1.3.2 正方形的判定 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
1.3.2 正方形的判定
北师大版九年级上册数学同步课件
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 探索并证明正方形的判定；
2. 会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .
学习目标
重点
难点
难点
问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？
新课引入
A
B
C
D
O
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角；②四条边都相等；③对角线相等且互相垂直平分.
问题2 你是如何判断是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
思考：怎样判定一个四边形是正方形呢？
新知学习
满足什么条件的矩形是正方形？
满足什么条件的菱形是正方形？
思考
一 正方形的判定
探究
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证 .
正方形
矩形
正方形
一组邻边相等
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察菱形框架的形状. 测量此时菱形框架是不是正方形.
探究
正方形
菱形
正方形
一个角是直角
归纳
定理 有一组邻边相等的矩形是正方形.
定理 对角线互相垂直的矩形是正方形.
定理 有一个角是直角的菱形是正方形.
定理 对角线相等的菱形是正方形.
针对训练
1. 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE， CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形.
F
A
B
E
C
D
45°
45°
证明: ∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形 BECF 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC = 90°，∠DCB = 90°，
∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°，
∴∠EBC =∠ECB .
∴EB = EC，
∴□ BECF 是菱形 .
F
A
B
E
C
D
在 △EBC 中
∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴∠BEC = 90°，
∴菱形 BECF 是正方形 ( 有一个角是直角的菱形是正方形 ).
F
A
B
E
C
D
探究
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形. 那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
证明：连接 AC、BD，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC⊥BD，
∵A1、D1分别为 AB、AD 的中点，
∴A1D1∥BD，A1D1 = BD，
同理 B1C1∥BD，B1C1 = BD，A1B1∥AC，A1B1 = AC，
∴A1D1 = B1C1，A1D1∥B1C1，
∴四边形 A1B1C1D1 是平行四边形，
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
∵AC = BD，
∴A1B1 = B1C1，
∴四边形 A1B1C1D1 是菱形，
∵AC⊥BD，A1D1∥BD，
∴A1D1⊥AC，又 A1B1∥AC，
∴A1D1⊥A1B1，
∴四边形 A1B1C1D1 是正方形．
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
思考
(1) 以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜.再证明. 如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
顺次连接菱形四边的中点，得到一个矩形. 顺次连接矩形四边的中点，得到一个菱形. 顺次连接平行四边形四边的中点，得到一个平行四边形.
思考
(2) 以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关 系？有怎样的关系？
与四边形的对角线有关，新四边形的边平行且等于对角线的一半.
1. 证明：对角线互相垂直的矩形是正方形.
针对训练
证明: ∵矩形 ABCD 是平行四边形，
又∵AC⊥BD ，
∴四边形 ABCD 是菱形.
∴AD = AB，
∴矩形 ABCD 是正方形.
A
B
C
D
O
证明: ∵四边形 ABCD 为菱形，∠ABC = 90°
∴AB∥CD，BC∥AD，且 AB = CD，BC = AD，
∠BAD =∠ABC = 90° (两直线平行，内对角相等).
同理可得
∠ADC =∠BAD = 90°，∠ADC =∠BCD = 90°.
∴ABCD 为正方形.
2. 证明：有一个角是直角的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AC 、 DB 是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，( 矩形对角线互相平分 )
∴∠ADC = 90°. ( 矩形的四个角都是直角 )
∵AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD，
∴四边形 ABCD 是正方形.
A
B
C
D
O
4. 已知：如图，在菱形 ABCD 中，AC、DB 是它的两条对角线，
AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD、△AOB、△COD、△BOC 是等腰直角三角形，
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°，
∴四边形 ABCD 是正方形.
A
B
C
D
O
课堂小结
4种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等