人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《抛物线及其标准方程》名师课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
复习引入
当 时是椭圆.
当 时是双曲线.
当 是？
一个动点到一个定点
和一条定直线的距离之比
为常数:
人教A版同步教材名师课件
抛物线及其标准方程
学习目标
学 习 目 标 核心素养
抛物线的定义 数学抽象
抛物线的标准方程 数学抽象
抛物线的焦点、焦距的概念 数学抽象
学习目标
学习目标:
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．
3.明确 的几何意义,并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
学科核心素养:
1.通过抛物线定义的学习,培养数学抽象核心素养.
2.通过抛物线定义及标准方程的应用,培养学生的直观想象、数学建模等核心素养.
探究新知
一、抛物线的定义：
定点叫做抛物线的焦点;
定直线叫做抛物线的准线．
平面内到定点与到定直线的距离的比值为的点的轨迹叫抛物线.
探究新知
思考
平面上与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
在上时,轨迹是过点垂直于的一条直线.
定点和定直线的位置关系：
定点不在定直线上.
探究新知
二、标准方程的推导
·
·
如何建立直角坐标系？
想一想？
求曲线方程的基本步骤是怎样的？
步骤：
(1)建系
(2)设点
(3)找等量关系
(4)列方程
(5)化简
探究新知
(1)
(2)
(3)
探究新知
·
·
设
则
设点的坐标为,
由定义可知,
取过焦点且垂直于准线的直线为轴,
线段的中垂线轴,
化简得.
探究新知
方程叫做抛物线的标准方程.
其中为正常数,它的几何意义是:
焦点到准线的距离.
三、标准方程:
·
·
探究新知
一条抛物线,由于建的坐标系不同,因此方程也不同,所以抛物线的标准方程还有其它形式.
方程表示抛物线的焦点在 轴的正半轴上.
则.
探究新知
开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程
向右
向左
向上
向下
口诀：
一次项定轴,系数定方向;焦点与方程同号,准线与方程异号．
抛物线方程的四种形式：
例1、(1)已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的方程是,求它的焦点坐标和准线方程.
(1)因为,故焦点坐标为,准线方程.
(2)方程可化为: ,
故,焦点坐标为,
准线方程为.
典例讲解
解析
例1、 (3)过点;
因为点在第二象限,
所以抛物线的标准方程可设为
或.
把点的坐标分别代入
和,
得或,
即或.
所以所求抛物线的标准方程为或.
典例讲解
解析
例1、 (4)焦点在直线上.
令,得;令,得.
故抛物线的焦点为或
当焦点为时, ,
即,此时抛物线方程为.
当焦点为时, ,
即,此时抛物线方程为.
故所求的抛物线方程为或.
典例讲解
解析
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
方法归纳
1.分别根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)准线方程为.
(2)焦点在轴负半轴上,焦点到准线的距离是.
(1)因为抛物线的准线平行于轴,且,则.
所以,所求抛物线的标准方程为.
(2)由焦点到准线的距离为,知,
又焦点在轴负半轴上,
所以,所求抛物线的标准方程为.
解析
变式训练
由抛物线的定义可知,
抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.
由图可知,点、点和抛物线的焦点 三点共线时距离之和最小,
所以最小距离
例2、已知点是抛物线上的一个动点,求点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解析
典例讲解
典例变式
1.若将本例中点改为点,求的最小值.
2.若将本例中点换为直线,求点到直线的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
例2、已知点是抛物线上的一个动点,求点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值.
典例变式
将代入,得.
所以在抛物线内部.
设为其上一点,
到准线(设为l)的距离为,
则
由图可知,当时, 最小,
最小值是.即的最小值是.
1.若将本例中点改为点,求的最小值.
解析
典例变式
如图.
的最小值为到直线的距离
即所求最小值为.
2.若将本例中点换为直线,求点到直线的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
解析
方法归纳
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题．
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题．
变式训练
2.若抛物线上有一点,其横坐标为,且点到焦点的距离为,求点的坐标.
由抛物线方程,得焦点坐标为,
准线方程为.
设点到准线的距离为,则,
即,得,
故抛物线方程为.
设点的纵坐标为y,
由点在抛物线上,得,
故点的坐标为或
解析
典例讲解
例3、喷灌的喷头装在直立管柱的顶点处,喷出水流的最高点高,且与所在的直线相距,水流落在以为圆心,半径为的圆上,则管柱的长是多少？
如图所示,建立直角坐标系,
设水流所形成的抛物线的方程为,
因为点在抛物线上,
所以,
因此,
解析
典例讲解
例3、喷灌的喷头装在直立管柱的顶点处,喷出水流的最高点高,且与所在的直线相距,水流落在以为圆心,半径为的圆上,则管柱的长是多少？
所以抛物线的方程为,
点在抛物线上,
所以,即
所以的长为.
所以管柱的长为.
解析
方法归纳
求解抛物线实际应用题的五个步骤
以拱桥的顶点为坐标原点,
水平方向为轴建立平面直角坐标系,
设抛物线的标准方程为,
把点的坐标代入方程求解得,
即抛物线的标准方程为.
再把代入得
所以水位下降后,水面宽为 .
3. 如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m,水位下降1m后,水面宽________m.
解析
变式训练
素养提炼
1．抛物线的四种标准方程记忆方法
(1)方程特点：焦点在轴上,是一次项,是平方项;
焦点在轴上,是一次项,是平方项．
(2)一次项表明焦点所在轴,它的符号表明开口方向,
有如下口诀：
焦点轴一次项,符号确定开口向;
若是一次项,负时向下正向上;
若是一次项,负时向左正向右．
素养提炼
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程间的对应关系.
(2)当抛物线的类型没有确定时,
可设方程为或,
这样可以减少讨论情况的个数.
(3)注意与的几何意义.
当堂练习
1.准线与轴垂直,且经过点的抛物线的标准方程是( )
由题意可设抛物线的标准方程为 ,则 ,解得,因此抛物线的标准方程为,故选B.
2.过点且与轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线
由题意可知,动圆的圆心到点的距离与到直线轴的距离相等,满足抛物线的定义,故应选.
解析
解析
当堂练习
3.设抛物线上一点到轴的距离是,则点到该抛物线焦点的距离是_____________.
由抛物线的方程得,
再根据抛物线的定义,
可知所求距离为.
解析
归纳小结
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、准线、方程
3、求标准方程(1)用定义;
(2)用待定系数法
P138 习题3.3:1、7、8
作 业