人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 《圆锥曲线的方程》单元测试（一）（含答案）

《圆锥曲线的方程》单元测试(一)
一、选择题
为抛物线的焦点弦的中点,、、三点到抛物线准线的距离分别是,则有( )
A.
B.
C.
D.
2.到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为( )
A.椭圆
B.两条射线
C.双曲线
D.线段
3.若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴,则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知抛物线上一点到准线的距离为,到直线的距离为,则的最小值为( )
A.3
B.4
C.
D.
5.直线与椭圆的位置关系为( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
6.“实数”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.曲线与曲线的( )
A.长轴长相等
B.短轴长相等
C.焦距相等
D.离心率相等
8.与椭圆有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.
B.
C.
D.
9.双曲线与椭圆有相同的焦点,则的值为( )
A.1
B.1或
C.1或
D.
10.已知双曲线的离心率为2,则( )
A.
B.
C.
D.1
11.若一双曲线与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
12.在椭圆中,、分别是其左、右焦点,若,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.设为椭圆的两个焦点,为上一点且在第一象限.若为等腰三角形,则的坐标为___________.
14.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为,则点到该抛物线焦点的距离为_________.
15.设双曲线的左、右焦点分别为,直线与双曲线的其中一条渐近线交于点,则的面积是_________.
16.斜率为1,且过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦长为__________.
三、解答题
17.焦点在轴上的椭圆的方程为,点在椭圆上.
(1)求的值;
(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.
18.已知椭圆的长轴长为10,两焦点的坐标分别为和.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为椭圆上一点,轴,求的面积.
19.设是抛物线上的一个动点,为抛物线的焦点.
(1)若点到直线的距离为,求的最小值;
(2)若,求的最小值.
20.已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点,是坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)经过焦点作直线,与抛物线相交于、两点,,若,且在抛物线上,求实数的值.
21.过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段(为原点)的垂直平分线上,求双曲线的离心率.
22.已知椭圆的中心为,左、右焦点分别为,,上顶点为,右顶点为,且成等比数列.
(1)求椭圆的离心率;
(2)判断的形状,并说明理由.
答案解析
1.答案:B
解析:根据题意可得是梯形的中位线,利用梯形的性质以及抛物线的焦半径公式即可求解.根据题意,是梯形的中位线,故.
2.答案:B
解析:由题意直接得轨迹为两条射线.
∵到两定点的距离之差的绝对值等于6,而,
∴满足条件的点的轨迹为两条射线.
3.答案:B
解析:根据题意可得出、的等量关系,进而可求得该椭圆的离心率.由于椭圆的两个焦点三等分它的长轴,则,则离心率.
4.答案:B
解析:利用抛物线的定义,将的取值转化为求点到直线的距离即可求得答案.
因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离,所以过焦点作直线的垂线,则到直线的距离为的最小值,如图所示:
所以.
5.答案:A
解析:根据题意,可得直线恒过定点(1,,利用点在椭圆内部可判断直线与椭圆的位置关系为相交.
由题意得直线恒过定点,而点在椭圆的内部,所以直线与椭圆相交.
6.答案:B
解析:当时,分两种情况讨论,即可判断两者之间的关系.若曲线是焦点在轴上的双曲线,则,因此;
若,当时,双曲线的焦点在轴上;
当时,双曲线的焦点在轴上;
因此“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要而不充分条件.
7.答案:D
解析:首先化简为标准方程,由方程形式可知,曲线的长轴长是8,短轴长是6,焦距是,离心率,的长轴长是,短轴长是,焦距是,离心率,所以离心率相等.
8.答案:B
解析:椭圆可化为标准方程,可知椭圆的焦点在轴上,焦点坐标为,,
故可设所求椭圆方程为,则.又,即,所以,故所求椭圆的标准方程为.
9.答案:A
解析:利用两曲线有相同的焦点列出方程,结合的范围求值即可.
由题意知解得.
10.答案:A
解析:由双曲线的性质,直接表示离心率,求.由双曲线方程可知,
因为,所以,解得:,又,所以.
11.答案:A
解析:由椭圆方程求出其焦点坐标和离心率,从而可求出双曲线的焦点和离心率,进而可求出、的值,即可得双曲线的方程.
椭圆,即,焦点为,离心率为,则双曲线的焦点在轴上,,从而,故所求双曲线的方程为36.
12.答案:B
解析:根据椭圆定义,结合,解得,然后根据椭圆的几何性质,由求解.根据椭圆定义,
将代入得,根据椭圆的几何性质,,
故,即,故,又,
所以椭圆离心率的取值范围为.
13.答案:
解析:方法一:设点,且若为等腰三角形,则,
∴解得的坐标为.
方法二:由方法一知.由得.在中,由余弦定理得,则,所以,解得的坐标为.
14.答案:
解析:求得点的坐标,将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可.设点,∵,∴,∴或(舍去),∴.∴到抛物线的准线的距离.
∵点到抛物线焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离,
∴点到该抛物线焦点的距离为.
15.答案:
解析:求出双曲线的渐近线以及焦点,从而可得直线与双曲线的渐近线交于点,利用三角形的面积公式即可求解.
由双曲线方程知其渐近线方程为,焦点,
则直线与双曲线的渐近线交于点,不妨设,
则.
16.答案:8
解析:先将抛物线转化为标准方程,求得焦点坐标,由斜率为1,得到直线方程,然后与抛物线方程联立,利用弦长公式求解.
由抛物线得,所以焦点坐标为,因为斜率为1,
所以过焦点的直线方程为,
由消去,得.
设该直线与抛物线的交点、的坐标分别为,则,
所以直线被抛物线截得的弦长为.
17.答案:见解析
解析:(1)由题意,点在椭圆上,代入,得,解得.
(2)由(1)知,椭圆方程为,则,,
椭圆的长轴长,短轴长,焦距,
离心率.
18.答案:见解析
解析:(1)椭圆的长轴长为10,两焦点的坐标分别为和,
则,且,解得,
所以椭圆的标准方程为.
(2)为椭圆上一点,轴,所以点的横坐标为,代入椭圆方程可求得点的纵坐标为.不妨设点在轴上方,则,所以.
19.答案:见解析
解析:(1)依题意,抛物线的焦点为,准线方程为.
由已知及抛物线的定义,可知,于是问题转化为求的最小值.
由平面几何知识知,当、、三点共线时,取得最小值,最小值为,即的最小值为.
(2)把点的横坐标代入中,得,因为,所以点在抛物线的内部.
过作垂直准线于点,交抛物线于点(如图所示).
由抛物线的定义,可知,则,
所以的最小值为4.
思路:(1)利用抛物线的定义可知,将问题转化为求的最小值.
(2)判断点在抛物线的内部,过作垂直准线于点,交抛物线于点,利用抛物线的定义求解即可.
20.答案:见解析
解析:(1)双曲线方程可化为,
因此,所以双曲线的一个焦点是,于是抛物线的焦点为,则,故抛物线的方程为.
(2)依题意,直线的斜率一定存在,
设其为,则的方程为.
由可得,
设,则.
因为,所以,即.
设,则由,得,
由于在抛物线上,因此,可得.
思路:(1)求出双曲线的一个焦点是,从而可得,求出即可.
(2)直线的斜率一定存在,设其为,可得的方程为,利用焦半径公式求出,设,根据向量的坐标运算即可求解.
21.答案:见解析
解析:设为右焦点,过作垂直于一条渐近线,垂足为,过作于.
由射影定理知,可得、、的关系,可求得双曲线的离心率.
如图所示,不妨设为右焦点,过作垂直于一条渐近线,垂足为,过作于.
由已知得为的中点,由射影定理知,
又,渐近线的方程为,所以,于是,
即,因此,故.
22.答案:见解析
解析:(1)设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、、,则.
由题设及,消得:,即.
解得:或.
又,则.
(2)方法一:设椭圆的方程为,则.
∴,∴,
故是直角三角形.
方法二:设椭圆的方程为,
则.
∴,∴,
故是直角三角形.
方法三:由条件得:在中,.
,
,
∴,
故是直角三角形.
1 / 2