1.2.2 矩形的判定 课件 (共20张PPT)

(共20张PPT)
1.2.2 矩形的判定
北师大版九年级上册数学同步课件
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.
2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
学习目标
重点
难点
工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
新课引入
和小唯唯一起来学习吧
新知学习
下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
α
α
α
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
探究
如下图，在 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC = DB，
求证： ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC，AB∥DC.
又∵BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC ≌ △DCB，
∴∠ABC =∠DCB.
∵AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°，
∴ ∠ABC =∠DCB = ×180° = 90°，
∴ ABCD 是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
归纳
定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
在平行四边形 ABCD 中，
∵AC = BD，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
例1 如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且OA = OD，∠OAD = 50°．求 ∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = AC，OB = BD.
又∵OA = OD，
∴AC = BD，
∴四边形 ABCD 是矩形 ( 对角线相等的平行四边形是矩形 )，
∴∠BAD = 90° ( 矩形的四个角都是直角 )，
又∵∠OAD = 50°，
∴∠OAB = 90°-∠OAD = 40°.
　
A　
B　
C　
D　
O
思考
我们知道，矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
A
B
D
C
有一个角是直角
A
B
D
C
有二个角是直角
A
B
D
C
有三个角是直角
我猜测有三个角是直角的四边形是矩形.
探究
如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证明：∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵∠A = 90°
∴四边形 ABCD 是矩形 ( 一个角是直角的平行四边形是矩形 ).
归纳
定理：有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形 ABCD 中，
∵ ∠A =∠B =∠C = 90°,
∴四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
1. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求 ABCD 的面积.
　
A　
B　
C　
D　
O
60°
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
针对训练
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴ ABCD 是矩形 ( 对角线相等的平行四边形是矩形 ).
∴∠ABC = 90° ( 矩形的四个角都是直角 ).
在 Rt△ABC 中，BC = = = .
∴S ABCD = AB·BC = 4×4 = 16 .
　
A　
B　
C　
D　
O
60°
2. 如图， ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
A
B
D
C
H
E
F
G
证明：在 ABCD 中，AD∥BC,
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
∵AE 与 BG 分别为∠DAB、∠ABC 的平分线，
∴ ∠BAE+ ∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°.
∴∠AFB = 90°，即∠GFE = 90°.
同理可证∠AED =∠EHG = 90°，
∴四边形 EFGH 是矩形 ( 三个角是直角的四边形是矩形 )．
A
B
D
C
H
E
F
G
3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E，求证：四边形ADCE 为矩形．
自己试一试哦
∟
∟
证明：在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC，
∴∠DAC = ∠BAC ( 等腰三角形三线合一 ).
又∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠CAE= ∠CAM .
∴∠DAE =∠DAC＋∠CAE = (∠BAC＋∠CAM)＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形 ADCE 为矩形 ( 三个角是直角的四边形是矩形 )．
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理