人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《抛物线课时1》教学设计

《抛物线》教学设计
课时1抛物线及其标准方程
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
抛物线及其标准方程 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 【考查内容】 1.根据几何条件求出抛物线的方程. 2.进一步掌握抛物线的方程及其性质的应用. 3.会判断直线与抛物线的位置关系. 【考查题型】 填空题、选择题、解答题
抛物线的简单几何性质(1) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
抛物线的简单几何性质(2) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
从本章来讲,这一节放在椭圆和双曲线之后,一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要,抛物线是离心率e=1的特例;另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化.本节对抛物线定义和性质的研究,与初中阶段二次函数的图像遥相呼应,体现了数学的和谐之美.教材的这种安排,是为了分散难点,符合认知的渐进性原则.这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容,它有着广泛的应用,能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想,坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章,是学生应重点掌握的基本数学方法.运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,我们必须充分利用好这部分教材进行教学.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.抛物线及其标准方程 2.抛物线的简单几何性质(1) 3.抛物线的简单几何性质(2) 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些抛物线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.
从学生现有的学习能力看,通过一年多的学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力.
从学生的学习心理上看,学生头脑中虽有一些抛物线的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平,如何给抛物线以数学描述 如何“定性”“定量”地描述抛物线是学生关注的问题,也是学习的重点问题.他们渴望将感性认识理性化,渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心理是学生学好本节课的情感基础.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.抛物线及其标准方程
2.抛物线的简单几何性质(1)
3.抛物线的简单几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解抛物线的定义,掌握抛物线的标准方程及其几何性质.
2.掌握用定义法和待定系数法求抛物线的标准方程.
3.掌握抛物线的简单几何性质及其应用.
【教学策略设计】
本节课是在学生学习了椭圆、双曲线之后,因此在教学中,要时时注意与前两种曲线进行对比,求曲线方程的步骤、建系方法都是学生已经理解和掌握了的,充分调动学生已有的知识,引导学生把新旧知识有机融合,掌握知识的系统结构.在教学过程中,教师需要不断为学生提供思考及合作的探究性活动,让学生充分发挥他们的聪明才智,通过恰当的问题设置,启发学生参与到问题中进行思考探究,学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题,从而培养学生的创新精神和实践能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.抛物线的定义及其标准方程.
2.抛物线的简单几何性质的应用.
3.直线与抛物线的位置关系的综合应用.
难点:
1.运用标准方程解决相关问题.
2.解决与抛物线性质有关的应用问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:通过前面的学习我们知道,如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为,当时,点的轨迹为椭圆;当时,点的轨迹为双曲线.当时,即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时,点的轨迹会是什么形状 下面我们就来研究这个问题.
【设计意图】
教师提出问题,学生回忆抛物线的定义和标准方程,并请同学分析不同条件下动点M的轨迹.通过对前面内容的统一归纳复习,引出课题.通过多媒体演示研究抛物线是本节课的主线,为后面内容的展开埋下伏笔.
教学精讲
探究1 抛物线的定义
问题1:研究动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时,动点的轨迹是什么形状
【情境设置】
探究抛物线的定义
我们在平面内取点是定点,是不经过点的定直线,如何作定点,使它到定点的距离与它到定直线的距离相等呢
生:连接点和定点,线段的长度就是点到定点的距离,过点向直线作垂线段,垂线段的长度是点到定直线的距离.满足:.
师:如果让点运动起来,怎么满足这个条件不变
生:我们想起熟悉的图形中也有类似的特征,“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”,作线段的垂直平分线与直线交于点.拖动点,观察点的轨迹.
师:动点的轨迹是什么形状
生:拖动点,点也随之运动,始终有,即点到定点的距离等于它到定直线的距离,这时我们看到,点的轨迹形状与二次函数的图象相似.结合章引言中平面截圆锥的问题,我们想它是抛物线.所以动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时,动点的轨迹是抛物线.
师:当直线经过点时,线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线是什么位置关系
生:当直线经过点时,动点到定点的距离就是动点到定直线的距离.
【以学定教】
抛物线的形成过程用动画演示,让学生观察到由静止到运动,从孤立的点变成连续的曲线,使他们从屏幕中真正看到了“轨迹”,使学生易于理解,记忆深刻,为学习下一节“抛物线的性质”打下了基础.让学生经历“从点到线”的过程,从中训练学生的归纳、直觉思维.同时,突出点的特性也为后面求轨迹方程作了“铺垫”.
师:我们还可以利用直尺和三角板画出抛物线,动手操作一下.
如图,把一根直尺固定在画图板内,直线的位置上,一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘,把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边点上,截取绳子的长等于到的距离,并且把绳子另一端固定在图板上的一点;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动,这样铅笔就画出了一条曲线,这条曲线就叫做抛物线.
【学生动手实践,教师点拨】
师:你能自己归纳抛物线的定义吗
【情境学习】
给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口的机会,培养学生自己通过观察、分析、归纳获得新知识的能力,培养学生组织数学语言的能力.
【学生观察分析、归纳定义,教师补充概括】
【要点知识】
抛物线的定义
我们把平面内与一个定点和一条定直线不经过点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线.
【活动学习】
通过学生观察、思考、讨论,概括出抛物线的定义,让学生全程参与概念的探究过程,加深理解,提高概括能力和数学语言的表达能力.
探究2 抛物线的标准方程
问题2:比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如何建立坐标系,可能使所求抛物线的方程形式简单
师:同椭圆、双曲线的情形一样,下面我们用坐标法来探讨这一问题,并求出抛物线的标准方程.
生:利用坐标法,建系,设点,列式,化简,检验.
师:推导曲线的标准方程,首先要建立平面直角坐标系,回顾一下,推导椭圆和双曲线的标准方程是如何建系的
生:以椭圆和双曲线的对称轴所在直线为坐标轴,使焦点落在坐标轴上,并且焦点的坐标关于原点对称.
师:观察抛物线的几何特征,我们要如何建系呢
生:它只有一条对称轴,并且焦点在对称轴上,所以我们以对称轴所在直线为轴.
师:轴如何建立 一般来说,同学们会选择以下三种情况中的一种.
生:我选择第二种,我的理由是:设轴与准线的交点为,取线段的垂直平分线为轴,这样点和在轴上的坐标关于原点左右对称.
师:另两种同学们可以进行尝试,然后比较一下哪个方程形式更简单,想想为什么,这三种不同形式的方程是否有联系
【由学生自主提出建立坐标系的不同方法,教师根据学生提出的“建系”方式,把学生分成若干组,分别按不同的建系的方法推导方程,进行比较】
师:如何得出抛物线的方程
生:如图,设焦点与准线间的距离,那么焦点的坐标为,准线的方程为.
根据定义中的动点到定点的距离与它到定直线的距离相等,我们把这句话用数学语言进行翻译.
设是抛物线上任意一点,根据两点间距离公式可得
设动点到定直线的距离为,由图可得.
所以.
将这个式子两边平方去根号,得.
展开上式中的平方式,得.
整理,得.
师:从上面的推导过程可以知道,抛物线上任意一点的坐标都是方程的解,反之,以方程的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等,即以方程的解为坐标的点都在抛物线上.我们把这个方程叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在轴正半轴上,焦点是,准线是的抛物线.
【意义学习】
关于怎样取坐标系才能得到标准方程的问题,可以做开放的探究学习,但是不宜花太多时间,因为在获得结果之前难于对方程形式作预测,更何况这里的建系方式与一般求轨迹方程时的建系略有不同.
【猜想探究能力】
抛物线标准方程的导出,先放手给学生尝试,教师跟踪指导,再展示学生结果;教师对照图形,加以引导,让学生明白方程中字母的几何意义,对方程的理解有很大的作用,提升学生的猜想探究能力.
【先学后教】
通过师生、生生合作,可以增强学生的合作能力与群体创造意识.上述设计在探究抛物线标准方程时,通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动,让学生体验合作交流探究的学习过程,并自觉地建构起抛物线标准方程的知识系统.
问题3:选择不同的坐标系时,抛物线的标准方程又有哪些不同的形式呢
师:我们建系的时候让抛物线的顶点与坐标原点重合,但是焦点和准线的位置可以有哪些相应的变化呢 结合刚才我们推导开口向右的抛物线标准方程的过程,你能否推出开口向左、向上、向下的抛物线标准方程呢
【教师事先制作好表格,让学生通过分组实践探究、合作交流填出表格内容,教师补充后展示多媒体】
【要点知识】
抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
【自主学习】
师生合作学习、学生在已有的知识基础上独立探究,然后交流学习成果,在老师的指导下自然地构建了焦点在其他位置的抛物线的标准方程的架构,符合知识形成过程的科学性,培养了学生的自学能力,又强化了知识的记忆与归纳.
师:根据表格内容的填写,我们找找开口向左、向上、向下的抛物线标准方程有什么规律
生:抛物线四种标准方程的等号左边都是系数为1的二次项,右边是一次项.开口向左、向右的抛物线,一次项是的系数为正时,开口向右;的系数为负时,开口向左.再看抛线开口向上、向下的情况,同样符合刚才我们发现的规律.
师:所以可以总结为“一次项定轴,系数正负定方向”.
我们又注意到,四种抛物线焦点坐标和准线方程都与的值有关,的几何意义就是焦点与准线的距离,准线与对称轴垂直相交的垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都是标准方程一次项系数绝对值的.
【要点知识】
抛物线的标准方程的几何特征
1.方程的一次项决定焦点的位置.
2.一次项系数的符号决定开口方向.
【概括理解能力】
师生共同探究抛物线四种标准方程的规律,增强学生对抛物线标准方程的理解.提升概括理解能力.
师:请看下面一道例题.
【典型例题】
求抛物线的标准方程
例1 (1)已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点是,求它的标准方程.
师:抛物线的焦点坐标和准线方程与什么有关
生:与焦点的位置以及焦点与准线的距离的值的大小有关系.
【分析计算能力】
此例题训练学生能从标准方程找出抛物线的焦点和准线,即由方程求条件,反之由条件推方程,提升学生分析计算能力.
【学生思考,独立做题,教师出示规范解答并总结】
【典例解析】
求抛物线的标准方程
解:(1)因为,抛物线焦点在轴正半轴上,所以它的焦点坐标是,准线方程是.
(2)因为焦点在轴的负半轴上,且,所以抛物线的标准方程是.
【概括理解能力】
教师指出解决抛物线相关问题时,P的值的重要性,增强学生对抛物线标准方程的理解.
师:无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程,还是由抛物线焦点坐标或准线方程求其标准方程,的值都非常关键,它是抛物线的唯一特征量,决定了抛物线的焦点坐标和准线方程.
师:下面我们根据所学巩固练习.
【巩固练习】
求抛物线的标准方程
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)准线方程为;
(2)过点;
(3)焦点在直线上.
【分析计算能力】
此练习题训练学生的逆向思维,要求学生熟练掌握抛物线的方程与焦点、准线的关系,会互相求解关于方程的焦点、准线的相关题型,培养学生的分析计算能力.
【学生分析解题步骤并解题】
确定抛物线的位置设出标准方程确定参数写出方程
【巩固练习】
求抛物线的标准方程
解:(1)准线方程为,即,
故抛物线焦点在轴的正半轴上,
设其方程为.又,
∴,故所求抛物线的标准方程为.
(2)∵点在第四象限,∴抛物线开口向右或向下,
设抛物线的标准方程为或.
把点的坐标分别代入和中,
得,即.
∴所求抛物线的标准方程为或.
(3)令,得;令,得.
∴抛物线的焦点为或.
∴所求抛物线的标准方程为或.
师:我们利用待定系数法求解了抛物线的标准方程.下面请看用待定系数法求抛物线标准方程的步骤.
【方法策略】
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
【概括理解能力】
通过例题总结用待定系数法求抛物线标准方程的步骤和方法,概括提炼进行归纳,突出重点,培养学生的概括总结能力.提升学生数学建模的核心素养,数形结合及方程思想.
师:通过上面的学习我们看一道抛物线的简单应用题目.
【典型例题】
抛物线标准方程的应用
例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,已知接收天线的口径(直径)为,深度为.
(1)试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.
(2)为了增强卫星波束的接收,拟将接收天线的口径增大为,求此时星波束反射聚集点的坐标.
【学生独立做题,教师巡视,并给予个别指导,最后出示规范解题过程】
【典例解析】
抛物线标准方程的应用
解:(1)以顶点为原点,焦点所在直线为轴,建立直角坐标系,
设抛物线的方程为,
代入点,可得,
解得,即抛物线的方程为,
焦点为;
(2)设抛物线的方程为,
代入点,可得,解得,
即有抛物线的方程为,焦点为.
【简单问题解决能力】
数学概念是要在运用中得以巩固的,通过例题使学生进一步理解抛物线的定义,巩固抛物线的概念并掌握标准方程,使知识内化,并在解题过程中感受“数形结合”思想的优越性,培养学生的简单问题解决能力.
【自主学习】
学习根据实际问题情境,抽象出数学问题,建立数学模型,并在教师的引导下独立解决问题,培养学生自主学习的能力,提升学生数学建模、数学抽象的核心素养.
师:求解抛物线实际应用题的步骤是什么
【方法策略】
求解抛物线实际应用题的步骤
【概括理解能力】
师生合作总结求解抛物线实际应用题的步骤,充分发挥学生的主观能动性,提高学生的概括理解能力.
师:二次函数的图像是抛物线吗 指出它的焦点坐标和准线方程.
【师生共同研究,教师点拨】
生:取点,直线,设点是二次函数的图像上的任意一点,则.点到直线的距离为,所以,故二次函数图像上任意一点到点的距离与到直线的距离相等,满足抛物线的定义,所以二次函数的图像是抛物线,它的焦点坐标为,准线方程为.
【整体学习】
通过抛物线的教学,及时总结,加强对学生学习方法的指导,让学生进一步巩固所学知识,与前面的学习目标呼应,同时应加强对学生在数学知识与思想方法上的指导.
师:同学们,今天我们学习到了抛物线的哪些知识 请大家思考交流一下.
【学生讨论、交流、教师补充并展示多媒体】
【课堂小结】
抛物线及其标准方程
1.抛物线的几何特征.
2.抛物线的标准方程的获得方式.
3.抛物线的标准方程的不同形式.
【设计意图】
通过抛物线标准方程的推导过程和本节所学知识练习巩固,利用问题教学的教学策略和师生配合共同解决问题的学习方式,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
教学评价
通过本节课的学习,学生理解抛物线的定义和标准方程,知道抛物线的标准方程取决于值的大小和焦点的位置,重视抛物线定义在解题中的应用.类比研究椭圆和抛物线的几何性质的方法学习抛物线的几何性质,在解决直线与抛物线的位置关系时,联想直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系.
【设计意图】
在解决与抛物线方程有关的问题时,学生要充分利用抛物线的简单几何性质,通过观察、讨论、归纳概括使问题简单化.利用数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决与抛物线的有关问题时经常运用,培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.
应用所学知识,完成下面各题:
1.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
(1)准线方程为;
(2)焦点在轴上,焦点到准线的距离为5.
思路:若已知抛物线的焦点坐标或准线方程,则可设出抛物线的标准方程,求出的值,若焦点位置无法确定,则需分类讨论,已知抛物线上一点的坐标,一般能求出两个标准方程.
解析:(1)因为抛物线的准线交轴于正半轴,且,
则,所以所求抛物线的标准方程为.
(2)已知抛物线的焦点在轴上,可设方程为,由焦点到准线的距离为5,知,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为和.
【分析计算能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解抛物线标准方程的四种形式、各个量之间的关系,掌握求抛物线标准方程的基本方法.提升分析计算能力.
2.位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大.求点的轨迹方程.
思路:根据动点满足的条件转化为满足抛物线的定义的条件.
解析:由于位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大,所以动点到的距离与它到直线的距离相等.
由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线(不包含原点),
其方程应为的形式,
而,所以,故点的轨迹方程为.
3.若抛物线上有一点,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求点的坐标.
思路:根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.
解析:由抛物线方程,得其焦点坐标为,准线方程为.设点到准线的距离为,则,即,得,故抛物线方程为.
由点在抛物线上,得,故点的坐标为或.
【概括理解能力】
理解抛物线的定义的条件,将定义与动点的轨迹联系起来解决问题,培养了学生的概括理解能力.
【简单问题解决能力】
通过抛物线的定义和几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有相关知识和方法,连接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律,提升简单问题解决能力.
4.设直线与抛物线交于、两点,已知弦的长为,求的值.
思路:根据直线与圆锥曲线相交的弦长公式列方程.
解析:由消去,得.
由,得.设.
则.
∴.
∴,即.
5.过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦交抛物线于、两点.
(1)求证:、两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值;
(2)证明:直线过定点.
思路:(1)利用垂直关系可得,将两式相乘即可求出定值;
(2)利用点差法表示出直线斜率,再利用(1)中结论可得,即可得出定点.
证明:设的中点.
(1),
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
(2)∵,
两式相减得,
∴,
∴直线,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴过定点.
【分析计算能力】
分析题意,根据直线与圆锥曲线相交的弦长公式列方程进行计算,求参数的值,培养了学生的分析计算能力.
【说明论证能力】
通过例题及时进行综合训练,同时检查学生本节课的深入学习效果,主要是检验学生对直线与抛物线位置关系的掌握情况,提升学生的说明论证能力.
6.过抛物线焦点的一条直线与它交于、,经过点作垂直准线于点,求证、、三点共线.
思路:本题思路:(1)且有公共点,但是要考虑斜率是否存在.
(2)且有公共点,此方法更普遍适用.
证明:设点的坐标为,
则.所以.
当时,易知结论成立.
当时,直线的方程为.
联立消去,可得,
所以.即.将代入,得.
所以.因为,
所以.又与有公共点,
所以、、三点共线.
注:本题也可以通过斜率相等来证.
【综合问题解决能力】
设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练,渗透数形结合的数学思想,并感受抛物线方程、图形的对称美,加深对性质的理解,提高综合问题解决能力.
教学反思
本教学设计在教学过程中充分关注了学生积极主动的参与知识探索,应用了适当的语言表达自己的思想,交流自己的学习体验.学生通过自主探究,合作交流,体味合作学习的快乐,体味冥思苦想后的豁然开朗,体味逻辑思维的严谨美.教师运用黑板板书和多媒体展示,激发学生的创造力,活跃了气氛,加深了理解.在教学过程中注重提升学生数学直观、逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.
【以学定教】
启发并引导学生理解抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于整体认知直线与圆锥曲线的位置关系等内容是一个总结,具有归纳汇总的地位.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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