人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《抛物线课时2》教学设计

《抛物线》教学设计
课时2抛物线的简单几何性质(1)
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
抛物线及其标准方程 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 【考查内容】 1.根据几何条件求出抛物线的方程. 2.进一步掌握抛物线的方程及其性质的应用. 3.会判断直线与抛物线的位置关系. 【考查题型】 填空题、选择题、解答题
抛物线的简单几何性质(1) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
抛物线的简单几何性质(2) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
从本章来讲,这一节放在椭圆和双曲线之后,一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要,抛物线是离心率e=1的特例;另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化.本节对抛物线定义和性质的研究,与初中阶段二次函数的图像遥相呼应,体现了数学的和谐之美.教材的这种安排,是为了分散难点,符合认知的渐进性原则.这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容,它有着广泛的应用,能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想,坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章,是学生应重点掌握的基本数学方法.运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,我们必须充分利用好这部分教材进行教学.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.抛物线及其标准方程 2.抛物线的简单几何性质(1) 3.抛物线的简单几何性质(2) 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些抛物线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.
从学生现有的学习能力看,通过一年多的学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力.
从学生的学习心理上看,学生头脑中虽有一些抛物线的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平,如何给抛物线以数学描述 如何“定性”“定量”地描述抛物线是学生关注的问题,也是学习的重点问题.他们渴望将感性认识理性化,渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心理是学生学好本节课的情感基础.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.抛物线及其标准方程
2.抛物线的简单几何性质(1)
3.抛物线的简单几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解抛物线的定义,掌握抛物线的标准方程及其几何性质.
2.掌握用定义法和待定系数法求抛物线的标准方程.
3.掌握抛物线的简单几何性质及其应用.
【教学策略设计】
本节课是在学生学习了椭圆、双曲线之后,因此在教学中,要时时注意与前两种曲线进行对比,求曲线方程的步骤、建系方法都是学生已经理解和掌握了的,充分调动学生已有的知识,引导学生把新旧知识有机融合,掌握知识的系统结构.在教学过程中,教师需要不断为学生提供思考及合作的探究性活动,让学生充分发挥他们的聪明才智,通过恰当的问题设置,启发学生参与到问题中进行思考探究,学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题,从而培养学生的创新精神和实践能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.抛物线的定义及其标准方程.
2.抛物线的简单几何性质的应用.
3.直线与抛物线的位置关系的综合应用.
难点:
1.运用标准方程解决相关问题.
2.解决与抛物线性质有关的应用问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:上节课我们学习了抛物线及其标准方程,通过抛物线的定义研究了它的标准方程.首先来回顾一下抛物线的定义及其标准方程.
【学生回答、填表,教师展示多媒体】
生:平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
定点叫做抛物线的焦点.定直线叫做抛物线的准线.此抛物线的方程为
【要点知识】
抛物线及其标准方程
根据选定的坐标系的不同,抛物线的方程也不同:
方程 图像 焦点 准线
师:类比椭圆、双曲线的研究过程,这节课应该来研究“抛物线的几何性质”.
问题:以开口向右的抛物线为例,如何对范围、对称性、顶点、离心率进行逐一研究
【学生分组实践探究,讨论、交流,教师点拨】
【设情境巧引入】
通过图表的方式把前面学习的内容复习一遍,这样不但让学生温习了旧知识,而且将对新知识的掌握起到承上启下的作用.
【以学定教】
教师提出问题,学生回忆抛物线的定义和标准方程,并请每个同学都写出一个具体的抛物线方程.类比对前一节内容的椭圆、双曲线的研究过程.从方程的角度,通过坐标法研究抛物线的性质是本节课的重点内容.
教学精讲
1.范围
师:观察直角坐标系中的抛物线,它的范围是什么
生:抛物线开口向右,除原点以外,曲线上其他的点都在轴右侧,向右上方和右下方无限延伸.
师:你能用的方程给出证明吗
生:从方程可知,因为,等号左边是完全平方,所以对于抛物线上的点,都有;当的值增大时,的值也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延展.
2.对称性
师:观察方程的曲线,开口向右的抛物线有对称轴、对称中心吗
生:由图像可知,方程的曲线关于轴对称,没有对称中心.
师:类比椭圆、双曲线对称性的证明,你能从抛物线的方程入手,给出证明吗
生:以代替,我们发现方程不变,所以抛物线关于轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
【要点知识】
抛物线的轴
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.
【活动学习】
使学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法,观察抛物线的对称性,使学生体会抛物线的对称美.
【设活动 深探究】
教师的适时引导,培养了学生的问题意识,调动学生参与范围和对称性问题讨论的积极性,培养逻辑推理、理性思维的素养.突出重点,化解难点.
3.顶点
师:椭圆、双曲线的顶点是如何定义的
生:曲线与对称轴的交点叫做曲线的顶点,所以椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点.
师:抛物线有几个顶点 为什么
生:抛物线与对称轴交于原点,从方程来看,当时,,因此,抛物线只有一个顶点,就是原点.
师:回答正确.
【要点知识】
抛物线的顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是.
4.离心率
师:抛物线的离心率如何得到
生:由抛物线定义可知,离心率.
【要点知识】
抛物线的离心率
抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用表示.
师:如果抛物线的标准方程是0),那么抛物线的范围(开口方向)、对称性、顶点、离心率中,哪些与所表示的抛物线是相同的 哪些是有区别的
【活动学习】
教师引导学生探究抛物线的离心率的得到方式与概念,体现活动学习.
【学生分组实践探究,教师出示表格,师生合作,教师点拨】
【要点知识】
抛物线四种形式的标准方程及其性质
标准方程
图形
范围
对称轴 轴 轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
【概括理解能力】
引导学生总结抛物线的范围、对称性、顶点这几个概念.逐步形成抛物线四种形式的标准方程及其性质,锻炼学生思考几何问题的解析几何思维模式,深化数形结合思想.由此及彼,本表格由学生独立完成,锻炼学生类比,概括理解的能力.
师:对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,找出共同点和不同点.
【学生分组讨论,教师点拨,师生共同总结,教师展示多媒体】
【要点知识】
不同位置的抛物线的共同点与不同点
1.共同点:(1)顶点都为原点.
(2)对称轴为坐标轴.
(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的.
(4)焦点到准线的距离均为.
2.不同点:(1)对称轴为轴时,方程的右端为,左端为;对称轴为轴时,方程的右端为,左端为.
(2)开口方向与轴(或轴)的正半轴相同,焦点在轴(或轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与轴(或轴)的负半轴相同,焦点在轴(或轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
【概括理解能力】
通过观察和比较不同位置的抛物线的性质,总结抛物线性质的共同点与不同点,强化学习重点,锻炼学生的自主学习能力.有利于学生理清知识脉络.深化学生对性质的理解,提升概括理解能力.
师:下面我们根据抛物线的简单几何性质加强练习.
【典型例题】
利用待定系数法求抛物线的标准方程
例1 已知抛物线关于轴对称,它的顶点在原点,并且经过点,求它的标准方程.
师:根据给定的条件,怎么求抛物线的标准方程
生:根据待定系数法,设抛物线的方程,代入经过的点的坐标就可以确定系数的值.
师:此题选择哪种抛物线的标准方程呢 如何求解呢
生:由于抛物线关于轴对称,顶点在原点,经过的点在第四象限,所以可以判定抛物线开口向右,焦点在轴的正半轴上,所以设它的标准方程为.
因为点在抛物线上,所以代入坐标,得
,解得.
因此,所求抛物线的标准方程是.
师:如果把条件“关于轴对称”改为“对称轴是坐标轴”,那么结果有变化吗
生:点在第四象限,那么抛物线除了关于轴对称,还可以关于轴对称,即开口向下.
此时,设标准方程为,同样采用待定系数法,代入点的坐标,得,解得.因此,所求抛物线的标准方程是.因此,如果条件“关于轴对称”改为“对称轴是坐标轴”,
那么结果有两个,分别是.
师:选择抛物线的标准方程是解题的关键点,所以在设方程之前,先确定抛物线的开口方向,而后,抛物线方程中只有一个待定系数,所以只要一个条件就可以代入求值了.
【发现创新能力】
通过抛物线的几何特征,运用方程与函数的思想,获得抛物线的标准方程,进而推广到一般.帮助学生进一步体会数形结合的思想方法.发展学生的发现创新能力,提升数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
【深度学习】
对于变式题,目的是巩固学生对抛物线几何性质的灵活运用,提升审题和解题能力.帮助各种水平不同的学生掌握.
师:我们再来做一道利用抛物线的简单几何性质求其标准方程的题目.
【典型例题】
利用抛物线的简单几何性质求其标准方程
例2 设抛物线的准线与直线的距离为3,求抛物线的标准方程.
【学生分组讨论,教师点拨,师生共同总结,教师板书】
师解:可化为,其准线方程为.由题意知2或,
解得或,
故所求抛物线的标准方程为或.
师:本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为.
二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.
【简单问题解决能力】
通过例题强化本节抛物线几何性质的灵活运用,通过学生动手实践和分析比较,培养学生发现问题、解决问题的能力.
【整体学习】
使学生深刻理解本节课的抛物线的几何性质的重点知识,强化记忆,提高自我获取知识的能力,巩固运用坐标法研究几何问题的思维模式.
师:同学们,今天我们学习到了什么知识 请大家思考、交流一下.
【学生讨论、交流、教师补充】
【课堂小结】
抛物线的简单几何性质
1.抛物线的几何性质有哪些
2.这些性质通过什么方法得到 直观猜想,方程验证.
【设计意图】
通过抛物线几何性质的推导过程和本节所学知识练习巩固,利用问题教学的教学策略和师生配合共同解决问题的学习方式,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
教学评价
通过本节课的学习,学生理解抛物线的定义和标准方程,知道抛物线的标准方程取决于值的大小和焦点的位置,重视抛物线定义在解题中的应用.类比研究椭圆和抛物线的几何性质的方法学习抛物线的几何性质,在解决直线与抛物线的位置关系时,联想直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系.
【设计意图】
在解决与抛物线方程有关的问题时,学生要充分利用抛物线的简单几何性质,通过观察、讨论、归纳概括使问题简单化.利用数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决与抛物线的有关问题时经常运用,培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.
应用所学知识,完成下面各题:
1.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
(1)准线方程为;
(2)焦点在轴上,焦点到准线的距离为5.
思路:若已知抛物线的焦点坐标或准线方程,则可设出抛物线的标准方程,求出的值,若焦点位置无法确定,则需分类讨论,已知抛物线上一点的坐标,一般能求出两个标准方程.
解析:(1)因为抛物线的准线交轴于正半轴,且,
则,所以所求抛物线的标准方程为.
(2)已知抛物线的焦点在轴上,可设方程为,由焦点到准线的距离为5,知,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为和.
【分析计算能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解抛物线标准方程的四种形式、各个量之间的关系,掌握求抛物线标准方程的基本方法.提升分析计算能力.
2.位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大.求点的轨迹方程.
思路:根据动点满足的条件转化为满足抛物线的定义的条件.
解析:由于位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大,所以动点到的距离与它到直线的距离相等.
由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线(不包含原点),
其方程应为的形式,
而,所以,故点的轨迹方程为.
3.若抛物线上有一点,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求点的坐标.
思路:根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.
解析:由抛物线方程,得其焦点坐标为,准线方程为.设点到准线的距离为,则,即,得,故抛物线方程为.
由点在抛物线上,得,故点的坐标为或.
【概括理解能力】
理解抛物线的定义的条件,将定义与动点的轨迹联系起来解决问题,培养了学生的概括理解能力.
【简单问题解决能力】
通过抛物线的定义和几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有相关知识和方法,连接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律,提升简单问题解决能力.
4.设直线与抛物线交于、两点,已知弦的长为,求的值.
思路:根据直线与圆锥曲线相交的弦长公式列方程.
解析:由消去,得.
由,得.设.
则.
∴.
∴,即.
5.过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦交抛物线于、两点.
(1)求证:、两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值;
(2)证明:直线过定点.
思路:(1)利用垂直关系可得,将两式相乘即可求出定值;
(2)利用点差法表示出直线斜率,再利用(1)中结论可得,即可得出定点.
证明:设的中点.
(1),
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
(2)∵,
两式相减得,
∴,
∴直线,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴过定点.
【分析计算能力】
分析题意,根据直线与圆锥曲线相交的弦长公式列方程进行计算,求参数的值,培养了学生的分析计算能力.
【说明论证能力】
通过例题及时进行综合训练,同时检查学生本节课的深入学习效果,主要是检验学生对直线与抛物线位置关系的掌握情况,提升学生的说明论证能力.
6.过抛物线焦点的一条直线与它交于、,经过点作垂直准线于点,求证、、三点共线.
思路:本题思路:(1)且有公共点,但是要考虑斜率是否存在.
(2)且有公共点,此方法更普遍适用.
证明:设点的坐标为,
则.所以.
当时,易知结论成立.
当时,直线的方程为.
联立消去,可得,
所以.即.将代入,得.
所以.因为,
所以.又与有公共点,
所以、、三点共线.
注:本题也可以通过斜率相等来证.
【综合问题解决能力】
设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练,渗透数形结合的数学思想,并感受抛物线方程、图形的对称美,加深对性质的理解,提高综合问题解决能力.
教学反思
本教学设计在教学过程中充分关注了学生积极主动的参与知识探索,应用了适当的语言表达自己的思想,交流自己的学习体验.学生通过自主探究,合作交流,体味合作学习的快乐,体味冥思苦想后的豁然开朗,体味逻辑思维的严谨美.教师运用黑板板书和多媒体展示,激发学生的创造力,活跃了气氛,加深了理解.在教学过程中注重提升学生数学直观、逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.
【以学定教】
启发并引导学生理解抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于整体认知直线与圆锥曲线的位置关系等内容是一个总结,具有归纳汇总的地位.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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