人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价：3.3.1抛物线及其标准方程（含答案）

二十六　抛物线及其标准方程
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知抛物线的标准方程为y2=ax,则其焦点坐标为 (　　)
A. B.
C. D.
2.抛物线y=x2的准线方程是 (　　)
A.y=-1　 B.y=-2　 C.x=-1　 D.x=-2
3.点M(5,3)到抛物线y=ax2准线的距离为6,那么抛物线的方程是　 (　　)
A.y=12x2　 B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2　 D.y=x2或y=-x2
4.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为 (　　)
A. B. C. D.4
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知抛物线的方程为x=y2,则该抛物线的准线方程是　　　　.
6.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上的一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=　　　　.
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
8.如图所示,抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴上,准线l与圆x2+y2=1相切.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若点A,B都在抛物线C上,且=2,求点A的坐标.
(15分钟·30分)
1.(5分)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为 (　　)
A.y2=8x　 B.y2=-8x　 C.x2=8y　 D.x2=-8y
2.(5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= (　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
3.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 (　　)
A.2　 B.2　 C.2　 D.4
4.(5分)以椭圆+=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为　　　　.
5.(10分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上两点A,B,且AB⊥y轴,OA⊥OB,△AOB的面积为16,求抛物线C的方程.
1.已知抛物线y=x2与双曲线-x2=1(a>0)有共同的焦点F,O为坐标原点,P在x轴上方且在双曲线上,则·的最小值为　　　　.
2.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5,求抛物线的方程.
二十六　抛物线及其标准方程答案
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知抛物线的标准方程为y2=ax,则其焦点坐标为 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.抛物线的标准方程为y2=ax,则其焦点坐标为.
2.抛物线y=x2的准线方程是 (　　)
A.y=-1　 B.y=-2　 C.x=-1　 D.x=-2
【解析】选A.因为y=x2,所以x2=4y,所以抛物线的准线方程是y=-1.
3.点M(5,3)到抛物线y=ax2准线的距离为6,那么抛物线的方程是　 (　　)
A.y=12x2　 B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2　 D.y=x2或y=-x2
【解析】选D.分两类a>0,a<0可得y=x2,y=-x2.
4.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为 (　　)
A. B. C. D.4
【解析】选C.根据题意,抛物线的方程为y=2x2,其标准方程为x2=y,其中p=,
则抛物线的焦点到准线的距离p=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知抛物线的方程为x=y2,则该抛物线的准线方程是　　　　.
【解析】x=y2,焦点在x轴上,且=9,所以抛物线的准线方程是x=-9.
答案:x=-9
6.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上的一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=　　　　.
【解析】如图,∠AFE=60°,
因为点F(2,0),所以点E(-2,0),则=tan 60°,即|AE|=4,所以点P的坐标为(6,4),故|PF|=|PA|=6+2=8.
答案:8
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
【解析】设动圆圆心为M(x,y),半径为r,
则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,则动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.
8.如图所示,抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴上,准线l与圆x2+y2=1相切.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若点A,B都在抛物线C上,且=2,求点A的坐标.
【解析】(1)依题意,可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),其准线l的方程为y=-.
因为准线l与圆x2+y2=1相切,
所以圆心(0,0)到准线l的距离d=0-=1,
解得p=2.故抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则由题意得F(0,1),
所以=(x2,y2-1),=(x1,y1),
因为=2,
所以(x2,y2-1)=2(x1,y1)=(2x1,2y1),
即
代入②得4=8y1+4,
即=2y1+1,又=4y1,
所以4y1=2y1+1,
解得y1=,x1=±,
即点A的坐标为或.
(15分钟·30分)
1.(5分)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为 (　　)
A.y2=8x　 B.y2=-8x　 C.x2=8y　 D.x2=-8y
【解析】选C.由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y+2=0的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,其方程为x2=8y.
2.(5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= (　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
【解析】选C.如图,
在正三角形ABF中,DF=p,BD=p,
所以B点坐标为,
又点B在双曲线上,故-=1,解得p=6.
3.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 (　　)
A.2　 B.2　 C.2　 D.4
【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点P的坐标,进而求出面积.
【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-,
焦点F(,0),由|PF|=4及抛物线的定义知,P点的横坐标xP=3,
从而yP=±2,
所以S△POF=|OF|·|yP|=××2=2.
4.(5分)以椭圆+=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为　　　　.
【解析】因为椭圆的方程为+=1,
所以右顶点为(4,0).
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),
则=4,即p=8,所以抛物线的标准方程为y2=16x.
答案:y2=16x
5.(10分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上两点A,B,且AB⊥y轴,OA⊥OB,△AOB的面积为16,求抛物线C的方程.
【解析】不妨设点A在第一象限且A(m,n),
则B(-m,n),可得n2=2pm,
AB⊥y轴,且OA⊥OB,
即△AOB为等腰直角三角形,
则OA的斜率为1,即m=n,
△AOB的面积为16,
可得·2m·n=16,
解得m=n=4,p=2,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
1.已知抛物线y=x2与双曲线-x2=1(a>0)有共同的焦点F,O为坐标原点,P在x轴上方且在双曲线上,则·的最小值为　　　　.
【解析】抛物线y=x2,
即x2=8y的焦点为F(0,2).
所以a2=22-12=3,
故双曲线的方程为-x2=1.
设P(x,y),
因为点P在x轴上方,
故由双曲线的性质可得y≥.=(x,y),
=(x,y-2),
·=x2+y(y-2)=x2+y2-2y
=+y2-2y-1=y2-2y-1
=-1=-.
因为y=<,
故函数t=-在[,+∞)上单调递增,当y=时,取得最小值,最小值为×()2-2×-1=3-2.
所以·的最小值为3-2.
答案:3-2
2.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5,求抛物线的方程.
【解析】抛物线的准线为l:x=-.
①当点A在抛物线内部时,42<2p·,
即p>时,过M作MA＇⊥l,垂足为A＇,
则|MF|+|MA|=|MA＇|+|MA|.
当A,M,A＇共线时,(|MF|+|MA|)min=5,
即+=5,所以p=3,满足p>,
所以抛物线方程为y2=6x.
②当点A在抛物线外部时,42>2p·,
即p<时,|MF|+|MA|≥|AF|,
当A,M,F共线时取等号,|AF|=5,
即=5,
所以p=1或p=13(舍),
所以抛物线方程为y2=2x.
③当点A在抛物线上,
即p=时,结合②明显不成立.
综上,抛物线方程为y2=6x或y2=2x.
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