人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 抛物线_练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 抛物线_练习（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-21 18:56:07 | ||
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文档简介
抛物线
一、单选题
1．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A． B． C． D．
2．（2019·乐清市知临中学高二期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·北京高三月考）抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线的焦点为,准线为,且过点在抛物线上,若点,则的最小值为
A．2 B．3
C．4 D．5
7．（2020·湖北省高三月考（理））已知抛物线：的准线与圆：相切，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·天津高三一模）已知抛物线与的焦点间的距离为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（ ）
A．8 B．11 C．13 D．16
10．（2020·山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（ ）
A．16 B．10
C．12 D．8
二、多选题
11．（2019·辽宁省高二期末）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为和，则的值可取（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·山东省高三开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是
C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6
13．（2019·山东省高二期中）已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．为中点 C． D．
三、填空题
14．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是______.
15．（2019·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线的准线方程是，则＝________.
16．（2020·北京高三其他）如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______.
17．（2019·浙江省诸暨中学高三一模）抛物线的焦点坐标为_____，过的直线交抛物线于、两点，若，则点坐标为_____.
四、解答题
18．（2020·四川省阆中中学高二月考（文））已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点.
求：（1）m的值及双曲线的离心率；
（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.
19．（2019·凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F．
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；
（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．
20．（2020·安徽省高二期末（文））已知抛物线上的点到焦点F的距离为.
（1）求的值；
（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.
21．（2020·河南省实验中学高三二模（文））过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点，已知当l的斜率为时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.
22．（2020·广东省高二期末）已知直线与抛物线（）相交于A，B两点，且△是等腰直角三角形．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l过定点，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？
23．（2019·安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，过点作垂直于，交于，△是边长为8的正三角形.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程.
抛物线答案
一、单选题
1．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，抛物线的准线方程为，即其焦点在y轴负半轴上，且，得，
故其标准方程为.故选：C
2．（2019·乐清市知临中学高二期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】整理抛物线方程得，焦点在轴，，焦点坐标为，故选B.
3．（2020·北京高三月考）抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】准线方程为：，与轴的交点为，故选B.
4．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.
5．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选
6．（2020·江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线的焦点为,准线为,且过点在抛物线上,若点,则的最小值为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题可得,.由抛物线的定义可知,,所以
=.故选B．
7．（2020·湖北省高三月考（理））已知抛物线：的准线与圆：相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线的准线为，又准线与圆相切，
所以 ，则. 故选D
8．（2020·天津高三一模）已知抛物线与的焦点间的距离为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，
由已知条件可得，，解得.故选：A.
9．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（ ）
A．8 B．11 C．13 D．16
【答案】C
【解析】抛物线中p＝3，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，又线段AB中点M的横坐标为5，∴＝10，∴|AF|+|BF|＝13；故选：C.
10．（2020·山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（ ）
A．16 B．10
C．12 D．8
【答案】C
【解析】因为，，三点共线，所以为圆的直径，．由抛物线定义知，所以．因为到准线的距离为6，所以．
故选：．
二、多选题
11．（2019·辽宁省高二期末）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为和，则的值可取（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】设，所以有，由点到其准线及对称轴的距离分别为和，所以有，，所以有或. 故选：BD
12．（2020·山东省高三开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是
C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6
【答案】BC
【解析】抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，点到焦点的距离等于3，可得，解得，则抛物线的方程为，准线为，故A错误，B正确；由题知直线的斜率存在，，设，，直线的方程为，
由，消去得，所以，，所以，所以AB的中点Q的坐标为，
，故线段AB的最小值是4，即D错误；所以圆Q的半径为，在等腰△中，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即C正确，故选：BC.
13．（2019·山东省高二期中）已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．为中点 C． D．
【答案】ABC
【解析】如图所示：作准线于，轴于，准线于.
直线的斜率为，故，，，故，.
，代入抛物线得到；，故，故为中点；
，故；，，故；
故选：.
三、填空题
14．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是______.
【答案】
【解析】抛物线方程的标准形式为：，准线方程为，由抛物线的定义得：点到该抛物线焦点的距离等于点到准线的距离，因为点到轴的距离是4，所以，故填：.
15．（2019·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线的准线方程是，则＝________.
【答案】
【解析】抛物线的标准方程为,则a＜0且2＝－，得a＝－.
16．（2020·北京高三其他）如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______.
【答案】
【解析】抛物线的准线方程为，由题意得，解得.∵点在抛物线上，∴，∴，故答案为：.
17．（2019·浙江省诸暨中学高三一模）抛物线的焦点坐标为_____，过的直线交抛物线于、两点，若，则点坐标为_____.
【答案】
【解析】抛物线的焦点的坐标为；设点，，设直线的方程为，，，由得，，
联立，消去得，，所以，解得，，因此，点的坐标为.故答案为：；.
四、解答题
18．（2020·四川省阆中中学高二月考（文））已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点.
求：（1）m的值及双曲线的离心率；
（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.
【答案】（1），；（2）准线方程为，渐近线方程为
【解析】（1）抛物线的焦点为，由双曲线，可得，解得，
双曲线的，，则；
（2）抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为.
19．（2019·凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F．
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；
（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．
【答案】（1）抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）；（2）M的轨迹方程为 y2=2x﹣1．
【解析】（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2.∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）
（2）设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点，则x0+1=2x，0+y0="2y"
∴x0=2x﹣1，y0=2y.∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0.∴（2y）2=4（2x﹣1），化简得，y2=2x﹣1．
∴M的轨迹方程为 y2=2x﹣1．
20．（2020·安徽省高二期末（文））已知抛物线上的点到焦点F的距离为.
（1）求的值；
（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：，，，解得：.
（2）设，，则，两式作差得：，
，为的中点，，，直线的方程为：，即.
21．（2020·河南省实验中学高三二模（文））过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点，已知当l的斜率为时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.
【答案】；
【解析】由题意可知,直线l的方程为,与抛物线方程方程联立可得,
,设,由韦达定理可得,,因为,,所以,解得,所以抛物线C的方程为;
设,的中点为,
由,消去可得,所以判别式,解得或,
由韦达定理可得,,所以的中垂线方程为,令则,因为或,所以即为所求.
22．（2020·广东省高二期末）已知直线与抛物线（）相交于A，B两点，且△是等腰直角三角形．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l过定点，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？
【答案】（1）（2）或或
【解析】（1）直线与抛物线（）相交于A，B两点，可设，，
又△是等腰直角三角形，可得，则，解得，即有抛物线的方程为；
（2）直线l过定点，斜率为k，可设直线l的方程为，当直线l平行于抛物线的对称轴x轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即；当直线l与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由可得，，由，解得或，综上可得或或，直线l与抛物线C只有一个公共点．
23．（2019·安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，过点作垂直于，交于，△是边长为8的正三角形.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或
【解析】
由是边长为8的等边三角形，
得，又由抛物线的定义可得．设准线与轴交于，则，
从而，在中，，即．
所以抛物线的方程为；
（2）设直线：，代入得，设，则，，因为，所以，设，则，，
解得，所以直线方程为，即或
一、单选题
1．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A． B． C． D．
2．（2019·乐清市知临中学高二期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·北京高三月考）抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线的焦点为,准线为,且过点在抛物线上,若点,则的最小值为
A．2 B．3
C．4 D．5
7．（2020·湖北省高三月考（理））已知抛物线：的准线与圆：相切，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·天津高三一模）已知抛物线与的焦点间的距离为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（ ）
A．8 B．11 C．13 D．16
10．（2020·山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（ ）
A．16 B．10
C．12 D．8
二、多选题
11．（2019·辽宁省高二期末）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为和，则的值可取（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·山东省高三开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是
C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6
13．（2019·山东省高二期中）已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．为中点 C． D．
三、填空题
14．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是______.
15．（2019·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线的准线方程是，则＝________.
16．（2020·北京高三其他）如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______.
17．（2019·浙江省诸暨中学高三一模）抛物线的焦点坐标为_____，过的直线交抛物线于、两点，若，则点坐标为_____.
四、解答题
18．（2020·四川省阆中中学高二月考（文））已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点.
求：（1）m的值及双曲线的离心率；
（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.
19．（2019·凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F．
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；
（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．
20．（2020·安徽省高二期末（文））已知抛物线上的点到焦点F的距离为.
（1）求的值；
（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.
21．（2020·河南省实验中学高三二模（文））过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点，已知当l的斜率为时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.
22．（2020·广东省高二期末）已知直线与抛物线（）相交于A，B两点，且△是等腰直角三角形．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l过定点，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？
23．（2019·安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，过点作垂直于，交于，△是边长为8的正三角形.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程.
抛物线答案
一、单选题
1．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，抛物线的准线方程为，即其焦点在y轴负半轴上，且，得，
故其标准方程为.故选：C
2．（2019·乐清市知临中学高二期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】整理抛物线方程得，焦点在轴，，焦点坐标为，故选B.
3．（2020·北京高三月考）抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】准线方程为：，与轴的交点为，故选B.
4．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.
5．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选
6．（2020·江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线的焦点为,准线为,且过点在抛物线上,若点,则的最小值为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题可得,.由抛物线的定义可知,,所以
=.故选B．
7．（2020·湖北省高三月考（理））已知抛物线：的准线与圆：相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线的准线为，又准线与圆相切，
所以 ，则. 故选D
8．（2020·天津高三一模）已知抛物线与的焦点间的距离为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，
由已知条件可得，，解得.故选：A.
9．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（ ）
A．8 B．11 C．13 D．16
【答案】C
【解析】抛物线中p＝3，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3，又线段AB中点M的横坐标为5，∴＝10，∴|AF|+|BF|＝13；故选：C.
10．（2020·山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（ ）
A．16 B．10
C．12 D．8
【答案】C
【解析】因为，，三点共线，所以为圆的直径，．由抛物线定义知，所以．因为到准线的距离为6，所以．
故选：．
二、多选题
11．（2019·辽宁省高二期末）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为和，则的值可取（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】设，所以有，由点到其准线及对称轴的距离分别为和，所以有，，所以有或. 故选：BD
12．（2020·山东省高三开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是
C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6
【答案】BC
【解析】抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，点到焦点的距离等于3，可得，解得，则抛物线的方程为，准线为，故A错误，B正确；由题知直线的斜率存在，，设，，直线的方程为，
由，消去得，所以，，所以，所以AB的中点Q的坐标为，
，故线段AB的最小值是4，即D错误；所以圆Q的半径为，在等腰△中，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即C正确，故选：BC.
13．（2019·山东省高二期中）已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．为中点 C． D．
【答案】ABC
【解析】如图所示：作准线于，轴于，准线于.
直线的斜率为，故，，，故，.
，代入抛物线得到；，故，故为中点；
，故；，，故；
故选：.
三、填空题
14．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是______.
【答案】
【解析】抛物线方程的标准形式为：，准线方程为，由抛物线的定义得：点到该抛物线焦点的距离等于点到准线的距离，因为点到轴的距离是4，所以，故填：.
15．（2019·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线的准线方程是，则＝________.
【答案】
【解析】抛物线的标准方程为,则a＜0且2＝－，得a＝－.
16．（2020·北京高三其他）如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______.
【答案】
【解析】抛物线的准线方程为，由题意得，解得.∵点在抛物线上，∴，∴，故答案为：.
17．（2019·浙江省诸暨中学高三一模）抛物线的焦点坐标为_____，过的直线交抛物线于、两点，若，则点坐标为_____.
【答案】
【解析】抛物线的焦点的坐标为；设点，，设直线的方程为，，，由得，，
联立，消去得，，所以，解得，，因此，点的坐标为.故答案为：；.
四、解答题
18．（2020·四川省阆中中学高二月考（文））已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点.
求：（1）m的值及双曲线的离心率；
（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.
【答案】（1），；（2）准线方程为，渐近线方程为
【解析】（1）抛物线的焦点为，由双曲线，可得，解得，
双曲线的，，则；
（2）抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为.
19．（2019·凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F．
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；
（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．
【答案】（1）抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）；（2）M的轨迹方程为 y2=2x﹣1．
【解析】（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2.∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）
（2）设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点，则x0+1=2x，0+y0="2y"
∴x0=2x﹣1，y0=2y.∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0.∴（2y）2=4（2x﹣1），化简得，y2=2x﹣1．
∴M的轨迹方程为 y2=2x﹣1．
20．（2020·安徽省高二期末（文））已知抛物线上的点到焦点F的距离为.
（1）求的值；
（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：，，，解得：.
（2）设，，则，两式作差得：，
，为的中点，，，直线的方程为：，即.
21．（2020·河南省实验中学高三二模（文））过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点，已知当l的斜率为时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.
【答案】；
【解析】由题意可知,直线l的方程为,与抛物线方程方程联立可得,
,设,由韦达定理可得,,因为,,所以,解得,所以抛物线C的方程为;
设,的中点为,
由,消去可得,所以判别式,解得或,
由韦达定理可得,,所以的中垂线方程为,令则,因为或,所以即为所求.
22．（2020·广东省高二期末）已知直线与抛物线（）相交于A，B两点，且△是等腰直角三角形．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l过定点，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？
【答案】（1）（2）或或
【解析】（1）直线与抛物线（）相交于A，B两点，可设，，
又△是等腰直角三角形，可得，则，解得，即有抛物线的方程为；
（2）直线l过定点，斜率为k，可设直线l的方程为，当直线l平行于抛物线的对称轴x轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即；当直线l与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由可得，，由，解得或，综上可得或或，直线l与抛物线C只有一个公共点．
23．（2019·安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，过点作垂直于，交于，△是边长为8的正三角形.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或
【解析】
由是边长为8的等边三角形，
得，又由抛物线的定义可得．设准线与轴交于，则，
从而，在中，，即．
所以抛物线的方程为；
（2）设直线：，代入得，设，则，，因为，所以，设，则，，
解得，所以直线方程为，即或