1.1.3 菱形的性质与判定的结合课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
1.1.3 菱形的性质
与判定的结合
北师大版九年级上册数学同步课件
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.
2. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会转化的思想方法.
学习目标
重点
难点
如图，小明家有两块地，如图，CD = 20m，AC = 15m，CH = 10m，EF = 15m，FH = 15m，EG = 25m . 求 ABCD 和 EFGH 的周长与面积.
新课引入
20m
15m
10m
25m
15m
15m
A
B
C
D
E
F
G
H
H
∟
∟
C ABCD = 70m，S ABCD = 200m2 .
C EFGH = 60m .
新知学习
思考
菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形 EFGH 的面积吗
E
F
G
H
∟
P
S菱形ABCD = 底×高 = EH·FP .
E
F
G
H
∟
O
解： ∵四边形 EFGH 是菱形，
∴EG⊥FH，
∴S菱形EFGH = S△EFH + S△GFH
= FH·EO + FH·GO
= FH( EO + GO )
= FH·EG .
D
B
C
A
E
1. 如图，四边形 ABCD 是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.
求：(1) 对角线 AC 的长度；
解:∵四边形 ABCD 是菱形，AC与BD相交于点E，
∴AC = 2AE = 2×12 = 24(cm)（菱形的对角线互相平分）.
针对训练
∴∠AED = 90°（菱形的对角线互相垂直），
∴AE = = = 12(cm).
DE = BD = ×10 = 5(cm)（菱形的对角线互相平分 ）.
D
B
C
A
E
(2) 菱形 ABCD 的面积.
解：(2) 菱形 ABCD 的面积 =△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积
= 120(cm2)
=2× ×BD×AE
=2× ×10×12
归纳
菱形的面积计算有如下方法：
(1) 一边长与这条边上的高 ( 即菱形的高 ) 的积；
(2) 四个小直角三角形的面积之和 ( 或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3) 两条对角线长度乘积的一半．
例2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积 ( 结果分别精确到 0.01m 和 0.1m2 ).
A　
B　
C　
D　
O　
解： ∵花坛 ABCD 是菱形，
∴ AC BD，∠ABO = ∠ABC = 30°.
在 Rt△OAB 中，AO = AB = 10m，
BO = = = 10 (m)，
AC = 2AO = 20m，BD = 2BO = 20 ≈ 34.64(m)，
∴S菱形ABCD = 4×S△OAB = AC·BD = 200 ≈ 346.4(m2)
例3 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2，周长是 8cm．
(1) 两条对角线的长度.
解：(1) ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC +∠BAD=180°.
∵∠ABC 与 ∠BAD 的度数比为1：2，
∴∠ABC = ×180° = 60°，
∵菱形 ABCD 的周长是 8cm．
∴AB = 2cm，
∴∠ABO = ×∠ABC = 30°，△ABC 是等边三角形.
∴OA = AB = 1cm，AC = AB = 2cm，
∴OB = = cm，
∴BD = 2OB = 2 cm.
(2) 菱形的面积．
解：(2) S菱形ABCD = AC · BD
= ×2×2 = 2 (cm2)．
归纳
菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是 60° 时，菱形被分为以 60° 为顶角的两个等边三角形.
探究
平行四边形
如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？
两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是什么图形？为什么？
菱形
分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等，
然后通过证 △ABE ≌ △ADF，即得 AB = AD.
A
C
D
B
E
F
1.如图，在 △ABC 中，D、E分别是AB、AC的中点，BE = 2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF = BE，连接 CF.
(1) 求证：四边形 BCFE 是菱形；
证明：∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴DE∥BC且 2DE = BC.
又∵ BE = 2DE，EF = BE，
∴EF = BC，EF∥BC，∴四边形 BCFE 是平行四边形．
又∵EF = BE，∴四边形 BCFE 是菱形；
针对训练
解：∵∠BCF = 120°，
∴∠EBC = 60°，
∴△EBC 是等边三角形，
(2)若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
∴菱形的边长为4，高为2 ，
∴菱形的面积为4×2 = 8 .
课堂小结
菱形的性质
与判定的
综合性问题
综合运用
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．
1.如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；2.如果先发现这个四边形是平行四边形，可以尝试证出一组邻边相等或对角线互相垂直，进而证出菱形．
菱形的面积
1.一边长与这条边上的高 ( 即菱形的高 ) 的积；
2.四个小直角三角形的面积之和 ( 或一个小直角三角形面积的4倍)；
3.两条对角线长度乘积的一半．