人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《圆锥曲线的方程》单元测试（二）（含答案）

《圆锥曲线的方程》单元测试(二)
一、选择题
1.双曲线的焦点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
2.若点到直线的距离比到点的距离小1,则点的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
3.已知点是直线被椭圆所截得的线段的中点,则直线的方程是( )
A.
B.
C.
D.
4.设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.3
5.已知椭圆,则以点为中点的弦的长度为( )
A.
B.
C.
D.
6.双曲线的右焦点为,点在的一条渐近线上,为坐标原点.若,则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.设是椭圆的离心率,且,则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知、是椭圆的左、右焦点,过的直线与椭圆交于两点,若,且,则与的面积之比为( )
A.
B.
C.
D.
9.直线与椭圆交于两点,为原点)是面积为3的等腰直角三角形,则等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
10.已知椭圆的离心率为,两点.若椭圆上存在点,使得为正三角形,则椭圆的方程为( )
A.
B.
C.
D.
11.抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,,垂足为,则的面积为( )
A.4
B.
C.
D.8
12.已知分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,且为坐标原点,若,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于恒成立,则实数的最大值为___________.
14.设点在圆上,点在抛物线上,则的最小值为________.
15.设双曲线的半焦距为,直线过两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为__________.
16.已知椭圆的两个焦点分别为,点在椭圆上,若点在椭圆上,且,则实数的取值范围是_________.
三、解答题
17.已知双曲线的方程是.
(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设和是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,且,求的大小.
18.已知点,椭圆的离心率为是椭圆的右焦点,直线的斜率为为坐标原点.
(1)求的方程;
(2)设过点的动直线与相交于两点.当的面积最大时,求的方程.
19.点是抛物线上的任意一点,是抛物线的焦点,点的坐标是,求的最小值,并求出此时点的坐标.
20.已知椭圆的离心率为,点在上.
(1)求的方程;
(2)直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,线段的中点为.证明:直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
21.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,且抛物线上有一点到焦点的距离为5.
(1)求该抛物线的方程;
(2)已知抛物线上一点,过点作抛物线的两条弦和,判断直线是否过定点,并说明理由.
22.已知椭圆上的点到右焦点的最大距离是,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点,线段的中垂线交轴于点,求实数的取值范围.
答案解析
1.答案:B
解析:根据双曲线方程确定焦点位置,再根据求焦点坐标.
因为双曲线方程为,所以焦点坐标可设为,因为,所以焦点坐标为.
2.答案:D
解析:点到直线的距离比到点的距离小1,即点到直线的距离与到点的距离相等,根据抛物线的定义可知,点的轨迹是抛物线.
3.答案:A
解析:设直线与椭圆交于两点,代入椭圆的方程,结合“平方差”法,求得直线的斜率,结合直线的点斜式方程,即可求解.
具体解题过程:设直线与椭圆交于,两点,由可得.
又,所以,解得.
因此直线的方程为,即.
4.答案:B
解析:根据双曲线的几何意义与题中所给的条件进行化简求解,从而得到,进而求得离心率即可.
具体解题过程:因为是双曲线上一点,所以||,
又,所以,
所以.
又因为,所以有,
则,即解得:(舍去),或,
所以,所以.
5.答案:C
解析:设直线方程为,
代入椭圆方程,消去得:,
设交点坐标为,
则,解得,.
6.答案:A
解析:不妨设点位于第一象限.双曲线中,2,则.
方法一:∵上的高.
方法二:∵,点坐标为点的横坐标为.设点在渐近线上,∴点的纵坐标.
7.答案:D
解析:当焦点在轴上时,,,
当焦点在轴上时,,所以实数的取值范围是.
8.答案:D
解析:设,求出、,利用抛物线定义及求出、,由三角形面积公式表示出与的面积之比并化简即可得解.
由题意知,设,则,
∵,∴,
∵,∴,
∵,,,
∴.
9.答案:B
解析:设点为第一象限的点,求出点的坐标,再将点的坐标代入椭圆的方程可求得的值.
具体解题过程如下:不妨设点为第一象限的点,则,由于为等腰直角三角形,则点.的面积为,所以,
所以,点在椭圆上,则,解得.
10.答案:C
解析:根据已知为正三角形求出点的坐标代入椭圆方程,根据性质即可求出,得出结果.
具体解题过程如下:由点且为正三角形解得,因为点在椭圆上,代入可得:.
因为,所以,代入,即可解得,故椭圆方程为1.
11.答案:C
解析:如图,直线的斜率为时.
为正三角形.设准线交轴于,则,且,
∴.
12.答案:A
解析:由向量加法的平行四边形法则及可证得,从而在中易得到、的关系,即可得离心率.
如图,取中点,连接,则,,
∴,
∵,∴,
∵不妨设则,
∴,,
又,
∴,
∴.
13.答案:
解析:双曲线的一条渐近线方程为,根据平行直线的距离公式计算得到答案.
双曲线的一条渐近线方程为,即与平行,
距离,故的最大值为.
14.答案:
解析:根据题意,将问题转化为圆心到点的最小值与半径差的问题,再根据两点间的距离公式求解即可.
设,其中.
由题易知圆心,圆的半径,
则.
当时,,
所以.
15.答案:2
解析:先求出直线的方程,利用原点到直线的距离为,求出的值,进而根据求出离心率.
由过两点、,得的方程为.
由原点到的距离为,得,
将代入平方后整理,得,
解关于的一元二次方程得或.
∵或.
又,故.
∴应舍去.故所求离心率.
16.答案:
解析:首先利用待定系数法求出椭圆方程,设,,由,推出.点在曲线上,,得,然后求出4,解出.得到实数的取值范围.
依题意,设椭圆的方程为,由题知半焦距,所以.因为点在椭圆上,则,解得,则椭圆的方程为.设,由,得,即1,由于点在上,所以,因此2,由于,所以,故,即实数的取值范围为.
17.答案:见解析
解析:(1)由得,所以,,
所以焦点坐标,离心率,渐近线方程为.
(2)由双曲线的定义可知||,
∴,则.
18.答案:见解析
解析:(1)设,因为直线的斜率为,.
所以.又,解得,
所以椭圆的方程为.
(2)设,由题意可设直线的方程为,
联立消去得,
当,所以,即或时,.
所以
点到直线的距离,所以,
设,则,,
当且仅当时取等号,即,解得,满足,
所以的面积最大时直线的方程为或.
19.答案:见解析
解析:易知抛物线的准线方程是,那么点到焦点的距离等于它到准线的距离,如图所示,过点作垂直准线,垂足为,那么.
当、、三点共线时,的值最小,且最小值为,所以的最小值是4.
此时点的纵坐标为3,所以其横坐标为,即点的坐标是.
思路:利用抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离,等价于点到准线的距离,当且仅当三点共线时距离最小.
20.答案:见解析
解析:(1)由题意有,解得.所以的方程为.
(2)设直线.
将代入得,
故,于是直线的斜率,
即,所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
21.答案:见解析
解析:(1)由题意设抛物线方程为,其准线方程为,
∵到焦点的距离等于到其准线的距离,
∴.
∴抛物线的方程为.
(2)由(1)可得点,可得直线的斜率不为0,设直线的方程为,
联立得,
则.①
设,则.
∵
.
即,得:,
∴,即或,
代入①式检验均满足,
∴直线的方程为或.
∴直线过定点(定点不满足题意,故舍去).
思路:(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于的等式求解,则抛物线方程可求.
(2)由(1)求出的坐标,设出直线的方程,联立直线方程和抛物线方程,化为关于的一元二次方程后,得到、两点纵坐标的和与积,利用得到与的关系,进一步得到的方程,由直线方程可得直线所过定点.
22.答案:见解析
解析:(1)由已知可得解得
所以椭圆的标准方程为.
(2)由(1)得,设直线的方程为.与椭圆方程联立得消夫,可得.,设,
则,.
所以线段的中点为.
①当时,直线为轴,此时.
②当时,直线的方程为,
化简得.
将点坐标代入,得.
所以.
综上所述,实数的取值范围为.
思路:(1)根据椭圆上的点到右焦点的最大距离是,得到,再结合求解.
(2)由(1)得,设直线的方程为1),与椭圆方程联立,结合韦达定理得到线段的中点为,当时,直线为轴,此时,当时,直线的方程为,将点坐标代入得到.
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