1.2.1 矩形的性质课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
1.2.1 矩形的性质
北师大版九年级上册数学同步课件
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
学习目标
重点
难点
观察下面图形，长方形在生活中无处不在.
新课引入
思考
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
利用活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
新知学习
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也叫做长方形.
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
归纳
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
思考
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
如图，四边形 ABCD 是矩形,∠ABC= 90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；
A
B
C
D
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC =∠CDA，∠BCD =∠DAB（矩形的对角线相等），
AB∥DC（矩形的对边平行），
∴∠ABC +∠BCD=180°.
又∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
求证：（2）AC = DB.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC （矩形的对边相等），
在 △ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB，
∴△ABC ≌ △DCB.
∴AC = DB.
矩形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
归纳
定理 矩形的四个角都是直角.
定理 矩形的对角线相等.
针对训练
1. 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
解： ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB = 90°（矩形的四个角都是直角），
AC = BD（矩形的对角线相等），
∴OA = OD.
OA = OC = AC，OB = OD = BD（矩形的对角线互相平分），
∵∠AOD = 120°，
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
∴∠ODA = ∠OAD = (180° - 120°) = 30°
A
B
C
D
O
你还有其他解法吗？
2.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE = AD，DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC.
A
B
C
D
O
证明：连接 DE.
∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE.
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∠C = 90°.
∴∠ADE =∠DEC，∴∠DEC =∠AED.
又∵DF⊥AE，∴∠DFE =∠C = 90°.
又∵DE = DE，∴△DFE ≌ △DCE，∴DF = DC.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠A = 90°，∴∠2 =∠3.
又由折叠知∠1 =∠2，∴∠1 =∠3，∴BE = DE.
设 BE = DE = x，则 AE = 8－x.
∵在 Rt△ABE 中，AB2＋AE2 = BE2，
∴42＋(8－x)2 = x2，解得 x = 5，即 DE = 5.
3.如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求 △BED 的面积.
∴S△BED = DE·AB = ×5×4＝10.
思考
请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考. 矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形的性质：
轴对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
如图，四边形矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E，那么 BE 是 Rt△ABC 中一条怎样的特殊线段？它与 AC 有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
A
B
C
D
O
探究
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
你能证明这个定理吗？
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC 上的中线.
求证：BO = AC
O
C
B
A
D
证明: 延长 BO 至点 D，使 OD = BO，连接 AD、DC.
∵AO = OC，BO = OD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形(对角线相互平分的四边形是平行四边形).
∵∠ABC = 90°，
∴平行四边形 ABCD 是矩形，
∴AC = BD ( 矩形的对角线相等 )，
∴BO = BD = AC.
例4 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点.
若 AB = 10，AC = 8，求四边形 AEDF 的周长；
解：∵E、F 分别是 AB、AC 的中点，AB = 10，AC = 8
∵AD 是 △ABC 的高，
∴四边形 AEDF 的周长 = AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18.
∴ AE = AB = 5，AF = AC= 4，
∴DE= AB=5，DF= AC=4 ( 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半 )，
课堂小结
有两条对称轴
矩形的相关
概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形