人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价：《圆锥曲线的方程》章末综合提升（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 素养评价：《圆锥曲线的方程》章末综合提升（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 754.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-21 19:30:11 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程
(第三章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为 ( )
A. B. C.(1,0) D.(0,1)
2.(2017·浙江高考)椭圆+=1的离心率是 ( )
A. B. C. D.
3.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是 ( )
A.x2=2y-1 B.x2=2y-
C.x2=y- D.x2=2y-2
4.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为 ( )
A.1 B.0 C.-2 D.-
5.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是 ( )
A. B. C.1 D.
6.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+相切,则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
7.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为 ( ).
A. B. C. D.3
8.已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线C的焦点,点P在抛物线C上,在△EFP中,若sin∠EFP=μ·sin∠FEP,则μ的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程可以为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
10.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程可以为 ( )
A.y=x B.y=-x
C.y=x D.y=-x
11.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于 ( )
A. B. C. D.2
12.已知双曲线C:-=1,给出以下4个命题,真命题的是 ( )
A.直线y=x+1与双曲线有两个交点
B.双曲线C与-=1有相同的渐近线
C.双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D.双曲线的焦点坐标为(-13,0),(13,0)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满足|PF2|=|F1F2|,则|PF1|= ,△PF1F2的面积等于 .
14.已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,记点P到y轴的距离为d,对于定点A(4,5),|PA|+d的最小值为 .
15.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 .
16.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)给定抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.若|FA|=2|BF|,求直线l的方程.
18.(12分) (2019·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率.
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
19.(12分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.
20.(12分)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点P(4,m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程.
(2)若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.
21.(12分)设有三点A,B,P,其中点A,P在椭圆C:+=1(a>b>0)上,A(0,2),B(2,0),且+=.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°,直线l与椭圆C相交于E,F,求三角形OEF的面积.
22.(12分)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F.
(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P,Q两点,若|PQ|=,求抛物线C的方程.
(2)过点F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线x=-p相交于M,N两点,试判断△ABO与△MNO的面积之比是否为定值,并说明理由.
第三章 圆锥曲线的方程答案
(第三章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为 ( )
A. B. C.(1,0) D.(0,1)
【解析】选A.因为抛物线过点(1,4),所以4=2a,所以a=2,所以抛物线方程为x2=y,焦点坐标为.
2.(2017·浙江高考)椭圆+=1的离心率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为椭圆方程为+=1,
所以a=3,c===.
所以e==.
3.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是 ( )
A.x2=2y-1 B.x2=2y-
C.x2=y- D.x2=2y-2
【解析】选A.设P(x0,y0),PF的中点为(x,y),
则y0=,又F(0,1),所以
所以代入y0=得2y-1=(2x)2,
化简得x2=2y-1.
4.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为 ( )
A.1 B.0 C.-2 D.-
【解析】选C.设点P(x0,y0),则-=1,
由题意得A1(-1,0),F2(2,0),
则·=(-1-x0,-y0)·(2-x0,-y0)
=-x0-2+,
由双曲线方程得=3(-1),
故·=4-x0-5(x0≥1),
可得当x0=1时,·有最小值-2.
5.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是 ( )
A. B. C.1 D.
【解析】选B.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),
双曲线的渐近线方程为x-y=0或x+y=0,
则焦点到渐近线的距离d1==或d2==.
6.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+相切,则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【解析】选A.由题意得,联立直线与抛物线得x2-kx+=0,
由Δ=0得k=±,即=,所以e==.
7.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为 ( ).
A. B. C. D.3
【解析】选A.如图,设椭圆方程为+=1(a>b>0),B(0,b)为上顶点,
F(c,0)为右焦点,设D(x,y),由=2,
得(c,-b)=2(x-c,y),即
解得所以D.
因为点D在椭圆上,所以+=1,
解得a2=3c2,即e2=,所以e=.
8.已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线C的焦点,点P在抛物线C上,在△EFP中,若sin∠EFP=μ·sin∠FEP,则μ的最大值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.过P(x轴上方)作准线的垂线,垂足为H,
则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,
由sin∠EFP=μ·sin∠FEP,则在△PFE中由正弦定理可知:|PE|=μ|PF|,所以|PE|=μ|PH|,
设PE的倾斜角为α,则cos α==,
当μ取得最大值时,cos α最小,此时直线PE与抛物线相切,设直线PE的方程为x=ty-,则联立直线与抛物线
即y2-2pty+p2=0,所以Δ=4p2t2-4p2=0,
所以t=1,即tan α=1,则cos α=,则μ的最大值为.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程可以为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选BD.2c=6,所以c=3,2a+2b=18,a2=b2+c2,所以所以椭圆方程为+=1或+=1.
10.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程可以为 ( )
A.y=x B.y=-x
C.y=x D.y=-x
【解析】选CD.因为2b=2,2c=2,所以b=1,c=,所以a2=c2-b2=3-1=2,所以a=,故渐近线方程为y=±x.
11.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选AC.设圆锥曲线的离心率为e,
由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,由椭圆的定义,则有e===;②若圆锥曲线为双曲线,由双曲线的定义,则有e===.综上,所求的离心率为或.
12.已知双曲线C:-=1,给出以下4个命题,真命题的是 ( )
A.直线y=x+1与双曲线有两个交点
B.双曲线C与-=1有相同的渐近线
C.双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D.双曲线的焦点坐标为(-13,0),(13,0)
【解析】选BC.A错误,因为直线y=x+1与渐近线y=x平行,与双曲线只有一个交点;B正确,两曲线渐近线方程均为y=±x;C正确,右焦点为(,0)到渐近线y=x的距离为3.D错,因c2=a2+b2=13,所以双曲线焦点坐标为(,0)和(-,0).
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满足|PF2|=|F1F2|,则|PF1|= ,△PF1F2的面积等于 .
【解析】由+=1知,a=5,b=4,所以c=3,
即F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF2|=|F1F2|=6.
又由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=10,
所以|PF1|=10-6=4,
于是=·|PF1|·h
=×4×=8.
答案:4 8
14.已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,记点P到y轴的距离为d,对于定点A(4,5),|PA|+d的最小值为 .
【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.由题意得d=|PF|-1,
所以|PA|+d≥|AF|-1=-1=-1,当且仅当A,P,F三点共线时,|PA|+d取得最小值-1.
答案:-1
15.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 .
【解析】设椭圆的方程为+=1(a>b>0),F2的坐标为(c,0),P点坐标为(不妨取第一象限内点P),
由题意知|PF2|=|F1F2|,所以=2c,a2-c2=2ac,
+2-1=0,解得=±-1,负值舍去,
所以e==-1.
答案:-1
16.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为 .
【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,
所以c==5,且A(3,0),F(5,0).
因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.
所以直线BF的方程为y=±(x-5).
①若直线BF的方程为y=(x-5),
与渐近线y=-x交于点B,
此时S△AFB=|AF|·|yB|=×2×=;
②若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.
此时S△AFB=|AF|·|yB|=×2×=.
因此,△AFB的面积为.
答案:
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)给定抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.若|FA|=2|BF|,求直线l的方程.
【解析】显然直线l的斜率存在,故可设直线l:y=k(x-1),
联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,故x1=,①
又|FA|=2|BF|,所以=2,
则x1-1=2(1-x2)②
由①②得x2=(x2=1舍去),
所以B,得直线l的斜率为k=kBF=±2,
所以直线l的方程为y=±2(x-1).
18.(12分) (2019·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率.
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
【解析】(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中∠F1PF2=90°,
|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=c,
故C的离心率e==-1.
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,
|y|·2c=16,·=-1,
即c|y|=16,①x2+y2=c2,②+=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4.
由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,
从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.
当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.
所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).
19.(12分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.
【解析】①焦点在x轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0),且c=.
设双曲线为-=1(m>0,n>0),m=a-4.
因为=,所以=,解得a=7,m=3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为,
所以b2=36,n2=4.所以椭圆方程为+=1,
双曲线方程为-=1.
②焦点在y轴上,椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.
20.(12分)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点P(4,m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程.
(2)若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.
【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px,p>0,其准线方程为x=-,
因为P(4,m)到焦点的距离等于P到其准线的距离,
所以4+=6,所以p=4,
所以此抛物线的方程为y2=8x.
(2)由消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0,
设直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则有解得k>-1且k≠0,且x1+x2==4,解得k=2或k=-1(舍去),
所以所求k的值为2.
21.(12分)设有三点A,B,P,其中点A,P在椭圆C:+=1(a>b>0)上,A(0,2),B(2,0),且+=.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°,直线l与椭圆C相交于E,F,求三角形OEF的面积.
【解析】(1)由题意知,b=2,设P(x,y),A(0,2),B(2,0),由+=,得(2,2)=(x,y),则
椭圆方程为+=1,可得+=1,即a2=8.所以椭圆方程为+=1.
(2)c==2.所以直线l的方程为y=x-2,代入椭圆方程+=1,
整理得:3x2-8x=0,则x=0或x=.
所以交点坐标为(0,-2)和,
所以|EF|==,O到直线l的距离d==.
所以S△OEF=××=.
22.(12分)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F.
(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P,Q两点,若|PQ|=,求抛物线C的方程.
(2)过点F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线x=-p相交于M,N两点,试判断△ABO与△MNO的面积之比是否为定值,并说明理由.
【解析】(1)设直线PQ的倾斜角为α,由题意得tan α=,α=60°,
由抛物线的焦点弦公式得
|PQ|==== p=2,
所以C的方程为y2=4x.
(2)△ABO与△MNO的面积之比为,理由如下:
设AB的方程为x=ty+,代入y2=2px得y2-2pty-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,x1x2=·==.
因为∠AOB=∠MON,所以=
=·=·==.
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(第三章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为 ( )
A. B. C.(1,0) D.(0,1)
2.(2017·浙江高考)椭圆+=1的离心率是 ( )
A. B. C. D.
3.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是 ( )
A.x2=2y-1 B.x2=2y-
C.x2=y- D.x2=2y-2
4.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为 ( )
A.1 B.0 C.-2 D.-
5.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是 ( )
A. B. C.1 D.
6.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+相切,则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
7.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为 ( ).
A. B. C. D.3
8.已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线C的焦点,点P在抛物线C上,在△EFP中,若sin∠EFP=μ·sin∠FEP,则μ的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程可以为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
10.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程可以为 ( )
A.y=x B.y=-x
C.y=x D.y=-x
11.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于 ( )
A. B. C. D.2
12.已知双曲线C:-=1,给出以下4个命题,真命题的是 ( )
A.直线y=x+1与双曲线有两个交点
B.双曲线C与-=1有相同的渐近线
C.双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D.双曲线的焦点坐标为(-13,0),(13,0)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满足|PF2|=|F1F2|,则|PF1|= ,△PF1F2的面积等于 .
14.已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,记点P到y轴的距离为d,对于定点A(4,5),|PA|+d的最小值为 .
15.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 .
16.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)给定抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.若|FA|=2|BF|,求直线l的方程.
18.(12分) (2019·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率.
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
19.(12分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.
20.(12分)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点P(4,m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程.
(2)若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.
21.(12分)设有三点A,B,P,其中点A,P在椭圆C:+=1(a>b>0)上,A(0,2),B(2,0),且+=.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°,直线l与椭圆C相交于E,F,求三角形OEF的面积.
22.(12分)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F.
(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P,Q两点,若|PQ|=,求抛物线C的方程.
(2)过点F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线x=-p相交于M,N两点,试判断△ABO与△MNO的面积之比是否为定值,并说明理由.
第三章 圆锥曲线的方程答案
(第三章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为 ( )
A. B. C.(1,0) D.(0,1)
【解析】选A.因为抛物线过点(1,4),所以4=2a,所以a=2,所以抛物线方程为x2=y,焦点坐标为.
2.(2017·浙江高考)椭圆+=1的离心率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为椭圆方程为+=1,
所以a=3,c===.
所以e==.
3.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是 ( )
A.x2=2y-1 B.x2=2y-
C.x2=y- D.x2=2y-2
【解析】选A.设P(x0,y0),PF的中点为(x,y),
则y0=,又F(0,1),所以
所以代入y0=得2y-1=(2x)2,
化简得x2=2y-1.
4.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为 ( )
A.1 B.0 C.-2 D.-
【解析】选C.设点P(x0,y0),则-=1,
由题意得A1(-1,0),F2(2,0),
则·=(-1-x0,-y0)·(2-x0,-y0)
=-x0-2+,
由双曲线方程得=3(-1),
故·=4-x0-5(x0≥1),
可得当x0=1时,·有最小值-2.
5.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是 ( )
A. B. C.1 D.
【解析】选B.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),
双曲线的渐近线方程为x-y=0或x+y=0,
则焦点到渐近线的距离d1==或d2==.
6.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+相切,则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【解析】选A.由题意得,联立直线与抛物线得x2-kx+=0,
由Δ=0得k=±,即=,所以e==.
7.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为 ( ).
A. B. C. D.3
【解析】选A.如图,设椭圆方程为+=1(a>b>0),B(0,b)为上顶点,
F(c,0)为右焦点,设D(x,y),由=2,
得(c,-b)=2(x-c,y),即
解得所以D.
因为点D在椭圆上,所以+=1,
解得a2=3c2,即e2=,所以e=.
8.已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线C的焦点,点P在抛物线C上,在△EFP中,若sin∠EFP=μ·sin∠FEP,则μ的最大值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.过P(x轴上方)作准线的垂线,垂足为H,
则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,
由sin∠EFP=μ·sin∠FEP,则在△PFE中由正弦定理可知:|PE|=μ|PF|,所以|PE|=μ|PH|,
设PE的倾斜角为α,则cos α==,
当μ取得最大值时,cos α最小,此时直线PE与抛物线相切,设直线PE的方程为x=ty-,则联立直线与抛物线
即y2-2pty+p2=0,所以Δ=4p2t2-4p2=0,
所以t=1,即tan α=1,则cos α=,则μ的最大值为.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程可以为 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选BD.2c=6,所以c=3,2a+2b=18,a2=b2+c2,所以所以椭圆方程为+=1或+=1.
10.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程可以为 ( )
A.y=x B.y=-x
C.y=x D.y=-x
【解析】选CD.因为2b=2,2c=2,所以b=1,c=,所以a2=c2-b2=3-1=2,所以a=,故渐近线方程为y=±x.
11.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选AC.设圆锥曲线的离心率为e,
由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,由椭圆的定义,则有e===;②若圆锥曲线为双曲线,由双曲线的定义,则有e===.综上,所求的离心率为或.
12.已知双曲线C:-=1,给出以下4个命题,真命题的是 ( )
A.直线y=x+1与双曲线有两个交点
B.双曲线C与-=1有相同的渐近线
C.双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D.双曲线的焦点坐标为(-13,0),(13,0)
【解析】选BC.A错误,因为直线y=x+1与渐近线y=x平行,与双曲线只有一个交点;B正确,两曲线渐近线方程均为y=±x;C正确,右焦点为(,0)到渐近线y=x的距离为3.D错,因c2=a2+b2=13,所以双曲线焦点坐标为(,0)和(-,0).
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满足|PF2|=|F1F2|,则|PF1|= ,△PF1F2的面积等于 .
【解析】由+=1知,a=5,b=4,所以c=3,
即F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF2|=|F1F2|=6.
又由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=10,
所以|PF1|=10-6=4,
于是=·|PF1|·h
=×4×=8.
答案:4 8
14.已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,记点P到y轴的距离为d,对于定点A(4,5),|PA|+d的最小值为 .
【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.由题意得d=|PF|-1,
所以|PA|+d≥|AF|-1=-1=-1,当且仅当A,P,F三点共线时,|PA|+d取得最小值-1.
答案:-1
15.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 .
【解析】设椭圆的方程为+=1(a>b>0),F2的坐标为(c,0),P点坐标为(不妨取第一象限内点P),
由题意知|PF2|=|F1F2|,所以=2c,a2-c2=2ac,
+2-1=0,解得=±-1,负值舍去,
所以e==-1.
答案:-1
16.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为 .
【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,
所以c==5,且A(3,0),F(5,0).
因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.
所以直线BF的方程为y=±(x-5).
①若直线BF的方程为y=(x-5),
与渐近线y=-x交于点B,
此时S△AFB=|AF|·|yB|=×2×=;
②若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.
此时S△AFB=|AF|·|yB|=×2×=.
因此,△AFB的面积为.
答案:
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)给定抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.若|FA|=2|BF|,求直线l的方程.
【解析】显然直线l的斜率存在,故可设直线l:y=k(x-1),
联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,故x1=,①
又|FA|=2|BF|,所以=2,
则x1-1=2(1-x2)②
由①②得x2=(x2=1舍去),
所以B,得直线l的斜率为k=kBF=±2,
所以直线l的方程为y=±2(x-1).
18.(12分) (2019·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率.
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
【解析】(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中∠F1PF2=90°,
|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=c,
故C的离心率e==-1.
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,
|y|·2c=16,·=-1,
即c|y|=16,①x2+y2=c2,②+=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4.
由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,
从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.
当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.
所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).
19.(12分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.
【解析】①焦点在x轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0),且c=.
设双曲线为-=1(m>0,n>0),m=a-4.
因为=,所以=,解得a=7,m=3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为,
所以b2=36,n2=4.所以椭圆方程为+=1,
双曲线方程为-=1.
②焦点在y轴上,椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.
20.(12分)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点P(4,m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程.
(2)若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.
【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px,p>0,其准线方程为x=-,
因为P(4,m)到焦点的距离等于P到其准线的距离,
所以4+=6,所以p=4,
所以此抛物线的方程为y2=8x.
(2)由消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0,
设直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则有解得k>-1且k≠0,且x1+x2==4,解得k=2或k=-1(舍去),
所以所求k的值为2.
21.(12分)设有三点A,B,P,其中点A,P在椭圆C:+=1(a>b>0)上,A(0,2),B(2,0),且+=.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°,直线l与椭圆C相交于E,F,求三角形OEF的面积.
【解析】(1)由题意知,b=2,设P(x,y),A(0,2),B(2,0),由+=,得(2,2)=(x,y),则
椭圆方程为+=1,可得+=1,即a2=8.所以椭圆方程为+=1.
(2)c==2.所以直线l的方程为y=x-2,代入椭圆方程+=1,
整理得:3x2-8x=0,则x=0或x=.
所以交点坐标为(0,-2)和,
所以|EF|==,O到直线l的距离d==.
所以S△OEF=××=.
22.(12分)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F.
(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P,Q两点,若|PQ|=,求抛物线C的方程.
(2)过点F的直线交抛物线C于A,B两点,直线AO,BO分别与直线x=-p相交于M,N两点,试判断△ABO与△MNO的面积之比是否为定值,并说明理由.
【解析】(1)设直线PQ的倾斜角为α,由题意得tan α=,α=60°,
由抛物线的焦点弦公式得
|PQ|==== p=2,
所以C的方程为y2=4x.
(2)△ABO与△MNO的面积之比为,理由如下:
设AB的方程为x=ty+,代入y2=2px得y2-2pty-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,x1x2=·==.
因为∠AOB=∠MON,所以=
=·=·==.
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