《抛物线》学考达标练
一、选择题
1.(2020·湖北团风中学月考)已知点到抛物线准线的距离为1，则a的值为（ ）
A.或
B.或
C.或
D.4或12
2.(2020·吉林长春五县期末統考)已知点是抛物线上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O为坐标原点，若，则此抛物线的准线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.(2020·山西大同二中高二月考)抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.(2020·湖北襄阳测试)如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
二、填空题
5.（2020·安徽合肥检测）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线与抛物线C交于A，B两点，若为AB的中点，则抛物线C的方程为________。
6.(2020·山东聊城高三模拟)已知M为抛物线上一动点，F为抛物线的焦点，定点，则的最小值为______。
三、解答题
7.(2020.吉林长春质检)已知过点的动直线l与抛物线相交于B，C两点。
（1）当直线l的斜率是时，。求抛物线G的方程；
（2）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围。
参考答案
一、选择题
1.
答案C
解析：因为抛物线的标准方程为，若，则准线方程为，由题设可得，则，不合题意，舍去；
若，则准线方程为，
由题设可得，解得或。
2.
答案：D
解析：由，得，
所以，因此，所以，
所以抛物线的标准方程为，所以抛物线的准线方程为，故选D。
3.
答案：B
解析：方法一：设与直线平行且与抛物线相切的直线的方程为，联立得，
令得。此时，故选B。
方法二：设抛物线上一点为点到直线的距离，
当时，即当时，抛物线上一点到直线的距离最短，故选B。
4.
答案：D
解析：是正方体，直线⊥侧面，则为点P到直线的距离。又点P到直线的距离等于点P到直线BC的距离，即点P到点的距离等于点P到直线BC的距离，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线。
二、填空题
5.
答案：
解析：设抛物线方程为，与联立方程组，消去y，得，
设，则，又为AB的中点，
。
6.
答案：
解析：将代入抛物线方程，得。
点N在抛物线的外部。故，而易得，
则
故当三点共线时有最小值，最小值为。
【点评】注意区分定点N在抛物线内部和抛物线外部时，的最小值求解方法上的差异。
三、解答题
7.
答案：见解析
解析：（1）设，当直线的斜率是时，
的方程为，即，
与抛物线方程联立，得
消去x得，
故，
因为，所以，
由根与系数的关系及可得，
所以抛物线G的方程为。
（2）由题意知直线的斜率存在，且不为0，
设，BC的中点坐标为，由
得，而，故或。
又，
所以BC的中垂线方程为，
所以，所以，即b的取值范围为。
1 / 5《抛物线》高考通关练
一、选择题
1.(2020·四川成都外国语学枚月考)已知直线与抛物线相交于A，B两点，F为C的焦点，若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
2.(2020·湖南长沙模拟)如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.(2020·河北石家庄重点高中摸底)已知点P是抛物线上一点，设P到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A.5
B.4
C.
D.
4.(2020·江西协作体联考)已知点在抛物线的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.(2020·湖北黄冈模拟)过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则的值为（ ）
A.1
B.2
C.
D.
6.(2020·山西太原模拟)已知直线交抛物线于A，B两点。若该抛物线上存在点C，使得为直角，则a的取值范围为________。
7.(2020·湖北武汉调研测试)已知抛物线的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，下列命题正确的是（ ）
A.△PMN必为直角三角形
B.△PMN不一定为直角三角形
C.直线PM必与抛物线相切
D.直线PM不一定与抛物线相切
二、填空题
8.(2020·辽宁五校协作体联合模拟)已知抛物线的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上一点，且满足，则的取值范围是________。
9.(2020·广东七校第一次联考)一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过横断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB宽恰好是拱高OD的4倍。若拱宽为m，则能使卡车通过的a的最小正整数值是________。
三、填空题
10．(2020·湖北八校联考)已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过点M作斜率为k的直线l，与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，线段AB的垂直平分线与x轴交于点。
（1）求k的取值范围；
（2）求证：；
（3）△PEF能否成为以线段EF为底的等腰三角形？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由。
参考答案
一、选择题
1.
答案：B
解析：过A，B作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为，设直线AB与准线l交于点，由抛物线定义可知，
因为，所以，所以B为AM的中点。
从而，由方程组
消去x得，所以
所以消去得（负值舍去）。
故选B。
2.
答案：C
解析：如图，过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，则由已知得，又由抛物线的定义得
在直角三角形ACE中，，
从而得。
因此抛物线的方程为。
3.
答案C
解析：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线的垂线，则此时取得最小值。
由知，则。故选C。
4.
答案：D
解析：在抛物线的准线上，。
设直线AB的方程为，①
将①与联立，则由
得，②
则即，
解得（舍去），将代入①②解得
即，又。
5.
答案：C
解析：由题意，可设弦AB的斜率为k，点A，B的横坐标分别为，则直线AB的方程为，联立抛物线方程，消去y得，则，又由焦点弦的性质得
。
同理，设直线CD的方程为，点C，D的横坐标分别为
则，所以。
6.
答案：
解析：方法一：设直线与y轴交于点M，抛物线上要存在C点，只要以为直径的圆与抛物线有交点即可，也就是使，
即，所以。
方法二：易知，设，由已知可令，
则。因为，
所以，即。
由题意易知，所以，故。
7.
答案：AC
解析：因为，故，
从而可知，故A正确，B错误；
由题意知直线PM的方程为，代入抛物线方程可得，
因为，所以直线PM与抛物线相切，故C正确，D错误。
二、填空题
8.
答案：
解析：由题意知点。设点，则。
由得
。
显然当时，；当时，，
因为，所以，即。
综上可知。
9.
答案：13
解析：以拱顶O为原点，拱高DO所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示。
设抛物线方程为。
则点B的坐标为。
由点B在抛物线上，得，所以。
所以抛物线方程是。设点，代入，
得，所以。
所以点E到AB的距离为，
令，即，
解得或（舍去）
所以能使卡车通过的a的最小正整数值为13。
三、解答题
10.
答案：见解析
解析：（1）由，可得准线方程为，点M的坐标为。
设直线l的方程为。
由得。
点A，B存在，。
又。
（2）设点，
可得k。
线段AB的垂直平分线的方程为。
令，得。
（3）假设存在以线段EF为底的等腰△PEF，
点P在线段EF的垂直平分线上，。
，解得。
△PEF可以成为以线段EF为底的等腰三角形，此时。
【点评】条件探索型问题的一般解法是先假设存在，根据结论推出条件再判断其是否合理。
1 / 3《抛物线》竞赛培优
一、选择题
1.(2019·卓越联盟自主招生)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC边所在的直线方程为，则抛物线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、解答题
2.(2019·北京大学博雅人才计划)如图，A地在B地东偏北45°方向相距km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4km。已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电。
（1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
（2）问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度。
参考答案
一、选择题
1.
答案：A
解析：易知BC边与x轴的交点为。设抛物线的方程为，
如图所示，设，由
消去y整理得，
则。
设抛物线的焦点为F，则，
结合已知条件得，
则。由
解得，故抛物线的方程为。
二、解答题
2.
答案：见解析
解析：（1）如图，以经过点B且垂直于（垂足为K）的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系，则。
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以为焦点，l为准线的抛物线。
设抛物线方程为，则，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为。
（2）要使架设电路所用电线长度最短，即的值最小如图所示，过M作，垂足为H，依题意得，，故当A，M，H三点共线时，取得最小值，即取得最小值，此时。
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距km时，所用电线长度最短，最短长度为6km。
【点评】本题其实是一个较为常规的利用抛物线的定义、三角形两边之和大于第三边等几何结论解决的平面几何问题。由于增加了实际的背景，使得本题显得新颖别致，但新而不难。
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