人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 课后提升训练：3.3.2抛物线的简单几何性质（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 课后提升训练：3.3.2抛物线的简单几何性质（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 126.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-21 19:07:15 | ||
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文档简介
第三章圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,若|AF|=x0,则x0等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且垂直于x轴的弦为AB,O为抛物线的顶点,则∠AOB的度数( )
A.小于90° B.等于90°
C.大于90° D.不能确定
5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是 .
6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p= .
7.(2019·全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
8.如图,已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.
能力提升练
1.(多选题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,经过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说法正确的是( )
A.|MN|=|AB|
B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点
D.∠QFM=∠QMF
2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为150°的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A,B两点,则等于( )
A.3 B.7+4
C. D.3+2
3.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A. B.3
C. D.
4.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 .
5.(2019·山东高三模拟考试)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=,= .
6.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且|AB|=2|MN|,求直线AB的方程.
7.(2019·全国Ⅰ,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值 并说明理由.
素养培优练
(2020·云南师大附中高三月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,满足y1y2=-4.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点C的坐标为(-2,0),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,求的最小值.
第三章圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
课后篇巩固提升答案
基础达标练
1.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,若|AF|=x0,则x0等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析抛物线C:y2=x的焦点为F,∵A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,∴x0=x0+,解得x0=1.
答案A
2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析∵P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,
∴=4x0,则点P与点(5,0)的距离
d=
=.
∵x0≥0,∴当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3.
答案C
3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
解析(1)当过点P(0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1,
由方程组
消y得k2x2+(2k-2)x+1=0,
①若k=0,则-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个交点;
②若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个交点.
(2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,
该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点.
综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有3条.
答案B
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且垂直于x轴的弦为AB,O为抛物线的顶点,则∠AOB的度数( )
A.小于90° B.等于90°
C.大于90° D.不能确定
解析设抛物线y2=2px的焦点为F,则其坐标为,将x=代入抛物线的方程,解得A,B.在直角三角形AOF中,|OF|<|AF|,故∠AOF>45°.由抛物线的对称性可知,∠AOB=∠AOF+∠BOF>45°+45°=90°.
答案C
5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是 .
解析根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为,边长为a,则有tan,
解得y0=2,
故边长a=4.
答案4
6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p= .
解析∵F,∴直线AB的方程为y=x-,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+=0.
设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知
xA+xB=3p,xAxB=.
|AB|==4p=8,解得p=2.
答案2
7.(2019·全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,
故|AF|+|BF|=x1+x2+,
由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-.
从而-,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.
从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
8.如图,已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.
解(1)由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=t(y+1)+3,
代入抛物线方程,整理得y2-ty-t-3=0.
因为Δ=(t+2)2+8>0,所以y1+y2=t,y1y2=-t-3.
所以k1k2=
=
==-,
故k1k2是定值.
能力提升练
1.(多选题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,经过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说法正确的是( )
A.|MN|=|AB|
B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点
D.∠QFM=∠QMF
解析如图,由抛物线的定义,得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.
又|MN|=,则|MN|=|AB|,A正确.
由|MN|=|AB|,|AM|=|MB|,得|MN|=|AM|,所以∠MAN=∠MNA.而∠MNA=∠CAN,所以∠MAN=∠CAN,所以△ANC≌△ANF,可知∠ACN=∠AFN=90°,所以FN⊥AB,B正确.
在Rt△MNF中,|QN|=|QF|,可知∠QNF=∠QFN,所以∠QFM=∠QMF,D正确.由∠QFM=∠QMF,可知|QF|=|QM|,所以|NQ|=|QM|,即Q是MN的中点,故C不正确.
答案ABD
2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为150°的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A,B两点,则等于( )
A.3 B.7+4
C. D.3+2
解析(方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线l的方程为x=-,
则消去x,得12y2-20py+3p2=0.∵点A在第一象限,解得y1=,y2=,
∴=3.故选A.
(方法2)如图,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为A',B',则由抛物线的定义知|BB'|=|BF|,|AA'|=|AF|.过点A作BB'的垂线AE,
则|BE|=|BB'|-|AA'|=|BF|-|AF|,
易知∠BAE=30°,故|BE|=|AB|,
所以|BF|-|AF|=(|BF|+|AF|),
因此|BF|=3|AF|,故=3.
答案A
3.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A. B.3
C. D.
解析设直线AB的方程为x=ty+m,则直线AB与x轴的交点为M(m,0),则m>0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2).把x=ty+m代入y2=x,
可得y2-ty-m=0,满足Δ>0,则y1y2=-m.
∵=6,∴x1x2+y1y2=6,
从而(y1y2)2+y1y2-6=0.
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-3,
故m=3.不妨设点A在x轴上方,则y1>0,
又F,y2=-,
∴S△ABO+S△AFO=×3×(y1-y2)+y1=y1+≥2,
当且仅当y1=,即y1=时,取等号,
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是.
答案D
4.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 .
解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,
∴+2p(x2-x1)=0,
即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.
根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,
由△OAB为等边三角形,
不妨设直线OB的方程为y=x,
由,解得B(6p,2p),∴|OB|==4p,
∵△OAB的面积为48,
∴(4p)2=48,解得p2=4,∴p=2.
答案2
5.(2019·山东高三模拟考试)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=,= .
解析由题意知=1,从而p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
当直线AB斜率不存在时,x=1代入y2=4x,解得y1=2,y2=-2,即|AF|=|BF|=2,
从而=1.
当直线AB斜率存在时,设AB的方程为
y=k(x-1),显然k≠0,联立消去y,整理得
k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
从而
==1.
答案2 1
6.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且|AB|=2|MN|,求直线AB的方程.
解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k==1.
(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),
由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=,得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,
x1=2+2,x2=2-2,
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7,或m=-1(舍).
所以直线AB的方程为y=x+7.
7.(2019·全国Ⅰ,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值 并说明理由.
解(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.
因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.
因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.
素养培优练
(2020·云南师大附中高三月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,满足y1y2=-4.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点C的坐标为(-2,0),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,求的最小值.
解(1)因为直线AB过焦点F,设直线AB的方程为x=my+,
将直线AB的方程与抛物线E的方程联立消去x得y2-2mpy-p2=0,
所以有y1y2=-p2=-4,∵p>0,∴p=2,
因此,抛物线E的方程为y2=4x;
(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F(1,0),
设直线AB的方程为x=my+1,
联立抛物线的方程y2-4my-4=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,
则有=m+=m+,
因此
=2m2+6m+9
=2m2+6m·+9·
=2m2+6m·+9·=5m2+.
因此,当且仅当m=0时,有最小值.
4 / 16
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,若|AF|=x0,则x0等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且垂直于x轴的弦为AB,O为抛物线的顶点,则∠AOB的度数( )
A.小于90° B.等于90°
C.大于90° D.不能确定
5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是 .
6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p= .
7.(2019·全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
8.如图,已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.
能力提升练
1.(多选题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,经过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说法正确的是( )
A.|MN|=|AB|
B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点
D.∠QFM=∠QMF
2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为150°的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A,B两点,则等于( )
A.3 B.7+4
C. D.3+2
3.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A. B.3
C. D.
4.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 .
5.(2019·山东高三模拟考试)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=,= .
6.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且|AB|=2|MN|,求直线AB的方程.
7.(2019·全国Ⅰ,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值 并说明理由.
素养培优练
(2020·云南师大附中高三月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,满足y1y2=-4.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点C的坐标为(-2,0),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,求的最小值.
第三章圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
课后篇巩固提升答案
基础达标练
1.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,若|AF|=x0,则x0等于( )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析抛物线C:y2=x的焦点为F,∵A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,∴x0=x0+,解得x0=1.
答案A
2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析∵P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,
∴=4x0,则点P与点(5,0)的距离
d=
=.
∵x0≥0,∴当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3.
答案C
3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
解析(1)当过点P(0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1,
由方程组
消y得k2x2+(2k-2)x+1=0,
①若k=0,则-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个交点;
②若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个交点.
(2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,
该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点.
综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有3条.
答案B
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且垂直于x轴的弦为AB,O为抛物线的顶点,则∠AOB的度数( )
A.小于90° B.等于90°
C.大于90° D.不能确定
解析设抛物线y2=2px的焦点为F,则其坐标为,将x=代入抛物线的方程,解得A,B.在直角三角形AOF中,|OF|<|AF|,故∠AOF>45°.由抛物线的对称性可知,∠AOB=∠AOF+∠BOF>45°+45°=90°.
答案C
5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是 .
解析根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为,边长为a,则有tan,
解得y0=2,
故边长a=4.
答案4
6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p= .
解析∵F,∴直线AB的方程为y=x-,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+=0.
设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知
xA+xB=3p,xAxB=.
|AB|==4p=8,解得p=2.
答案2
7.(2019·全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,
故|AF|+|BF|=x1+x2+,
由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-.
从而-,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.
从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
8.如图,已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.
解(1)由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=t(y+1)+3,
代入抛物线方程,整理得y2-ty-t-3=0.
因为Δ=(t+2)2+8>0,所以y1+y2=t,y1y2=-t-3.
所以k1k2=
=
==-,
故k1k2是定值.
能力提升练
1.(多选题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,经过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说法正确的是( )
A.|MN|=|AB|
B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点
D.∠QFM=∠QMF
解析如图,由抛物线的定义,得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.
又|MN|=,则|MN|=|AB|,A正确.
由|MN|=|AB|,|AM|=|MB|,得|MN|=|AM|,所以∠MAN=∠MNA.而∠MNA=∠CAN,所以∠MAN=∠CAN,所以△ANC≌△ANF,可知∠ACN=∠AFN=90°,所以FN⊥AB,B正确.
在Rt△MNF中,|QN|=|QF|,可知∠QNF=∠QFN,所以∠QFM=∠QMF,D正确.由∠QFM=∠QMF,可知|QF|=|QM|,所以|NQ|=|QM|,即Q是MN的中点,故C不正确.
答案ABD
2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为150°的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A,B两点,则等于( )
A.3 B.7+4
C. D.3+2
解析(方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线l的方程为x=-,
则消去x,得12y2-20py+3p2=0.∵点A在第一象限,解得y1=,y2=,
∴=3.故选A.
(方法2)如图,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为A',B',则由抛物线的定义知|BB'|=|BF|,|AA'|=|AF|.过点A作BB'的垂线AE,
则|BE|=|BB'|-|AA'|=|BF|-|AF|,
易知∠BAE=30°,故|BE|=|AB|,
所以|BF|-|AF|=(|BF|+|AF|),
因此|BF|=3|AF|,故=3.
答案A
3.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A. B.3
C. D.
解析设直线AB的方程为x=ty+m,则直线AB与x轴的交点为M(m,0),则m>0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2).把x=ty+m代入y2=x,
可得y2-ty-m=0,满足Δ>0,则y1y2=-m.
∵=6,∴x1x2+y1y2=6,
从而(y1y2)2+y1y2-6=0.
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-3,
故m=3.不妨设点A在x轴上方,则y1>0,
又F,y2=-,
∴S△ABO+S△AFO=×3×(y1-y2)+y1=y1+≥2,
当且仅当y1=,即y1=时,取等号,
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是.
答案D
4.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 .
解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,
∴+2p(x2-x1)=0,
即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.
根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,
由△OAB为等边三角形,
不妨设直线OB的方程为y=x,
由,解得B(6p,2p),∴|OB|==4p,
∵△OAB的面积为48,
∴(4p)2=48,解得p2=4,∴p=2.
答案2
5.(2019·山东高三模拟考试)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=,= .
解析由题意知=1,从而p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
当直线AB斜率不存在时,x=1代入y2=4x,解得y1=2,y2=-2,即|AF|=|BF|=2,
从而=1.
当直线AB斜率存在时,设AB的方程为
y=k(x-1),显然k≠0,联立消去y,整理得
k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
从而
==1.
答案2 1
6.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且|AB|=2|MN|,求直线AB的方程.
解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k==1.
(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),
由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=,得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,
x1=2+2,x2=2-2,
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7,或m=-1(舍).
所以直线AB的方程为y=x+7.
7.(2019·全国Ⅰ,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值 并说明理由.
解(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.
因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.
因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.
素养培优练
(2020·云南师大附中高三月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,满足y1y2=-4.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点C的坐标为(-2,0),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,求的最小值.
解(1)因为直线AB过焦点F,设直线AB的方程为x=my+,
将直线AB的方程与抛物线E的方程联立消去x得y2-2mpy-p2=0,
所以有y1y2=-p2=-4,∵p>0,∴p=2,
因此,抛物线E的方程为y2=4x;
(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F(1,0),
设直线AB的方程为x=my+1,
联立抛物线的方程y2-4my-4=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,
则有=m+=m+,
因此
=2m2+6m+9
=2m2+6m·+9·
=2m2+6m·+9·=5m2+.
因此,当且仅当m=0时,有最小值.
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