人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《抛物线》链接高考（含答案）

《抛物线》链接高考
一、选择题
1.(2020全国卷III)设为坐标原点,直线与抛物线交于、两点,若,则的焦点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
2.(2020全国卷I)已知为抛物线上一点,点到的焦点的距离为12,到轴的距离为9,则( )
A.2
B.3
C.6
D.9
二、填空题
3.(2020海南卷)斜率为的直线过抛物线的焦点,且与交于、两点,则____________.
三、解答题
4.(2019浙江卷)如图,已知点为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于、两点,点在抛物线上,使得的重心在轴上,直线交轴于点,且在点右侧.记、的面积为、.
(1)求的值及抛物线的标准方程;
(2)求的最小值及此时点的坐标.
5.(2019北京卷)已知抛物线经过点(2,-1).
(1)求抛物线的方程及其准线方程;
(2)设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点,直线分别交直线于点和点.求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.
参考答案
1.答案:B
解析:因为直线与抛物线交于两点,且,根据抛物线的对称性可以确定,所以,代入抛物线方程,求得,所以其焦点坐标为.
2.答案:C
解析:利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.设抛物线的焦点为,由抛物线的定义知,即,解得.
3.答案:
解析:∵抛物线的方程为抛物线的焦点坐标为,
又∵直线过焦点且斜率为直线的方程为.
代入抛物线方程消去并化简得,
解法一:解得,
所以.
解法二:,
设,则,
过、分别作准线的垂线,设垂足分别为,,如图所示.
.
4.答案:见解析
解析:(1)由题意得,即.所以,抛物线的标准方程为.
(2)设,重心,.令,则.由于直线过,故直线方程为,代入,得,故,即,所以.又由于及重心在轴上,故,得.所以,直线的方程为,得.由于在焦点的右侧,故.从而
.令,则,
.当时,取得最小值,此时.
5.答案:见解析
解析:(1)将点代入抛物线方程:()可得:,故抛物线方程为:,其准线方程为:.
(2)很明显直线的斜率存在,焦点坐标为,设直线方程为,与抛物线方程联立可得:.故:.设,则,直线的方程为,与联立可得:,同理可得,得知以为直径的圆的圆心坐标为,圆的半径为,且,则圆的方程为:,令,整理可得:,解得:,即以为直径的圆经过轴上的两个定点.
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