1.3.1 正方形的性质 课件 (共19张PPT)

(共19张PPT)
1.3.1 正方形的性质
北师大版九年级上册数学同步课件
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 理解正方形的概念.
2. 探索并证明正方形的性质，并了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
3. 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
学习目标
重点
难点
新课引入
这样的图形生活中无处不在！它们都有什么特点呢？
下图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
2
2
2.5
2.5
3
3
生活中有哪些这样的图形呢？
一 正方形的性质
新知学习
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
正方形
思考
正方形是矩形吗？
你认为正方形有哪些性质？
正方形既是矩形，又是菱形.
正方形具有矩形与菱形的所有性质.
仔细思考，给出你的答案
定理 正方形四条边相等，四个角都是直角.
定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
探究
例1 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ 四边形 ABCD 是矩形 ( 正方形也是矩形 ).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90° .
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ 四边形 ABCD 是菱形 ( 正方形也是菱形 ).
∴ AB = BC = CD = AD .
A
B
C
D
例2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴AO = BO = CO = DO ( 平行四边形对角线互相平分 ).
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD ( 菱形对角线互相垂直 ).
A
B
C
D
O
思考
正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
A
B
C
D
同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考.
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
1. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
针对训练
A
B
D
C
F
E
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：
(1) ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BC = DC，∠BCE = 90° . ( 正方形的四条边都相等，四个角都是直角 )
∴∠DCF = 180° - ∠BCE = 180° - 90° = 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵CE = CF，
∴△BCE ≌ △DCF.
∴BE=DF.
A
B
D
C
F
E
(2) 延长 BE 交 DE 于点 M，
∵△BCE ≌ △DCF，
∴∠CBE = ∠CDF.
∵∠DCF = 90°，
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°.
∴BE⊥DF.
A
B
D
F
E
C
M
思考
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？
试着用一个图直观地表示他们之间的关系！
矩形
正方形
平行四边形
菱形
一组邻边相等
一组邻边相等
一个角为直角
一个角为直角
2. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰直角三角形？
解：共有 8 个等腰直角三角形.
A
B
C
D
O
3. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF，DF. 你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
A
B
F
D
C
全等三角形有：△ AFD ≌ △AFB，△CFD ≌ △CFB，△ACD ≌ △ABD.
证明：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AD = AB ( 正方形的四条边都相等 ).
∠DAF =∠BAF ( 正方形对角线也是顶角的角平分线 )
在 △ AFD 和 △AFB 中
∵ AF = AF，
∠DAF = ∠BAF，
AD = AB，
∴△ AFD ≌ △AFB ( SAS ).
A
B
F
D
C
自己证明其余的两对三角形全等哦！
以△ AFD 全等于△AFB 为例.
课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系