是必不可少的步骤，也容易被学生忽略.当学生分别得到自己推出的方程后，教师提出追问（2），要求学生对它们进行比较，以确定哪个方程更适合作为抛物线的标准方程.之后，教师再提出追问（3），从联系的角度让学生思考三种不同形式的抛物线方程怎样互相转换（平移变换）.
在学生充分思考与推导的基础上，对比分析三种不同形式的抛物线方程及其联系，由学生确定将作为抛物线的标准方程，同时写出其焦点坐标和准线方程.
设计意图：通过问题2及其三个追问，注重学生思维的发生点，让学生类比椭圆与双曲线标准方程的推导方法，自主推导抛物线的标准方程，体验类比方法，提升数学运算素养.
问题3：在平面直角坐标系中，类比椭圆、双曲线，怎样求不同开口方向的抛物线的标准方程？
师生活动：在已获得抛物线的方程的基础上，让学生类比椭圆、双曲线标准方程的不同形式，再分别获得开口向左、上、下的抛物线的标准方程，确定相应的焦点坐标和准线方程，并将结论填写在下面的表中.
追问：（1）只研究表中四种形式的抛物线标准方程基于怎样的思考
（2）你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗 指出它的焦点坐标、准线方程.
师生活动:对于追问（1）,学生类比椭圆、双曲线的标准方程,并根据抛物线只有一个焦点,按焦点所在坐标轴的位置能推断出表中其他三种情况;对于追问（2）,教师引导学生从抛物线的标准方程分析,选择将变形为求焦点坐标、准线方程.
设计意图：通过问题3及其两个追问,类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程,利用表格的
形式呈现抛物线不同形式（焦点位置的不同）的标准方程.
3.抛物线及其标准方程的 固与运用
例1 （1）已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程;
（2）已知抛物线的焦点是,求它的标准方程.
师生活动：学生根据抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，根据抛物线焦点坐标求其标准方程.
设计意图：无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，还是由抛物线焦点坐标或准线方程求其标准方程，正确认识抛物线的标准方程以及方程中p的意义都非常关键，p是抛物线的唯一特征量,决定抛物线的焦点坐标和准线方程.通过例1强化学生对抛物线标准方程、p、焦点坐标以及准线方程的认识.
例2 一种卫星接收天线如图左图所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射人形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,如图（1）.已知接收天线的口径(直径)为,深度为.试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.
师生活动：教师引领学生读懂题意,启发学生从给出的实物图中抽象出数学图形,建立如图（2）所示的坐标系,用待定系数法求解.
设计意图：让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历将实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的过程.
练习 教科书第133页练习.
4.小结
教师引导学生带着下列问题回顾本节课所学知识和学习过程:
（1）抛物线的几何特征是什么
（2）抛物线的标准方程是如何获得的
（3）抛物线的标准方程有哪些不同的形式
设计意图:让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法.
5.布置作业
教科书习题第题.
六、目标检测设计
1.已知抛物线的准线方程是,求它的标准方程.
设计意图:考查学生由已知条件求描物线的标准方程.
2.已知抛物线上的点与焦点的距离等于7,求点的坐标.
设计意图：考查学生灵活运用抛物线标准方程及其几何特征解决问题.
3.求抛物线的焦点坐标和准线方程.
设计意图:考查学生线方程 形为标准方程,然后运用标准方程获得焦点坐标、准线方程.
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