人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《抛物线课时3》教学设计

《抛物线》教学设计
课时3抛物线的简单几何性质(2)
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
抛物线及其标准方程 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 【考查内容】 1.根据几何条件求出抛物线的方程. 2.进一步掌握抛物线的方程及其性质的应用. 3.会判断直线与抛物线的位置关系. 【考查题型】 填空题、选择题、解答题
抛物线的简单几何性质(1) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
抛物线的简单几何性质(2) 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模
一、本节内容分析
从本章来讲,这一节放在椭圆和双曲线之后,一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要,抛物线是离心率e=1的特例;另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化.本节对抛物线定义和性质的研究,与初中阶段二次函数的图像遥相呼应,体现了数学的和谐之美.教材的这种安排,是为了分散难点,符合认知的渐进性原则.这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容,它有着广泛的应用,能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想,坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章,是学生应重点掌握的基本数学方法.运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,我们必须充分利用好这部分教材进行教学.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.抛物线及其标准方程 2.抛物线的简单几何性质(1) 3.抛物线的简单几何性质(2) 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从知识上看,学生已掌握了一些抛物线图形的实物与实例,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标法研究几何问题有了初步的认识.
从学生现有的学习能力看,通过一年多的学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力.
从学生的学习心理上看,学生头脑中虽有一些抛物线的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平,如何给抛物线以数学描述 如何“定性”“定量”地描述抛物线是学生关注的问题,也是学习的重点问题.他们渴望将感性认识理性化,渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心理是学生学好本节课的情感基础.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.抛物线及其标准方程
2.抛物线的简单几何性质(1)
3.抛物线的简单几何性质(2)
【教学目标设计】
1.理解抛物线的定义,掌握抛物线的标准方程及其几何性质.
2.掌握用定义法和待定系数法求抛物线的标准方程.
3.掌握抛物线的简单几何性质及其应用.
【教学策略设计】
本节课是在学生学习了椭圆、双曲线之后,因此在教学中,要时时注意与前两种曲线进行对比,求曲线方程的步骤、建系方法都是学生已经理解和掌握了的,充分调动学生已有的知识,引导学生把新旧知识有机融合,掌握知识的系统结构.在教学过程中,教师需要不断为学生提供思考及合作的探究性活动,让学生充分发挥他们的聪明才智,通过恰当的问题设置,启发学生参与到问题中进行思考探究,学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题,从而培养学生的创新精神和实践能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.抛物线的定义及其标准方程.
2.抛物线的简单几何性质的应用.
3.直线与抛物线的位置关系的综合应用.
难点:
1.运用标准方程解决相关问题.
2.解决与抛物线性质有关的应用问题.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:抛物线的简单几何性质都有哪些 各种标准方程形式下的几何性质分别是什么
【学生回答填表,教师展示多媒体】
【要点知识】
抛物线四种形式的标准方程及其性质
标准方程
图形
范围
对称轴 轴 轴 轴 轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
师:本节课我们将应用抛物线的几何性质继续学习直线和抛物线的位置关系.
【设情境 巧激趣】
通过图表的方式把前面学习的内容复习一遍,这样不但让学生温习了旧知识,而且将对新知识的掌握起到承上启下的作用.本表格由学生独立完成,锻炼学生类比,独立自主的能力.
教学精讲
探究1 抛物线的方程与性质
问题:斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于、两点,求线段的长.
师:在前面椭圆、双曲线的学习中,我们也遇到过类似的直线与椭圆、双曲线相交的问题,回忆一下是如何解决的,对于这道题,你有什么解答思路
生:将直线和抛物线联立为方程组,求出两个交点,然后利用两点间的距离公式求的长.
【以学定教】
利用三种方法求抛物线的弦长问题,让学生比较三种方法的不同之处,从而引出抛物线定义的应用,让学生体会定义的重要性、省去烦琐计算的优越性.
师:解法一 可求得,直线的方程为.
联立直线的方程与抛物线的方程,
整理得.
用求根公式解得或
不妨令.
由两点间距离公式,得
即线段的长为8.
师:这种方法与之前直线与椭圆、双曲线相交问题上所使用的方法是统一的,说明它具有一般性,为我们解决直线与圆锥曲线问题提供了基本的解题思路.但是在计算时有些麻烦.能否不求出、两点的坐标而求出呢
生:在两点间距离公式中,我们只要求出的值就可以求出.
【分析计算能力】
通过动手实践,学生体会不同方法计算量的大小,对于简便方法的接受水到渠成,理解弦长公式的应用,提高解决问题的能力和分析计算能力.
师:设而不求,利用弦长公式来求的长.由此得到解决这个问题的第二种方法.
解法二 设,将直线的方程与抛物线的标准方程联立,代入消元得,所以可得,
.
因为.
所以,.
师:相较第一种解法中,应用一元二次方程根与系数的关系,第二种解法的计算过程简化很多,所以在解决数学问题时,希望同学们多注意观察和思考,用最简便的方法解决问题.
师:根据题目条件作图观察,应用数形结合的思想,再回忆一下抛物线的定义,有没有给你一些启发
生:设而不求,数形结合,利用定义来求的长.
师:解法三 直线过抛物线的焦点,根据抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等,所以.那么
因为轴,所以.
同理.
于是得,.
师:由题意知,,再由解法二,联立直线的方程与抛物线方程,代入化简得.根据根与系数关系,得.所以,.
所以,线段的长是8.
师:如果直线不经过焦点,那么还等于吗
生:由图观察,显然.
师:如果直线不经过焦点,那么不等于.同学们也可以用代数法,设出直线的方程,与抛物线方程联立,探究与谁的值有关,从而发现它的长度不等于.
【简单问题解决能力】
此问题主要是求过焦点弦的弦长问题,同样很基础,但是解法三很恰当地把抛物线的定义融合进去了,利用定义解决此问题,凸显抛物线与椭圆、双曲线的不同.提升简单问题解决能力.
【总结】比较三种解题方法,可以发现这三种方法各有特点.解法一最直接,具有一般性,但是计算量大.解法二运用一元二次方程根与系数的关系,简化运算,但是需要掌握变形技巧.解法三充分运用抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离,使运算大大简化,但要注意,直线必须过焦点.这种方法把抛物线的标准方程和其几何特征紧密地结合起来,体现了用坐标法解决问题的基本思想方法:先用几何眼光观察,再用代数运算解决.
【以学定教】
类比直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系,直线与抛物线的位置关系的判断方法很容易理解,培养学生发现规律、寻求方法、总结结论的思维路线,经历知识形成的全过程,使学生提高综合问题的解决能力,从而达到形成技能的目的.
探究2 直线和抛物线的位置关系
师:根据上面的解题思路,我们继续研究直线和抛物线的位置关系的判断方法.
【要点知识】
直线和抛物线的位置关系
直线和抛物线的位置关系有三种:相交、相切、相离,将直线方程和抛物线方程联立,消元转化为关于(或)的方程组:(或),其中为常数.
若,则直线和抛物线相交(直线与抛物线的对称轴平行),有一个交点;
若,计算判别式:
若,则直线和抛物线相交(有两个交点);
若,则直线和抛物线相切(有一个交点);
若,则直线和抛物线相离(无交点).
【概括理解能力】
通过对直线与抛物线的几种位置关系的学习,增强学生的概括理解能力.
师:下面我们看一道例题.
【典型例题】
直线和抛物线的位置关系的应用
例1 (1)过定点作与抛物线只有一个公共点的直线有几条
(2)若直线与曲线恰好有一个公共点,试求实数的取值集合.
【分析】(1)分斜率存在、不存在两种情况,存在时将直线方程代入抛物线方程,转化为求解;不存在时显然满足题意.
(2)将直线方程与抛物线方程联立消去后化为关于的方程分类讨论方程有一解时的取值
【学生回答,教师板书】
师解:(1)当直线的斜率不存在时,直线,符合题意.
当直线的斜率存在时,设过点的直线方程为,当时,直线的方程为,满足直线与抛物线仅有一个公共点;
当时,将直线方程代入,消去得.由,得,直线方程为.故满足条件的直线有三条.
(2)因为直线与曲线恰好有一个公共点,所以方程组只有一组实数解,消去,得,即.①
当,即时,方程①是关于的一元一次方程,解得,这时,原方程组有唯一解.
当,即时,方程①是关于的一元二次方程.
令,解得(舍去)或.
所以原方程组有唯一解
综上,实数的取值集合是.
【分析计算能力】
通过典型例题,熟练掌握直线与抛物线的位置关系的求解方法,将位置关系转化为方程组的解,体现从量变到质变的哲学思想.提升学生数学建模、数形结合及方程思想,巩固提升,锻炼学生的分析计算能力.
师:我们再看一道例题.
【典型例题】
直线和抛物线的位置关系的应用
例2 已知点是抛物线上的点,为抛物线的焦点,且,直线与抛物线相交于不同的两点、.
(1)求抛物线的方程;
(2)若,求的值.
【教师展示规范解答,讲授例题,学生听课、思考】
【典例解析】
直线和抛物线的位置关系的应用
解:(1)抛物线的准线为,
由得:,得.所以抛物线的方程为.
(2)设,由
可得,
∴.
∵直线经过抛物线的焦点,
∴,
解得,所以的值为1或.
【深度学习】
通过例题学生体会设而不求的方程思想.判断直线与抛物线的位置关系,就是利用抛物线性质的综合应用,让学生体会解题的本质,降低思维难度.
【简单问题解决能力】
通过对直线与抛物线位置关系的学习,用其解决相关例题,巩固所学知识,提高学生的解决问题的能力.
探究3 坐标法解决抛物线的综合问题
师:下面我们继续探究关于抛物线几何性质的例题.
【典型例题】
坐标法解决抛物线的综合问题
例3 经过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点,经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点,求证:直线平行于抛物线的对称轴.
师:这条抛物线的对称轴是什么
生:开口方向与轴的正方向相同,抛物线在轴右侧,对称轴为轴.
师:如何证明一条直线平行于轴
生:直线斜率为0,直线上任意两点纵坐标相等,等等.
因此,本题可证明点的纵坐标相等.
师:如何求点的纵坐标
生:点为直线与抛物线的交点,需要构建直线方程与抛物线方程间的联系.
点为直线与抛物线准线的交点,需要构建直线方程与准线方程间的联系.
因此,我们从点与焦点弦的关系出发,通过设直线的方程,从而表示点.
师:如何设直线的方程便于计算
生:不妨将过焦点的直线方程设为,从而避免直线斜率是否存在的分类讨论.
【意义学习】
教师通过层层追问的方式,帮助学生明确用坐标法解决抛物线综合问题的步骤,体现意义学习.
【简单问题解决能力】
通过典例解析,归纳基本题型,帮助学生形成基本解题思路,进一步体会坐标法的基本解题步骤和数形结合的思想方法,发展学生的简单问题解决能力.
师:下面我们来具体计算.
【师生合作交流,教师板书】
解:设,设直线的方程为,与抛物线方程联立,
得,
所以.即.
直线的方程为,
因为,
所以直线的方程为.
令,得点纵坐标为.
所以.所以直线平行于轴.
即直线平行于抛物线的对称轴.
【总结】本题揭示了处理解析几何问题的核心方法——坐标法.求解中将直线与轴平行问题转化为两点纵坐标相等,借助根与系数的关系,整体代换进行求解.
【说明论证能力】
在解决与抛物线有关的综合问题时,学生要掌握坐标法的解题步骤,结合抛物线的几何性质,通过观察、讨论、归纳概括使问题简单化.利用数形结合、分类讨论、函数与方程的思想,提升学生的说明论证能力.
师:在顺利完成本题的解答后我们又想到,这个结论在一般的抛物线方程中是否仍然成立
【典型例题】
坐标法解决抛物线的综合问题
例4 经过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点,经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点,求证:直线平行于抛物线的对称轴.
师:我们以抛物线为例进行证明.
依然用坐标法证明这个结论,即通过建立抛物线及直线的方程,运用方程研究直线与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系,只要证明点的纵坐标与点的纵坐标相等即可.
【教师讲授例题,学生认真思考】
【典例解析】
坐标法解决抛物线的综合问题
解法一:如图,以抛物线的对称轴为轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系.
设,设抛物线的方程为,①
设过焦点的直线方程为,②
联立①②,消去,可得.
所以.即.
直线的方程为,
因为,
所以直线的方程为.
令,得点的纵坐标为.
所以.
所以直线平行于轴.
即直线平行于抛物线的对称轴.
【意义学习】
用坐标法解决抛物线的综合问题时,抛物线上的点的设定一定要简洁直接,尽量用一个未知量来表示,让学生体会设点对于解题的重要性.
师:其他抛物线形式也可以类似得到证明,请同学们课下完成.
师:你还有其他证明方法吗
生:从点与抛物线的关系出发,通过设点的坐标,得到直线、直线的方程,联系抛物线方程和准线方程,从而表示点、点.
师:点坐标如何表示
生:因为点是抛物线上的点,所以为.
师:为什么用含有的式子表示点坐标
生:因为本题要求证的是平行关系,只需证明纵坐标相等,因此我们倾向于用纵坐标表示点坐标.
【教师讲授例题,学生认真思考】
【典例解析】
坐标法解决抛物线的综合问题
解法二:如图,以抛物线的对称轴为轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为,设点的坐标为,
则直线的方程为,①
抛物线的准线方程是.②
联立①②,可得点的纵坐标为.因为焦点的坐标是,
当时,直线的方程为③
联立③和抛物线方程,消去,可得,
所以.
即.
所以.
于是平行于轴.
当时,易知结论成立.
所以,直线平行于抛物线的对称轴.
【发现创新能力】
利用多种方法解决抛物线的综合问题,强调坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章的理念,运动变化和对立统一的思想观点,是学生应重点掌握的基本数学方法.通过学习,发展了学生的发现创新能力.
【总结】例4是抛物线的一个性质,由这个性质我们发现,经过抛物线的焦点和顶点的直线很重要.本题的求解采用了坐标法,通过代数运算解决问题,把平行关系转化为坐标间的关系.
【方法策略】
解析几何的核心方法——坐标法
用代数法解决几何问题,其核心的解题方法是坐标法.所谓坐标法,就是建立平面直角坐标系,把几何对象转化为代数对象,把几何问题转化为代数问题,利用代数工具、方法研究并获得结论,然后再解释几何对象的过程.因此,用坐标法解决圆锥曲线问题时,建立在几何直观基础上的运算是有效解题的关键,这里的运算具有“数形结合”的特征,而不仅仅是代数运算.
【深度学习】
总结解析几何的核心方法,体会坐标法解决圆锥曲线问题的关键和应用的广泛性.
师:了解坐标法的用途之后,我们共同探究下面的题目吧.
【典型例题】
利用坐标法解决抛物线轨迹问题
例5 如图,已知定点轴于点是线段上任意一点,轴于点于点与相交于点,求点的轨迹方程.
【教师组织学生思考后回答问题,随后出示解题过程】
【典例解析】
利用坐标法解决抛物线轨迹问题
解:设点,其中,则点的坐标为.
由题意,直线的方程为.①
因为点在上,将点的坐标代入①,得,②
所以点的横坐标满足②.
直线的方程为③
因为点在上,所以点的坐标满足③,
将②代入③,消去,得,
即点的轨迹方程.
【综合问题解决能力】
利用坐标法解决抛物线轨迹问题,让学生先回顾坐标法的步骤,然后学生通过动手实践体会利用坐标法求抛物线方程的应用,有助于学生思维能力的培养和方法的总结,提升了学生的综合问题解决能力.
师:下面我们总结一下本节课的重点内容.
【课堂小结】
抛物线的简单几何性质(2)
1.掌握直线与抛物线的位置关系.
2.利用抛物线的定义解决直线与抛物线相交的弦长问题.
3.坐标法解决与抛物线方程有关的综合问题.
【设计意图】
通过抛物线的综合应用和本节所学知识练习巩固,利用问题教学的教学策略和师生配合共同解决问题的学习方式,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.
教学评价
通过本节课的学习,学生理解抛物线的定义和标准方程,知道抛物线的标准方程取决于值的大小和焦点的位置,重视抛物线定义在解题中的应用.类比研究椭圆和抛物线的几何性质的方法学习抛物线的几何性质,在解决直线与抛物线的位置关系时,联想直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系.
【设计意图】
在解决与抛物线方程有关的问题时,学生要充分利用抛物线的简单几何性质,通过观察、讨论、归纳概括使问题简单化.利用数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决与抛物线的有关问题时经常运用,培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.
应用所学知识,完成下面各题:
1.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
(1)准线方程为;
(2)焦点在轴上,焦点到准线的距离为5.
思路:若已知抛物线的焦点坐标或准线方程,则可设出抛物线的标准方程,求出的值,若焦点位置无法确定,则需分类讨论,已知抛物线上一点的坐标,一般能求出两个标准方程.
解析:(1)因为抛物线的准线交轴于正半轴,且,
则,所以所求抛物线的标准方程为.
(2)已知抛物线的焦点在轴上,可设方程为,由焦点到准线的距离为5,知,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为和.
【分析计算能力】
从基础入手,通过练习,使学生更好地理解抛物线标准方程的四种形式、各个量之间的关系,掌握求抛物线标准方程的基本方法.提升分析计算能力.
2.位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大.求点的轨迹方程.
思路:根据动点满足的条件转化为满足抛物线的定义的条件.
解析:由于位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大,所以动点到的距离与它到直线的距离相等.
由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线(不包含原点),
其方程应为的形式,
而,所以,故点的轨迹方程为.
3.若抛物线上有一点,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求点的坐标.
思路:根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.
解析:由抛物线方程,得其焦点坐标为,准线方程为.设点到准线的距离为,则,即,得,故抛物线方程为.
由点在抛物线上,得,故点的坐标为或.
【概括理解能力】
理解抛物线的定义的条件,将定义与动点的轨迹联系起来解决问题,培养了学生的概括理解能力.
【简单问题解决能力】
通过抛物线的定义和几何性质设计习题,巩固学习效果,同时回顾了学生已有相关知识和方法,连接了本章的重点和难点,符合学生学习上的认知规律,提升简单问题解决能力.
4.设直线与抛物线交于、两点,已知弦的长为,求的值.
思路:根据直线与圆锥曲线相交的弦长公式列方程.
解析:由消去,得.
由,得.设.
则.
∴.
∴,即.
5.过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦交抛物线于、两点.
(1)求证:、两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值;
(2)证明:直线过定点.
思路:(1)利用垂直关系可得,将两式相乘即可求出定值;
(2)利用点差法表示出直线斜率,再利用(1)中结论可得,即可得出定点.
证明:设的中点.
(1),
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
(2)∵,
两式相减得,
∴,
∴直线,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴过定点.
【分析计算能力】
分析题意,根据直线与圆锥曲线相交的弦长公式列方程进行计算,求参数的值,培养了学生的分析计算能力.
【说明论证能力】
通过例题及时进行综合训练,同时检查学生本节课的深入学习效果,主要是检验学生对直线与抛物线位置关系的掌握情况,提升学生的说明论证能力.
6.过抛物线焦点的一条直线与它交于、,经过点作垂直准线于点,求证、、三点共线.
思路:本题思路:(1)且有公共点,但是要考虑斜率是否存在.
(2)且有公共点,此方法更普遍适用.
证明:设点的坐标为,
则.所以.
当时,易知结论成立.
当时,直线的方程为.
联立消去,可得,
所以.即.将代入,得.
所以.因为,
所以.又与有公共点,
所以、、三点共线.
注:本题也可以通过斜率相等来证.
【综合问题解决能力】
设计综合题使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练,渗透数形结合的数学思想,并感受抛物线方程、图形的对称美,加深对性质的理解,提高综合问题解决能力.
教学反思
本教学设计在教学过程中充分关注了学生积极主动的参与知识探索,应用了适当的语言表达自己的思想,交流自己的学习体验.学生通过自主探究,合作交流,体味合作学习的快乐,体味冥思苦想后的豁然开朗,体味逻辑思维的严谨美.教师运用黑板板书和多媒体展示,激发学生的创造力,活跃了气氛,加深了理解.在教学过程中注重提升学生数学直观、逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.
【以学定教】
启发并引导学生理解抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系来解决一些简单的数学问题与实际问题.对于整体认知直线与圆锥曲线的位置关系等内容是一个总结,具有归纳汇总的地位.通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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